[RDC]

Richard.

La Matemática es un lenguaje que se usa para modelar la Física.

No sólo a matemática sirve para modelar lo físico (describirlo y explicarlo), sino que el lenguaje normal también lo hace. Aunque luego con el lenguaje normal también puedes hacer otras cosas.

De hecho, las matemáticas no son más que lenguaje ordinario sumamente simplificado bajo convenios y exigencias aceptadas muy fuertes. Leyendo a los griegos se aprecia como el lenguaje ordinario, creado por los antiguos poetas griegos, se va simplificando y especializando en un lenguaje muy peculiar que ya reconocemos como matemático.

Pero no puede usarse la Física para validar los conceptos matemáticos.

¿qué quieres decir con "la física"? Un dato empírico? Un principio físico? Una ley física? Un experimento mental para sacar un modelo?

Creo que la cuestión es más compleja de lo que parece a simple vista. Y se basa en nuestra psicológica. Pero bueno, es mi opinión.

Necesariamente la Lógica y la Matemática tienen que tener un fundamento independiente por una razón muy sencilla, y es que la Física es una ciencia que está sujeta a cambio por motivos experimentales.

Esta creencia es muy antigua y es la base sobre la cual se han articulado todas las metafísicas. Hay un pasaje en un diálogo de Platón donde Sócrates lo expone de forma muy clara. Pero si te lees a Lakoff, por ejemplo, eso ya no está nada claro.

https://en.wikipedia.org/wiki/Where_Mathematics_Comes_From

La paradoja de Banach-Tarski es un Teorema demostrado,
y no importa si a vos o a cualquier otra persona se le antoja darlo por válido o no.

En todo caso, si te parece absurdo que una naranja se pueda convertir en dos naranjas iguales a la original, lo que significa es que el continuo matemático no modela de manera perfecta la Física de los objetos esféricos.

No estoy de acuerdo. Que una afirmación esté demostrada matemáticamente no significa que sea "verdad" sin más. Que sea cierta y punto. Sólo significa que si asumes una definiciones,  unos axiomas y un tipo de inferencias, entonces llegas sí o sí a esa afirmación. Nada más.

Si la paradoja de Banach-tarski no me gusta, me basta con no reconocer el axioma de elección, por ejemplo. En realidad el dilema, entonces, se vuelve filosófico por así decirlo: ¿qué principios y axiomas debemos aceptar como válidos, los que acepta una mayoría porque los acepta una mayoría? ¿O realmente existen unos principios fundamentales, que no podemos llegar a ellos mediante ningna demostración, pero ellos fudnamentan toda demostración corrcta y cierta?

Platón explica esto de forma muy clara en su mito de la línea, que es una exposición del método científico platónico. No en vano tanto matemáticos han sido, de algún modo u otro platónicos. Como Godel por ejemplo (O físicos, como Penrose):

Spoiler

Escribe Platón que es factible concebir las opiniones humanas como una línea imaginaria que podemos partir en dos mitades. En la primera mitad tenemos todas esas opiniones que se fundamentan en cierto grado ignorancia e incertidumbre. En la otra mitad encontramos esas opiniones que se sustentan ya sobre cierto grado de  certeza y de conocimiento. Y ambas partes pueden dividirse, a su vez, en dos partes más según su grado de incertidumbre o de certeza:

Las opiniones basadas en la ignorancia:

1º. Son las más inciertas de todas. Se basan en reflejos, sombras, ensoñaciones, alucinaciones, en fin, pareidolias. Son opiniones fundadas sobre la pura ilusión y carecen de certeza alguna. Son opiniones que cambian como cambia el viento, con lo cual no tienen nada de firme y sólido. Son opiniones que no aguantan ninguna crítica y fácilmente, como huellas en la arena, pasan a ser pasto del tiempo.

2º No son tan inciertas y efímeras; tiene algo más de persistencia en nuestra mente. Se basan en nuestra experiencia física o empírica. Estamos ante puras hipótesis que simplemente terminamos creyendo, pero que en el fondo carecen de certeza alguna aunque aparentemente lo parezca. Por ejemplo, la teoría del Big Bang, que es una "opinión física", consiste en creer que un cúmulo de hipótesis son ciertas a partir de la conveniente contrastación de un "puñado" de datos. Pero solo son hipótesis y jamás podrán dejarlo de ser por el argumento ya esgrimido por Parménides sobre el mundo físico.

