[Piockñec]

En matemáticas, fijadas las reglas del juego lo que da o quita razones es "usarlas bien". A la hora de elegir esas reglas, y es aquí donde la cuestión enlaza con este hilo, no parece haber nada tangible a que aferrarse.

Justamente, ése es el núcleo puro de la cuestión

Yo también lo pienso, ahí está el meollo del asunto. Es por esa razón por la que creo que todos, todos los axiomas están elegidos con el arbitrio de la conveniencia. Y con conveniencia, palabra sin significado alguno (o con significado que varía de un caso a otro), me refiero a aquello que buscó Carlos con esta encuesta, esa motivación para abrazar o rechazar la hipótesis.

Yo pienso que esa motivación viene dada por...

1) "Tradición, costumbre, y he sido instruido así y lo veo ya intuitivo y ""lógico"" ", como podría ser mi caso, sin experiencia alguna.

2) O de "me lo imagino así", de la imagen que uno tenga de ella (para gente con más experiencia que yo, porque casi no tengo imagen hahaha). Porque, también, cada uno tiene una imagen mental de la derivada que no veas... hablando con amigos, uno se sorprende... y todos sabemos aplicarlo y saber cuándo derivar y cuándo no, es decir, no "se deriva, se iguala a 0 y así se optimizan funciones y así derivo yo", sino que el concepto está comprendido, pero la imagen de él que uno tenga es otra cosa, y a tal imagen me refiero. Por ejemplo, uno que sepa derivar puede derivar una función (1 variable), teniendo sólo su gráfica, a ojo. Esto lo comprobé con un amigo del bachiller de sociales: le enseñé el concepto de derivada, y cuando creí que lo entendía bien, le obligué a derivarme una función dándole sólo la gráfica. Lo consiguió.

3) O de "así es la realidad física". Y con esto no me refiero tanto a la hipótesis del continuo, sino a axiomas como el 1 va antes que el 2, 1+1 son 2, y si esos no son axiomas (que de seguro creo que no lo son), a los axiomas de los que se deduce, que no deben de andar lejos. A esto me refería con mi ejemplo de las manzanas.

Es como contar, que no es sino matematizar la realidad. Dos manzanas: Realmente, son dos objetos distintos, pero asociamos una característica y los unimos en uno, sacamos factor común "manzana", y contamos. Y gracias a que la realidad suele ser función continua y no excesivamente cambiante, podemos contar, medir, y matematizar, esa es mi opinión. Y todo esto lo digo para explicar la razón de por qué me acojo al punto 3).
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Los números los inventó el hombre. Y sea un hombre yo mismo. Yo invento los números como quiero. Si cuento 1,2,3... asumo la posibilidad de demostrar por inducción completa, asumo que están ordenados, asumo que hay mínimo y siempre habrá un número mayor, etc. Pero porque así lo quiero, porque así veo que son las manzanas.

Creo que su elección, ha sido elegida por una de esas tres causas. Y sino fueron "elegidos", fueron "tácitamente elegidos".
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Respecto del último post de teeteto... me resulta interesantísimo, y te pido por favor que desarrolles un poco más la idea, para ver con igual de claridad que tú que la matemática pudiera más o menos (o tal cual?) seguir el método científico Aunque, si te soy sincero, yo soy un científico de las matemáticas, en el sentido del método. Odio el lenguaje matemático y el formalismo porque... no sé leerlo ni escribir en él hahaha soy un analfabeto matemático.

Y por eso para comprender conceptos como el gradiente, la divergencia, el laplaciano, la integral, la derivada, y todos los que me lancen, recurro a la imaginación, a la imagen mental que tengo de las funciones, y le doy vueltas hasta que consigo encajarlo ahí, y lo comprendo. Y ese "encajarlo" lo hago con un amigo con el que quedamos para beber y hablar de matemáticas: Cogemos un concepto a aprender, decimos nuestras opiniones (brainstorm), dibujamos funciones, tratamos de aplicar nuestras opiniones e hipótesis a ver si son correctas, y cuando damos en el clavo, entendemos qué significa el concepto. Yo siempre he creído que ese método que seguimos no es nada matemático, y así se lo digo yo, pero nos reímos: nos funciona.

