Autor Tema: Biyección real: el numerable de los números reales

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05 Septiembre, 2012, 11:44 pm
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feriva

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INTRODUCCIÓN

Cuando tratamos de construir números sumando unidades nos encontramos siempre con el problema que supone el infinito. En el caso de los naturales, para solucionarlo definimos un valor indeterminado “n” el cual no representa un solo valor, sino cualquier valor por grande que sea; nos hemos acostumbrado a ver esto normal y no representa un “trauma”. Sin embargo, con los números reales ocurre algo que es muy distinto o, en realidad, algo que nos han hecho ver que es muy distinto. A continuación mostraré que esa enorme diferencia desaparece para convertirse en una pequeña diferencia, pudiéndose construir estos números esencialmente casi de la misma manera teórica que los naturales.

LOS INTERVALOS

La cuestión principal para que podamos enumerar un conjunto reside en que éste tenga un mínimo o se pueda asociar a una constante mediante unas relaciones de equivalencia. En el caso de los números naturales es claro lo que ocurre, trabajamos con un intervalo semiabierto que está abierto por la derecha hacia a un máximo, que no existe, y cerrado por la izquierda con un número único y constante que es múltiplo de todos los demás:

 \( [1,2,3...n) \)

Si tratamos de construir los números “naturales” utilizando el otro extremo pensamos que es imposible o que el conjunto queda menos definido:

 \( m...(n-3),(n-2),(n-1),n \)

Y sí que es cierto que queda menos definido en cuanto a que utiliza un indeterminado añadido, un mínimo indeterminado (que es sólo una letra más) pero la construcción, en principio, no debería ser imposible al menos simbólicamente, debería ser muy parecida ¿Qué es lo que pasa entonces?
Está claro que debería poderse hacer añadiendo un número indeterminado más en el otro extremo abierto, pues los extremos no tienen verdadera prioridad en la matemática abstracta, ni lo grande respecto de lo pequeño, porque realmente no hay izquierda ni derecha, la elección es arbitraria.

Si representamos el “mínimo” como \( \dfrac{1}{n} \) y el “máximo” como “n”, éste acabará por no ser verdaderamente el máximo (ni teóricamente) pues aparecerá en la construcción un \( \dfrac{1}{1+n} \), menor que el “mínimo”, que implicará la existencia de \( 1+n \) o viceversa. Luego lo que de momento es imposible no es construir el esquema de los reales, sino escribir el “mínimo general” en función del “máximo general”. Sin embargo, sí podemos representarlo; con otra letra “m”, por ejemplo.

Ahora podríamos intentar la construcción alternativa introduciendo valores desde cada extremo:

\( m,(m+m)....(n-m),n \)

Pero aparece un nuevo problema, así nunca construiremos la zona media del cuerpo; quedará vacía porque nunca llegamos al número central; y eso, precisamente, es lo que da la clave para su construcción: el centro.

CONSTRUCCIÓN

Definamos un valor medio “c”, un número que se halla justo en el centro del cuerpo. Si existe, este valor será constante y, por tanto, resultará un objeto más poderoso, o más definido, que el habitual “n”.

Hago la hipótesis de que existe un “c” con el cual se puede construir todo \( \mathbb{R} \) numerable (puedo imaginarme las caras de incredulidad, pues se pensará quizá que, tratándose de los indomables reales, pronto aparecerán infinitos “ces” o que éste se “moverá” de sitio en la sucesión haciéndose intratable; pido paciencia).

Como tengo dos extremos abiertos, con sólo un valor indeterminado —que es el número del centro— dicha constante no bastará; debo utilizar el “mínimo general” (y sólo emplearé “n” en el conjunto origen de la biyección; este conjunto será todo \( \mathbb{Z} \)). En consecuencia, en principio utilizo dos variables: una en el conjunto origen y otra en el conjunto imagen; y una constante “c”.

No obstante, “m” funcionará en realidad como un mínimo también constante (*que nadie abandone después de haber leído lo último, porque lo mejor va a ser una consideración respecto del mínimo “m” que haré al final).

BIYECCIÓN

La biyección, al ser con \( \mathbb{Z} \), será alternativa, añadiendo términos a un lado y otro de “c”, correspondiendo a los reales, que están a la derecha de “c”, los enteros positivos y, análogamente, los negativos a los que están a la izquierda; sin embargo, por necesidad en cuanto a la dificultad de anotarlo así, no la mostraré alternativamente, sino en bloques separados. Por otra parte, para que sea posible la biyección, ha de considerarse que en \( \mathbb{R} \) no existe el cero absoluto; ese lugar lo ocupa “m”.


 \( \mathbb{Z}{}^{+}(n)\longrightarrow\mathbb{R}^{+}(m,c_{R}) \).