Las opiniones basadas en la certeza:

1º Las menos ciertas son las opiniones basadas en las argumentaciones (dialéctica): se definen los conceptos básicos a discutir y a través de inferencias se intenta llegar a una conclusión. Las matemáticas son de este tipo. En realidad no son certezas, sino que preludian que existe alguna certeza. Ahora bien, mediante arugmentaciones (dmeostraciones), sin más, nunca se llegará a ella.

2º Son la máxima expresión de certeza y veracidad. Son las opiniones basadas en las intuiciones puras o visualizaciones mentales (noesis). Son las opiniones ciertas e irrefutbales que nos muestran como son realmente las cosas. Es a partir de las intuiciones puras que descubrimos qué definiciones, qué principios y axiomas debemos escoger realmente para desarrollar de forma correcta nuestras argumetnacones.

[cerrar]

A diferencia de Platón, no creo que nuestras intuiciones puras contacten con la supuesta realidad que se esconde detras de nuestras apreciaciones, vivencias y percepciones. De modo que el hecho de aceptar unas definciones u otras, unos principios y otros, es algo profundamente psicológico que dice mas de como estamos, de nuestros prejucios, de nuestras expecttivas y capacidades, que de ninguna hipotética realidad o verdad.

Por ejemplo, que juzguemos y valoremos como falso, por vacío, cuanto genera una contradicción, es precisamente una valoración extrictamente nuestra ¿Qué sabeos realmente nosotros sobre lo que es falso y no lo es? Estamos ante una valoración que denota que para nostros ahí no hay nada a comprender. Nada más.

Pero muchos griegos (Heráclito, los sofistas, etc), en cambio, lo valoraron y juzgaron de otro modo muy distinto: que lo contradictorio es sinónimo de fluir perpetuo y que sólo existe el fluir perpetuo, con lo cual solo existe lo que se contradice constantemente consigo mismo (y que los lógicos valoran como vacio o nada). En efecto, desde esta postura todo aquello que sabe lógico, bien definido y no contradictorio no sería más que ilusión y artificio cuya finalidad, no es empezar a comprender lo real y cierto, sino tener un cierto dominio sobre lo real. Un dominio que siempre será efímero.

Los modelos matemáticas nunca van a satisfacer la Física,
porque de por sí no se puede satisfacer,
debido a que toda teoria Física ha de cumplir el Principio de Falsabilidad de Popper, es decir, es potencialmente falsa, ya que no se puede asegurar que un día no venga un experimento que desbanque la teoría Física vigente.

En efecto, Popper es Platón simplificado, escamoteado y maquillado para las inteligencias operarias del s.XX. Es mucho más vulgar.

Dicho todo esto, entiendo que el mundo matemático es un mundo completamente humano: hecho por y para nosotros. De modo que estamos ante un mundo completamente artificial y postizo. Es una teatralización permanente, por así decirlo. ¿Le quita eso valor a lo que creamos y nos inventamos?

No, todo lo contrario. Nos resulta precisamente imprescindible proque es nuestro mundo: el mundo humanizado más simple, artificioso y asequible para una mente como la nuestra, que se ha desarrollado durante milenios a través de errores, mentiras, alucinaciones, etc.

Un saludo
 

[ani_pascual]

Hola:

Lo que es claro  es que, por lo que veo en los teoremas expuestos, la aceptación de la hipotesis del continuo lleva a la aceptación de la existencia de \( S \), y eso me lleva a tolerarme a mí y a mis paradojas 

Pues si aceptas una contradicción no hay más que hablar. A partir de una contradicción se puede deducir cualquier cosa.

