Es interesante lo que anotas a continuación, pero yo me refería a un problema real, no matemático, que pueda resolverse con una teoría y no con la otra.
Ah, en ese sentido no creo que exista ninguno. Pero fíjate que los matemáticos también estudian otras estructuras que, sin generar sentencias indecidibles (o no más que cualquier otra estructura) probablemente tampoco tengan ninguna relación con el mundo físico. Pienso, por ejemplo, en los espacios topológicos raros que los topólogos inventan para probar que tal propiedad no implica tal otra, y cosas así. Una gran parte de la topología general trata de espacios que no tienen nada que ver con el espacio físico, y los topólogos distinguen igualmente entre afirmaciones verdaderas y falsas, sin que puedas establecer ninguna conexión entre estos hechos y una "motivación biológica" que los explique. Piensa también en una geometría no euclídea de 87 dimensiones que no se parezca ni remotamente a ninguna geometría considerada por los físicos. Pero matemáticamente ahí está, abarcada por resultados geométricos generales que valen para variedades diferenciales más o menos arbitrarias.
Desde este punto de vista, el problema de qué hacer frente a un enunciado indecidible de ZFC no tiene solución. Siquiera tiene sentido. Podemos construir una "calculadora" con hipotesis del continuo y otra con su negación o bien quedarnos con una que lo deja indecidido. Nuesta intuición metamatemática (las técnicas para hacer caluladoras) nos permite fundar sistemas axiomáticos en cualquiera de los tres casos. Y nada más se puede decir si prescindimos de asignar una semántica a las sentencias.
No es lo mismo negar que la biología sea relevante que negar cualquier semántica. Lo que digo es que la biología (o la psicología, etc.) podrá explicar que ciertas partes de la matemática nos sean más familiares e inmediatas, pero que eso es irrelevante desde el punto de vista matemático. Lo que importa desde el punto de vista matemático es si existe una realidad objetiva de algún tipo que justifique que un axioma pueda ser descartado frente a su negación por "ficticio". Yo creo que no, pero no creo estar refutándolo por descartar la biología.
Pero los matemáticos no han hecho esto para construir ZFC. Pedir ahora un criterio descontaminado de toda semática ante el problema de los indecidibles es requerir algo diferente a lo que se ha venido haciendo. O exigimos esa profilaxis desde el principio, desde el primer axioma o intentamos explicar porqué ha sido importante adopar axiomas "razonables" hasta ZFC y ya no es importante hacerlo.
Una posición que adopte la postura de que la matemática no requiere de semántica (sí la metamatemática) nos lleva a un quehacer matemático sin dirección, donde toda combinación consistente de axiomas es interesante y no preferimos unas frente a otras.
Insisto en que no estaba tratando de descartar toda semántica, ni mucho menos pretender que el tratamiento de los posibles axiomas "nuevos" deba ser diferente al de los "clásicos". A ver si así me explico mejor: ZFC es como es (hasta cierto punto) porque nuestra intuición es como es (aunque también contiene una serie de convenios arbitrarios que son más cuestiones de comodidad que de intuición, como por ejemplo establecer que sólo hay conjuntos y no objetos que a su vez no sean conjuntos), de modo que lo que considero irrelevante desde el punto de vista matemático es plantearse por qué razones biológicas, psicológicas, etc. nuestra intuición es la que es, porque si eso fuera relevante la matemática perdería su carácter de ciencia formal a priori para convertirse en lo que dice argentinator cuando te cuestiona tus llamamientos a las ciencias empíricas. En esto estoy de acuerdo con él. Si es posible "elegir" no caprichosamente entre un axioma o su negación, el fundamento debe partir de la intuición, sin descender al peldaño de qué ha provocado que nuestra intuición sea como es.
Por otra parte, la verdad es que no creo que, desde un punto de vista psicológico, ZFC sea el estándar aceptado porque su planteamiento de la matemática sea "intuitivo", sino más bien porque es cómodo y manejable. Los matemáticos trabajan en ZFC porque pueden trabajar en ZFC sin siquiera conocer ZFC. Otras teorías como los
Principia Mathematica no permiten trabajar en ellas sin estar pendientes en todo momento de triquiñuelas lógicas, y por eso no son aceptables en la práctica. La intuición tiene poco que ver en ello.
La opción más parecida a lo que ha ocurrido es la de elegir axiomas que nos permitan fundar una matemática que incluya todas nuestras intuiciones metamatemáticas, sin importar que las exceda.
Pero en este caso es fácil reconocer que la semántica se ha quedado ciega a la hora de decidir frente a sentencias indecidibles en ZFC y que ya nada más nos dirá sobre el particular.
Yo creo que así es, pero hay quien cree que la intuición (en el buen sentido) puede discernir entre una afirmación indecidible y su negación (tal vez buscando afirmaciones indecidibles más simples que impliquen una u otra y que sí que puedan ser juzgadas por la intuición), y todo ello sin recurrir a argumentos psicológicos.