 (el subíndice “R” indica “biyección hacia la derecha”).


 \( 0\rightarrow c \)

 \( {\color{red}1}\longrightarrow c+{\color{red}1}\cdot m \)

 \( {\color{red}2}\longrightarrow c+{\color{red}2}m \)

 \( {\color{red}3}\longrightarrow c+{\color{red}3}m \)

...

 \( n\longrightarrow2c \)

 \( n+{\color{red}1}\longrightarrow2c+{\color{red}1}\cdot m \)


\(  n+{\color{red}2}\longrightarrow2c+{\color{red}2}m \)

 \( n+{\color{red}3}\longrightarrow2c+{\color{red}3}m \)

...

 \( 2n\longrightarrow3c \)

\( 2n+{\color{red}1}\longrightarrow3c+{\color{red}1}\cdot m \)

 \( 2n+{\color{red}2}\longrightarrow3c+{\color{red}2}m \)

 \( 2n+{\color{red}3}\longrightarrow3c+{\color{red}3}m \)

 \( 2n+{\color{red}4}\longrightarrow3c+{\color{red}4}m \)


Atendiendo sólo a la constante “c” se vería así:


 \( 0\longrightarrow c \)

...

 \( n\longrightarrow2c \)

...

 \( 2n\longrightarrow3c \)

...

 \( 3n\longrightarrow4c \)

...

El escalonamiento de una unidad que se produce es mera cuestión estética debida a que el cero, que no suma, ha sido biyectado con el centro “c”; para seguir las correspondencias ha de fijarse uno en el coeficiente de “m”.


Ahora representamos el bloque de la biyección a la izquierda:


 \( \mathbb{Z}{}^{-}(n)\longrightarrow\mathbb{R}^{+}(m,c_{R})  \)

(el subíndice “L” indica “izquierda”)


 \(  0\rightarrow c \)

 \( -1\longrightarrow c-m \)

 \( -2\longrightarrow c-2m \)

 \( -3\longrightarrow c-3m \)
...

Aquí, si se continúa, aparecerá un problema simbólico debido a las operaciones aritméticas con números negativos en el conjunto origen, pero dado que en nada influyen éstas, pues se trata de una correspondencia entre elementos, sirve la anterior aplicación entendiendo que se ha biyectado con \( \mathbb{Z}^{-} \)


De esta forma queda completado el esquema de la biyección.



DISCUSIÓN


Y seguidamente, ya sí, toca discutir ese elemento mínimo ideal, o teórico, de los reales.


Aquí va mi justificación: no tengo justificación, los reales no tienen mínimo; pero es que no tanto lo voy a defender, más lo voy a comparar.

Los racionales tampoco tienen mínimo y, sin embargo, son numerables. Y lo que sí creo que se puede afirmar es que esa biyección teórica que he hecho sirve igual para el conjunto \( \mathbb{Q} \) siempre que se considere que éste tiene mínimo. La diferencia está en la barrera “movible” del infinito: pero ¿qué sabe la biyección general, con letras, dónde está esa barrera?

Cantor lleva \( \mathbb{Q} \) a vivir a una matriz cuadrada y a \( \mathbb{R} \) lo aloja en una matriz no cuadrada cuya diagonal, como es obvio, no tiene las mismas propiedades respecto de los subíndices de sus elementos; pero ¿garantiza esa prueba la no numerabilidad de \(  \mathbb{R} \), viven unos en una matriz cuadrada y otros en una rectangular? Creo que la respuesta no es una; todo depende del “experimento” matemático que se haga.

Como se ve, cambian mucho las cosas empezando a biyectar por un centro y alternativamente a derecha e izquierda, la construcción es posible tomando ese centro y un mínimo teórico del tamaño de... de un punto, sí; lo que he hecho es numerar puntos, numerar y sumar infinitos puntos uno a uno a izquierda y derecha de un punto central, puntos sin dimensión ninguna, pero con una “no dimensión” constante. Puede parecer raro, sin embargo ¿el resultado de eso no debería ser una recta?; y, por otra parte, si hablamos de espacio, ¿qué hay más “mínimo” que un punto?

(Lo escrito es reciente, sin embargo, en el fondo de todo duerme algo que ha ocupado mis pensamiento durante muchos años: la expansión del Universo. El Universo se expande hacia izquierda y derecha y hacia todos lados, no sólo en una dirección; quizá él nos da la clave de cómo debemos ver las cosas). 

06 Septiembre, 2012, 03:19 pm
Respuesta #1

feriva

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Le enseñé esto que he escrito en este post a un amigo que es matemático y, muy indirectamente, me dijo que me dedicara a tocar el piano :)

 No obstante, como soy muy cabezota, quiero explicarlo de otra manera.