No soy partidario de aceptar contradicciones; no obstante, soy sincero si te digo que para admitir que la aceptación de la hipótesis del continuo y la aceptación de la inexistencia del conjunto \( S \) son contradictorias lo tengo que hacer recurriendo más a mi fe en lo que dicen unos matemáticos que a mi propia razón y su bagaje de conocimientos actual, habida cuenta de que mi entendimiento de la demostración del teorema de la existencia de \( S \) bajo la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \) de la respuesta #17 no es cabal; de entrada, me cuesta entender la existencia de un buen orden en \( I \), cosa que seguramente para los matemáticos bien formados será alguna perogrullada.
Con esto no estoy diciendo que pretenda demostrar lo contrario, tan solo digo que me reafirmo en que inicialmente me parecía poco razonable la existencia de \( S \) y si ahora se me asegura que si se acepta que \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \) entonces sí existe ese conjunto \( S \), pues me aguanto y tendré que esconderlo en algún cajón de monstruitos matemáticos para mi sentido común, en el que, por ejemplo, también guardo todas las funciones reales continuas en \( I \) que no son derivables en ningún punto, a sabiendas de que hay más que de las otras y a sabiendas de que para la mayoría de los matemáticos son muy normales. Iría en contra de mi sentido común si dijera que \( S \) es un conjunto intuitivo. Pero si tengo que elegir, prefiero tolerar la existencia de \( S \) y seguir aceptando la hipótesis del continuo que la postura contraria.
A mí me parecen muy bien las líneas que investigan las consecuencias de la premisa \( |\mathbb{R}|>\aleph_1 \) y asimismo las de la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \), pero lo que me dicta la razón es que no se pueden admitir ambas premisas a la vez pues son contradictorias. Por eso creo que, en última instancia y quizás esté equivocado, los matemáticos tendrán que decantarse por una de ellas. Por otra parte, cuando afirmé que me parece razonable la inexistencia de \( S \) no quería decir que lo pudiera demostrar, y por lo que comentas, nunca podré hacerlo bajo la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \); del mismo modo, cuando afirmo que me parece razonable la aceptación de la existencia del Creador del universo espacio-temporal, no quiero decir que lo pueda demostrar. Creo que llevas razón cuando dices que de una contradicción se puede deducir cualquier cosa, por eso, me parece que o se admite que \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \)  o se admite que  \( |\mathbb{R}|>\aleph_1 \), pero no ambas a la vez.
Saludos

[Carlos Ivorra]

No soy partidario de aceptar contradicciones; no obstante, soy sincero si te digo que para admitir que la aceptación de la hipótesis del continuo y la aceptación de la inexistencia del conjunto \( S \) son contradictorias lo tengo que hacer recurriendo más a mi fe en lo que dicen unos matemáticos que a mi propia razón y su bagaje de conocimientos actual, habida cuenta de que mi entendimiento de la demostración del teorema de la existencia de \( S \) bajo la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \) de la respuesta #17 no es cabal; de entrada, me cuesta entender la existencia de un buen orden en \( I \), cosa que seguramente para los matemáticos bien formados será alguna perogrullada.

Yo diría que lo que se deduce de esto que dices es que tu entendimiento de la hipótesis del continuo no es cabal (esto no es una crítica, sino que pretende ser un análisis que te oriente), porque \( \aleph_1 \) es un objeto (un cardinal infinito) que, por su propia definición, está bien ordenado. Es el menor ordinal no numerable, y todos los ordinales están bien ordenados por definición.

Si afirmas que \( |\mathbb R| = \aleph_1 \), estás diciendo, por definición, que existe una biyección \( f: \mathbb R\longrightarrow \aleph_1 \) (e igualmente, si admites que \( |I| = \aleph_1 \), estás diciendo que existe una biyección \( g: I\longrightarrow \aleph_1 \), y si admites tales biyecciones, inmediatamente tienes un buen orden en \( I \) (o en \( \mathbb R) \), pues sólo tienes que definir \( x\leq_1 y \leftrightarrow f(x)\leq_2 f(y) \), donde \( \leq_1 \) es el buen orden que definimos en \( \mathbb R \) y \( \leq_2 \) es el buen orden que existe (casi por definición) en \( \aleph_1 \) que, de hecho, no es más que el dado por \( \alpha \leq \beta \) si y sólo si \( \alpha\subset \beta \) (todo ordinal, incluido \( \aleph_1 \), está bien ordenado por la relación de inclusión).

Por lo tanto, puedes cuestionar que \( \mathbb R \) o \( I \) admitan un buen orden (esto no puede probarse sin el axioma de elección), pero si afirmas que \( |\mathbb R| = |I| = \aleph_1 \), eso ya implica, sin necesidad del axioma de elección, sólo por la definición de \( \aleph_1 \), que existe tal buen orden.

Si pretendes que tu asunción de la hipótesis del continuo no implique la existencia de un buen orden en \( \mathbb R \), tendrías que reformularla como que "no existe ningún subconjunto no numerable de \( \mathbb R \) cuyo cardinal no sea el de \( \mathbb R \)", pero en cuanto pretendas expresar eso como \( |\mathbb R| = \aleph_1 \), ya estás admitiendo la buena ordenación de \( \mathbb R \).

Más aún. No sé si la hipótesis generalizada del continuo te parecerá también "verdadera" (la hipótesis de que no hay cardinales intermedios entre ningún \( |X| \) infinito y \( |\mathcal PX| \), pero, si es así, sucede que la hipótesis generalizada del continuo implica el axioma de elección.

Con esto no estoy diciendo que pretenda demostrar lo contrario, tan solo digo que me reafirmo en que inicialmente me parecía poco razonable la existencia de \( S \) y si ahora se me asegura que si se acepta que \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \) entonces sí existe ese conjunto \( S \), pues me aguanto y tendré que esconderlo en algún cajón de monstruitos matemáticos para mi sentido común, en el que, por ejemplo, también guardo todas las funciones reales continuas en \( I \) que no son derivables en ningún punto, a sabiendas de que hay más que de las otras y a sabiendas de que para la mayoría de los matemáticos son muy normales. Iría en contra de mi sentido común si dijera que \( S \) es un conjunto intuitivo. Pero si tengo que elegir, prefiero tolerar la existencia de \( S \) y seguir aceptando la hipótesis del continuo que la postura contraria.

Ése es el quid de la cuestión. ¿Y por qué? ¿Qué te mueve a tomar por inamovible la hipótesis del continuo? ¿Qué ves en ella que te induzca a pensar que tiene que ser verdadera cueste o que cueste? Esto lo pregunto por pura curiosidad, simplemente porque no imagino una respuesta posible. No es por tratar de convencerte de nada. Esto es subjetivo.

A mí me parecen muy bien las líneas que investigan las consecuencias de la premisa \( |\mathbb{R}|>\aleph_1 \) y asimismo las de la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \), pero lo que me dicta la razón es que no se pueden admitir ambas premisas a la vez pues son contradictorias.  Por eso creo que, en última instancia y quizás esté equivocado, los matemáticos tendrán que decantarse por una de ellas.

Eso es como decir que en última instancia, los matemáticos tendrán que decantarse por la geometría euclídea o por una geometría no euclídea. O, mejor aún, como "el espacio" no puede tener a la vez dos y tres dimensiones, tendrán que decantarse por si la geometría verdadera es la geometría del plano, o la del espacio tridimensional, o la de cualquier otro número de dimensiones, porque la dimensión del espacio tiene que ser una u otra.

No sé si te parecerá que la comparación es forzada, pero te lo digo en serio. Del mismo modo que no hay "un espacio", sino que puedes pensar y estudiar espacios de dos, de tres o de cualquier número de dimensiones, tampoco hay "unos conjuntos", sino distintos "packs de objetos" que cumplen los axiomas de la teoría de conjuntos. Hablar de "los conjuntos" es como hablar de "los vectores". No existen "los vectores", existen distintos espacios vectoriales, cada uno con su dimensión.

Por otra parte, cuando afirmé que me parece razonable la inexistencia de \( S \) no quería decir que lo pudiera demostrar, y por lo que comentas, nunca podré hacerlo bajo la premisa \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \); del mismo modo, cuando afirmo que me parece razonable la aceptación de la existencia del Creador del universo espacio-temporal, no quiero decir que lo pueda demostrar. Creo que llevas razón cuando dices que de una contradicción se puede deducir cualquier cosa, por eso, me parece que o se admite que \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \)  o se admite que  \( |\mathbb{R}|>\aleph_1 \), pero no ambas a la vez.

Claro, pero es que nadie admite ambas a la vez, como nadie admite a la vez que los ángulos de un triángulo suman a la vez 180 grados y más de 180 grados, sino que en cada geometría pasa una cosa, y tan "verdadera" es la geometría de una esfera como la geometría del plano. Según de qué triángulos hablas, se cumple una cosa u otra, pero no las dos a la vez. Según de qué conjuntos hablas, se cumple la hipótesis del continuo o no, pero no ambas cosas a la vez.