 “A” es el conjunto de los números de una cifra en base diez.

 “B” es el conjunto de los números de dos cifras en base diez

O sea \( |B|>|A| \)

 No puedo contar los números que hay en “B” utilizando los números que hay en “A”, porque son menos. Pero, aunque esto no suponga una biyección, sí puedo empezar a contar, hasta 9, y una vez llegado a nueve, utilizar algunos elementos de “B” para contar al propio “B”. ¿Por qué aparece este engendro?

 ¿Hasta qué punto tiene que ver el problema de la biyección con la base utilizada? Si fuera posible trabajar con una base de infinitos símbolos, existiría un solo conjunto; no distinguiríamos entre “A” y “B” porque esa distinción no existiría y el conjunto “B” se contaría con los propios elementos del conjunto estableciendo una biyección en sí mismo.

Opino que, los números naturales de verdad, nos es imposible utilizarlos porque las bases son un recurso técnico pergeñado por el ser humano, unos inventos y, como inventos que son, tienen poco de natural; por muy necesarios y prácticos que sean (no estoy tocando un tema práctico, ése sería otro tema).

Qué podemos hacer, para teorizar sobre los números, si nos es imposible trabajar en una base de infinitos símbolos; sí podemos hacer algo, utilizar sólo un símbolo y no una base; podemos representar los números así, en “base uno”:

1, (1+1), (1+1+1)...

Poco o nada práctico, pero mucho más natural.

Ahora la pregunta a meditar es: si trabajamos con un sólo símbolo, ¿se pueden representar los reales? 

Si la respuesta es no, el problema de los infinitos es causado, muy principalmente, por las bases de varios símbolos (finitos) y, por tanto, es un problema de la “herramienta” y no de la “sustancia” —y Kronecker tendría más razón que un santo—, y si la respuesta es sí, entonces los reales y los naturales serían esencialmente los mismos; pues ambos tendrían una unidad mínima, única y bien definida; y Kronecker seguiría teniendo más razón que un santo.

Entonces, si en geometría tenemos algo que no sabemos qué es pero que sabemos que es mínimo, el punto, si tenemos segmentos y rectas —que son conjuntos de puntos— ¿por qué no entender que es valida (sin invalidar ninguna otra teoría) la construcción teórica de la recta sumando “unidades mínimas”?

 Y, si se admite esto —aunque sólo sea como divertimento teórico— el único problema que queda por resolver es que la recta está abierta al infinito a izquierda y derecha; lo que se soluciona definiendo un punto medio y contando puntos desde ahí, alternativamente a derecha e izquierda o viceversa.

06 Septiembre, 2012, 03:57 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Le enseñé esto que he escrito en este post a un amigo que es matemático y, muy indirectamente, me dijo que me dedicara a tocar el piano :)

Espero que si te ha oído tocar el piano, no te diga que te dediques a jugar a la petanca. En serio, creo que estás analizando relaciones entre algunos conceptos matemáticos y los símbolos que los representan. ¿Es así?


06 Septiembre, 2012, 04:28 pm
Respuesta #3

pierrot

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Le enseñé esto que he escrito en este post a un amigo que es matemático y, muy indirectamente, me dijo que me dedicara a tocar el piano :)

¿Y quién es él para decirte que te dediques a tocar el piano? Si disfrutas con las matemáticas, ya es razón suficiente para no abandonarlas. Y eso es lo que importa, en definitiva. De lo contrario, siguiendo su mismo razonamiento, podrías decirle que también él se dedique a otra cosa porque como matemático es bastante mediocre, ¿o acaso ha hecho alguna contribución importante que quede para la posteridad?

En fin, nadie es quién para desincentivar a una persona a hacer las actividades que le gustan, y que no causan ningún perjuicio a terceros.
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06 Septiembre, 2012, 05:40 pm
Respuesta #4

feriva

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Le enseñé esto que he escrito en este post a un amigo que es matemático y, muy indirectamente, me dijo que me dedicara a tocar el piano :)

Espero que si te ha oído tocar el piano, no te diga que te dediques a jugar a la petanca. En serio, creo que estás analizando relaciones entre algunos conceptos matemáticos y los símbolos que los representan. ¿Es así?



Me han dicho cosas peores que lo de la petanca :D

En cuanto a lo serio:

  Sí, veo que los símbolos influyen en la esencia misma de la matemática al ser símbolos compuestos.
Como pseudomúsico que he sido, a veces veo los números un poco como acordes; están formados por distintas notas que tienen significado por sí mismas pero que pueden pertenecer a acordes distintos. Pasa entonces lo mismo aquí, tampoco se pueden biyectar las notas con los acordes; son más los acordes que las notas; por una mera cuestión combinatoria.