[RDC]

Kant escribe lo de las antinomias (dos tesis contradictorias que son juzgadas como verdaderas, o bien, que una te lleva a tener que admitir la otra y viceversa), en su dialéctica transcendental, para justificar que el conocimiento humano puede ascender hasta un tope o unos límites.   

Y ahora recordaba que Hegel reformuló la dialéctica kantiana para justificar que el conocimiento humano no tiene límites y, en realidad, se puede desarrollar hasta alcanzar la totalidad (el absoluto). Hegel defendía que la dialéctica, en efecto, es un proceso que se desarrolla, siempre, generando antinomias, pero el fin es que terminen siendo superadas por marcos conceptuales superiores que las integran en una visión más amplia y global.

Lo pongo como curiosidad.

un saludo

[ani_pascual]

Hola:

...
Y ahora recordaba que Hegel reformuló la dialéctica kantiana para justificar que el conocimiento humano no tiene límites y, en realidad, se puede desarrollar hasta alcanzar la totalidad (el absoluto). Hegel defendía que la dialéctica, en efecto, es un proceso que se desarrolla, siempre, generando antinomias, pero el fin es que terminen siendo superadas por marcos conceptuales superiores que las integran en una visión más amplia y global.

Lo pongo como curiosidad.

un saludo

Je, je, pues estoy de acuerdo en esto con Hegel 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Yo diría que lo que se deduce de esto que dices es que tu entendimiento de la hipótesis del continuo no es cabal (esto no es una crítica, sino que pretende ser un análisis que te oriente), porque \( \aleph_1 \) es un objeto (un cardinal infinito) que, por su propia definición, está bien ordenado. Es el menor ordinal no numerable, y todos los ordinales están bien ordenados por definición.

Quizás sea así;  no he estudiado el formalismo de la teoría moderna de cardinales y ordinales y es posible que  hable del cardinal \( \aleph_1 \) y de la hipótesis del continuo un poco a la ligera y sin conocimiento de los conceptos implicados. Aunque geómetracat me explicó someramente la diferencia entre cardinales y ordinales, aún sigo sin comprender cabalmente. De hecho, ni sabía que los ordinales son conjuntos y aún menos que están bien ordenados. Puedes comprobarlo en este mensaje
Según geómetracat, \( \mathbb{N},\omega,\aleph_0 \) son el mismo conjunto y la única diferencia entre ellos es psicológica, pues depende del contexto. Supongo que, aceptando la hipótesis del continuo, algo parecido sucederá con \( \mathbb{R},\omega_1 \) y \( \mathfrak{c}=\aleph_1 \).

Si afirmas que \( |\mathbb R| = \aleph_1 \), estás diciendo, por definición, que existe una biyección \( f: \mathbb R\longrightarrow \aleph_1 \) (e igualmente, si admites que \( |I| = \aleph_1 \), estás diciendo que existe una biyección \( g: I\longrightarrow \aleph_1 \), y si admites tales biyecciones, inmediatamente tienes un buen orden en \( I \) (o en \( \mathbb R) \), pues sólo tienes que definir \( x\leq_1 y \leftrightarrow f(x)\leq_2 f(y) \), donde \( \leq_1 \) es el buen orden que definimos en \( \mathbb R \) y \( \leq_2 \) es el buen orden que existe (casi por definición) en \( \aleph_1 \) que, de hecho, no es más que el dado por \( \alpha \leq \beta \) si y sólo si \( \alpha\subset \beta \) (todo ordinal, incluido \( \aleph_1 \), está bien ordenado por la relación de inclusión).

Por lo tanto, puedes cuestionar que \( \mathbb R \) o \( I \) admitan un buen orden (esto no puede probarse sin el axioma de elección), pero si afirmas que \( |\mathbb R| = |I| = \aleph_1 \), eso ya implica, sin necesidad del axioma de elección, sólo por la definición de \( \aleph_1 \), que existe tal buen orden.

En efecto, lo que no entendía es que hubiera un buen orden en \( I \) o en \( \mathbb{R} \), pero ahora ya entiendo que se deduce de la suposición \( |\mathbb{R}|=\aleph_1 \) por medio de una biyección, tal y como explicas. En definitiva, que acepto la existencia de \( S \).
Enseguida, tras leer el primer mensaje de tu hilo Encuesta psicológica, el conjunto que imaginaba que más se podría aproximar a \( S \) es \( \tilde{S}=I\times (I\cap \mathbb{Q})=\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}}\tilde{S}_q \), con \( \tilde{S}_q=I\times \{q\},\,\,\forall\,q\in\mathbb{Q} \), de donde \( \tilde{S}^{-1}= (I\cap \mathbb{Q})\times I \), pero obviamente \( \tilde{S}\cup \tilde{S}^{-1}\neq I\times I \) dado que \( (a,b)\notin \tilde{S}\cup \tilde{S}^{-1},\,\,\forall\,(a,b)\in (I\cap \mathbb{I})\times(I\cap \mathbb{I})\subset I\times I \). Y de ahí que me parecía razonable la inexistencia de \( S \).

Si pretendes que tu asunción de la hipótesis del continuo no implique la existencia de un buen orden en \( \mathbb R \), tendrías que reformularla como que "no existe ningún subconjunto no numerable de \( \mathbb R \) cuyo cardinal no sea el de \( \mathbb R \)", pero en cuanto pretendas expresar eso como \( |\mathbb R| = \aleph_1 \), ya estás admitiendo la buena ordenación de \( \mathbb R \).

Entiendo

Ése es el quid de la cuestión. ¿Y por qué? ¿Qué te mueve a tomar por inamovible la hipótesis del continuo? ¿Qué ves en ella que te induzca a pensar que tiene que ser verdadera cueste o que cueste? Esto lo pregunto por pura curiosidad, simplemente porque no imagino una respuesta posible. No es por tratar de convencerte de nada. Esto es subjetivo.

Pues la respuesta es sencilla; porque, que yo recuerde, en mi época de estudiante, casi todos los profesores la aceptaban y así lo trasmitían 

Claro, pero es que nadie admite ambas a la vez, como nadie admite a la vez que los ángulos de un triángulo suman a la vez 180 grados y más de 180 grados, sino que en cada geometría pasa una cosa, y tan "verdadera" es la geometría de una esfera como la geometría del plano. Según de qué triángulos hablas, se cumple una cosa u otra, pero no las dos a la vez. Según de qué conjuntos hablas, se cumple la hipótesis del continuo o no, pero no ambas cosas a la vez.

Cuando lo escribí, enseguida intuí que me ibas a contestar eso 
Saludos

[Carlos Ivorra]

Aunque geómetracat me explicó someramente la diferencia entre cardinales y ordinales, aún sigo sin comprender cabalmente. De hecho, ni sabía que los ordinales son conjuntos y aún menos que están bien ordenados.

Un ordinal es el conjunto de todos los ordinales menores que él. Así, el menor ordinal es el \( 0 \), que es el conjunto vacío, porque no hay ordinales menores. Le sigue \( 1 =\{0\} \), y luego \( 2=\{0, 1\} \), y luego \( 3=\{0, 1, 2\} \), etc. Éstos son los ordinales finitos, que son los números naturales.

Por encima de todos ellos viene \( \omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \), que es el conjunto de todos los números naturales (\( \omega \) es el conjunto de todos los ordinales menores que \( \omega \), luego es el conjunto de los números naturales). Por encima de \( \omega \) vienen:

\( \omega +1 = \{0, 1, 2, \ldots, \omega\},\quad  \omega+2 = \{0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1\}, \quad \omega + 3 = \{0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1\} \)...

Y por encima de todos éstos viene

\( \omega+\omega = \omega\cdot 2 = \{0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1, \omega+2, \ldots\} \) y luego \( \omega\cdot 2 +1 = \{0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1, \omega+2, \ldots, \omega\cdot 2\} \),

y así hasta el infinito y más allá. Como puedes ver en todos estos ejemplos, cada ordinal es siempre el conjunto de los ordinales menores que él.

Un cardinal es un ordinal que no se puede biyectar con ningún ordinal menor.

Así, \( 0 \) es un cardinal porque no hay ordinales menores con los que se pueda biyectar, \( 1 = \{0\} \) es un cardinal porque no se puede biyectar con \( 0 = \emptyset \) y, en general, todos los números naturales son cardinales, porque cada número natural \( n \) es un conjunto con \( n \) elementos y no se puede biyectar con un número natural con menos elementos.