Si tenemos estos tres símbolos compuestos (acordes) con sus subsímbolos (notas) ordenados en filas

 \( \begin{array}{ccc}
{do} & {mi} & {sol}\\
{re} & {fa} & {la}\\
{mi} & {sol} & {si}\end{array} \)

 es evidente que si modifico la tónica del primero, (do); la modal del segundo acorde, (fa); y la dominante del tercero, (si); obtengo un acorde distinto de los tres, pues este último va a ser diferente respecto a uno de los otros en la tónica (1 distinto);  distinto en la modal respecto de otro (van 2 distintos); y distinto en la dominante respecto de otro (y van 3 y no hay más).

 Pero esto lo puedo hacer porque son símbolos compuestos, son conjuntos de notas; no notas de otro conjunto.

Si fueran números, cuál es la analogía más clara, qué serían los acordes, ¿números o conjuntos de números? Creo que con este ejemplo se ve bien, porque en el sistema diatónico, cada símbolo se representa —o se puede representar— con un símbolo no compuesto, un símbolo independiente para cada nota.

 Qué pasaría si tuviéramos infinitas notas distintas, ¿nos llevaría eso a confundir el concepto de nota con el concepto de acorde? Quizá, no lo sé, pero está claro que sería una confusión debida a la complejidad de tanta combinación, no la realidad de lo que realmente ocurre.

 En ese ejemplo se ve que la prueba de la diagonal de Cantor depende claramente de que los símbolos se compongan a la vez de otros símbolos que, además, son dependientes: el 19 está escrito “en función” del 1 y el 9.

 Eso no pasaría con “garabatos” independientes para cada número, con los cuales la prueba de Cantor sería imposible.

Saludos.   

06 Septiembre, 2012, 05:43 pm
Respuesta #5

feriva

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¿Y quién es él para decirte que te dediques a tocar el piano?

 No me lo dijo así, Pablo, es una broma que yo hago.

 Gracias por defenderme :)

Un cordial saludo.

07 Septiembre, 2012, 01:46 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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“A” es el conjunto de los números de una cifra en base diez. “B” es el conjunto de los números de dos cifras en base diez

O sea \( |B|>|A| \)

 No puedo contar los números que hay en “B” utilizando los números que hay en “A”, porque son menos. Pero, aunque esto no suponga una biyección, sí puedo empezar a contar, hasta 9, y una vez llegado a nueve, utilizar algunos elementos de “B” para contar al propio “B”. ¿Por qué aparece este engendro?

Ya que estás hablando de relación entre números y símbolos que los representan, sugiero que uses \( k \) para designar al símbolo que representa a la "entidad" numérica \( k_n. \) Es decir, \( 5 \) es el símbolo que denota al concepto \( 5_n \) (la idea intuitiva o formal que cada uno tenga de biyección de objetos con dedos de una mano). Por supuesto que \( 5_n \) también es un símbolo, pero de alguna manera tenemos que comunicarnos. Podemos hacer un esfuerzo por no considerarlo símbolo.

En ese sentido, y según tú: \( A=\{1_n,2_n,\ldots,9_n\} \) y \( B=\{10_n,11_n,\ldots,99_n\}. \) Entonces, la frase No puedo contar los números que hay en “B” utilizando los números que hay en “A”, porque son menos, traducida a la nomenclatura que he propuesto sería: No puedo contar las entidades de \( B=\{10_n,11_n,\ldots,99_n\} \) utilizando las entidades de \( A=\{1_n,2_n,\ldots,9_n\} \) porque son menos. No entiendo eso.


08 Septiembre, 2012, 08:48 am
Respuesta #7

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Ya que estás hablando de relación entre números y símbolos que los representan, sugiero que uses \( k \) para designar al símbolo que representa a la "entidad" numérica \( k_n. \) Es decir, \( 5 \) es el símbolo que denota al concepto \( 5_n \) (la idea intuitiva o formal que cada uno tenga de biyección de objetos con dedos de una mano). Por supuesto que \( 5_n \) también es un símbolo, pero de alguna manera tenemos que comunicarnos. Podemos hacer un esfuerzo por no considerarlo símbolo.

En ese sentido, y según tú: \( A=\{1_n,2_n,\ldots,9_n\} \) y \( B=\{10_n,11_n,\ldots,99_n\}. \) Entonces, la frase No puedo contar los números que hay en “B” utilizando los números que hay en “A”, porque son menos, traducida a la nomenclatura que he propuesto sería: No puedo contar las entidades de \( B=\{10_n,11_n,\ldots,99_n\} \) utilizando las entidades de \( A=\{1_n,2_n,\ldots,9_n\} \) porque son menos. No entiendo eso.



Gracias por advertirme en cuanto a la notación y la forma de expresarlo. Y perdona que no viera antes tu respuesta.

Un saludo.