También \( \omega \) es un cardinal, porque es infinito, luego no se puede biyectar con ninguno de los ordinales menores que él, que son finitos. Cuando se piensa en él como cardinal se representa por \( \aleph_0 = \omega \). Esto tiene la ventaja de que así, al escribir \( \aleph_0+ 1= \aleph_0 \) se entiende que hablamos de la suma de cardinales, mientras que en \( \omega+1 > \omega \) consideramos la suma de ordinales, que es una operación distinta.

En cambio, \( \omega+1, \omega+2, \ldots \omega\cdot 2, \omega\cdot 2+1 \), etc. no son cardinales, porque todos ellos son conjuntos numerables. El primer ordinal no numerable se llama \( \omega_1 \) y es, por definición un cardinal. Cuando se piensa como cardinal se representa por \( \aleph_1 = \omega_1 \), que es el conjunto de todos los ordinales numerables (incluyendo los finitos). Hay \( \aleph_1 \) ordinales numerables.

Después de \( \omega_1 \) vienen los ordinales

\( \omega_1+1, \omega_1+2, \ldots, \omega_1+\omega, \ldots \)

que tienen todos cardinal \( \aleph_1 \), y el primer ordinal de cardinal mayor que \( \aleph_1 \) es el que se llama \( \omega_2 \), y es también el cardinal \( \aleph_2 \). Y así hasta el infinito y más allá.

En particular, cada ordinal es un conjunto bien ordenado (y la relación de orden es la inclusión, pues \( 3\leq 5 \) es lo mismo que \( 3 = \{0, 1, 2\}\subset \{0, 1, 2, 3, 4\}=5 \)) y no todos los ordinales son cardinales. Por ejemplo, \( \omega+5 \) o \( \omega_1+\omega\cdot 3+8 \), que tienen cardinal \( \aleph_0 \) y \( \aleph_1 \), respectivamente.

Según geómetracat, \( \mathbb{N},\omega,\aleph_0 \) son el mismo conjunto y la única diferencia entre ellos es psicológica, pues depende del contexto.

Así es, y también la diferencia es útil para distinguir entre \( \aleph_1+\aleph_0 = \aleph_1 \) frente a \( \omega_1+\omega \neq \omega_1 \), donde en el primer caso hablamos de la suma de cardinales y en el segundo de la suma de ordinales.

Supongo que, aceptando la hipótesis del continuo, algo parecido sucederá con \( \mathbb{R},\omega_1 \) y \( \mathfrak{c}=\aleph_1 \).

No exactamente. Suponiendo siempre el axioma de elección tenemos que \( \omega_1 = \aleph_1 \), mientras que \( \mathfrak c \) es un ordinal mayor o igual que \( \omega_1 \), formado por todos los ordinales de cardinal menor que el de \( \mathbb R \). Si suponemos la hipótesis del continuo, entonces \( \mathfrak c = \aleph_1 = \omega_1 \), pero en ningún caso estos ordinales serán iguales a \( \mathbb R \), pues un ordinal es siempre un conjunto de ordinales, y los elementos de \( \mathbb R \) no son ordinales.

Ése es el quid de la cuestión. ¿Y por qué? ¿Qué te mueve a tomar por inamovible la hipótesis del continuo? ¿Qué ves en ella que te induzca a pensar que tiene que ser verdadera cueste o que cueste? Esto lo pregunto por pura curiosidad, simplemente porque no imagino una respuesta posible. No es por tratar de convencerte de nada. Esto es subjetivo.

Pues la respuesta es sencilla; porque, que yo recuerde, en mi época de estudiante, casi todos los profesores la aceptaban y así lo trasmitían 

Pues me sorprende esa respuesta, porque te tenía por proclive a cuestionar hechos que acepta prácticamente toda la humanidad salvo cuatro gatos. (Igual es una falsa impresión mía.)

Claro, pero es que nadie admite ambas a la vez, como nadie admite a la vez que los ángulos de un triángulo suman a la vez 180 grados y más de 180 grados, sino que en cada geometría pasa una cosa, y tan "verdadera" es la geometría de una esfera como la geometría del plano. Según de qué triángulos hablas, se cumple una cosa u otra, pero no las dos a la vez. Según de qué conjuntos hablas, se cumple la hipótesis del continuo o no, pero no ambas cosas a la vez.

Cuando lo escribí, enseguida intuí que me ibas a contestar eso 

Es que eso es la razón por lo que no hay nada (salvo que alguien argumente lo contrario de algún modo) que obligue a tomar como cierta la hipótesis del continuo o su negación.

[Richard R Richard]

El primer ordinal no numerable se llama \( \omega_1 \) y es, por definición un cardinal.
....
que tienen todos cardinal $$\aleph_1$$, y el primer ordinal de cardinal mayor que $$\aleph_1$$ es el que se llama $$\omega_2$$, y es también el cardinal $$\aleph_2$$. Y así hasta el infinito y más allá....

Solo por las dudas para ver si entendí bien, quizá redunde.

Todos los ordinales  $$\omega_x$$ con $$x \geq1$$ son  no numerables y son, por definición cardinales.¿ Correcto? ¿Esos cardinales son no numerables también?

Gracias

[Carlos Ivorra]

Solo por las dudas para ver si entendí bien, quizá redunde.

Todos los ordinales  $$\omega_x$$ con $$x \geq1$$ son  no numerables y son, por definición cardinales.¿ Correcto? ¿Esos cardinales son no numerables también?

Hay quien usa "numerable" para referirse a los conjuntos finitos y a los infinitos numerables, y quien usa "numerable" para referirse exclusivamente a los conjuntos infinitos numerables (yo personalmente soy de los primeros), pero, al margen de este matiz, el único cardinal numerable es \( \aleph_0 \) (y los números naturales, si a los cardinales finitos los llamamos numerables). Todos los demás cardinales son no numerables, porque un conjunto de cardinal \( \aleph_1 \) o \( \aleph_2 \), etc. no se puede biyectar con el conjunto de los números naturales. Si se pudiera, su cardinal sería \( \aleph_0 \).

Así, los cardinales no numerables son:

\( \aleph_1, \quad \aleph_2, \quad \ldots\quad  \aleph_\omega, \quad \aleph_{\omega+1}, \quad \aleph_{\omega+2},\quad \ldots \quad \aleph_{\omega\cdot 2}, \quad \aleph_{\omega\cdot 2 + 1},\quad \ldots \)

Por ejemplo, \( \aleph_\omega \) es el menor cardinal mayor que todos los cardinales \( \aleph_n \), donde \( n \) es un número natural. Por encima de todos éstos tenemos a \( \aleph_{\omega_1} \), que es el menor cardinal tal que hay una cantidad no numerable de cardinales menores que él, etc.

[manooooh]

Hola

Así, los cardinales no numerables son:

\( \aleph_1, \quad \aleph_2, \quad \ldots\quad  \aleph_\omega, \quad \aleph_{\omega+1}, \quad \aleph_{\omega+2},\quad \ldots \quad \aleph_{\omega\cdot 2}, \quad \aleph_{\omega\cdot 2 + 1},\quad \ldots \)

Perdón la intromisión, pero me genera curiosidad algo.

En el foro en los temas que suelo leer siempre que se ha hablado de los cardinales/numerales se hace enumerando los subíndices por extensión, y no por comprensión (o hacerlo mediante una sucesión). Creo que hay dos posibilidades:

1) Hacerlo así es preferible para alguien que recién se está introduciendo en esta teoría.
2) Realmente no hay una expresión que podamos utilizar para listar los subíndices por comprensión.

¿Cuál de las dos alternativas es la correcta?

Por si no queda claro, pongo un ejemplo: Uno no define a un polinomio así: Suponiendo \( a_0,\dots,a_n \) constantes con \( a_n\neq0 \) y \( n\in\Bbb{N} \):

Polinomio de grado cero: \( P_0(x)=a_0 \).
Polinomio de grado uno: \( P_1(x)=a_1x+a_0 \).
Polinomio de grado dos: \( P_2(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 \).
...
Polinomio de grado \( n \): \( P_n(x)=a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0 \).

En vez de eso, definimos generalmente al polinomio de grado \( n \) como:

\[ P_n(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i. \]

Es una notación mucho más compacta y no necesitamos de puntos suspensivos como en la cita de este mensaje. ¿Por qué entonces no se definen a los subíndices de los ordinales/numerales mediante una fórmula, expresión, sucesión, etc?

Gracias y saludos