Y probablemente a esto no se referirá teeteto, eso de dar hipótesis a ver si es posible hacer tal cosa, a ver si tal y cual... y comprobarlo. Lo he dicho más por aportar mi experiencia de cómo aprendo yo matemáticas cuando no me deducen las cosas y tratan de imponérmelas (me niego a aprender una sola cosa por imposición en matemáticas, a menos que se vaya acercando el día del examen )

Creo que se refiere más a que, al menos yo, los problemas que encuentro en el foro de demostraciones son siempre iguales: Demuestre que...(expresión a demostrar)... es cierta o falsa, existe o no existe. Y estos problemas no surgen porque sí: alguien se ha topado con ellos, y han surgido. Aunque sea para ilustrar un libro con ejercicios. Es una observación que se hace, que se transforma en problema. Se hace una hipótesis (la expresión a demostrar) y se prueba a reducir por absurdo, a hacer cambios de variable... en definitiva, experimentos. Y el último paso que ha añadido... yo no lo he entiendo... pero en mis cortas luces, opino que será que los matemáticos comprueban la coherencia con otros teoremas, "deconstruyendo cuando es menester". No sé. Por eso te pido que desarrolles la idea, por favor, que no veo que logre entenderla

[Carlos Ivorra]

Quizás implícitamente identifico "ciencia" con "ciencia empírica" pero es que, además, y aquí seguro que habrá polémica, yo no estoy tan seguro de que la matemática NO se ajuste al esquema...

Yo veo en tu planteamiento una analogía entre la matemática y la física que puede resultar muy iluminadora.

Es razonable considerar que un matemático "observa", por ejemplo, que 7 es primo y que 8 no lo es, en el sentido de que no puede elegir la respuesta a la pregunta de si el 7 es primo, igual que no puede elegir la respuesta a la pregunta de si el oro es amarillo. Pero no está de más destacar que las "observaciones" de los matemáticos son razonamientos, aunque en casos como el de este ejemplo se reduzcan a simples cálculos. Pensemos que el matemático también puede "observar" en el mismo sentido que existe una función continua no derivable en ningún punto, y esta "observación" es un razonamiento mucho más sofisticado que un mero cálculo.

¿Podemos considerar también como "observación" la demostración de que por encima de cada número natural hay un número primo? Aquí podríamos dudar, pero yo diría que sí, puesto que sigue siendo un hecho que nos viene impuesto como una "realidad", si bien aquí aparece la diferencia esencial entre el matemático y el físico: el primero puede "observar" hechos generales, y el segundo no. El físico puede observar que algunas piedras caen, pero no puede observar que todas las piedras caen. Por ello una teoría física basada en observaciones puede ser invalidada en cualquier momento por una observación posterior, mientras que cuando el matemático "observa" un hecho general, puede estar seguro de que nunca "observará" ningún hecho particular que lo contradiga.

Lo que me parece más interesante de todo esto es que el problema que nos ocupa (qué hacer ante una afirmación como la existencia o no existencia de un conjunto S como el indicado al principio del hilo) tiene, en términos de esta analogía, un perfecto equivalente físico:

La física cuántica nos enseña que existen fenómenos sujetos a una aleatoriedad cuántica esencial, es decir, que se pueden plantear experimentos que (si se diseñan adecuadamente para que la situación sea lo más sencilla posible) admiten dos resultados posibles, digamos A y B, pero de modo que no hay nada en el estado del universo antes de que se observe el resultado que permita predecir si éste será A o será B (el caso más conocido es abrir la caja para ver si el gato de Schrödinger está vivo o muerto, pero no voy a entrar en detalles físicos), de modo que si al final se observa A, podemos decir que perfectamente podría haber sucedido B, y que no hay absolutamente ninguna razón por la que el resultado tuviera que ser A en vez de B.

Pues bien, la mecánica cuántica explica que el sistema físico, antes de que sea observado para comprobar si su estado es A o B, viene descrito por una función de onda que representa una superposición de las dos posibilidades, y que sólo al observar el resultado se "colapsa" la función de onda y sólo entonces uno de los dos resultados pasa a ser real, mientras que el otro deja de serlo. Y aquí los físicos conocen dos posibles interpretaciones de esta situación:

La interpretación clásica, o de Copenhaghe, o de Heisenberg, afirma que las cosas son ni más ni menos como he descrito: de las dos opciones posibles, una termina siendo real y la otra termina siendo irreal. Si al final sucede A, podríamos pensar coherentemente cómo sería el mundo si el resultado hubiera sido B, pero eso sería una descripción matemática de un mundo irreal, ya que en el mundo real ha sucedido A.

La interpretación de universos múltiples, o de Everett, existen (en principio) dos universos que tienen una sección inicial común hasta el momento en que se realiza la medición, pero a partir de ahí difieren en que en uno sucede A y en otro sucede B. Si yo realizo el experimento y observo A, lo cierto (según esta interpretación) es que hay otro observador idéntico a mí que observa B en otro universo y que sólo a partir de ese instante empieza a diferenciarse de mí, en la medida en que haber observado B y no A pueda cambiarme a mí y a través de mí (y de todos los objetos físicos afectados por el experimento) pueda cambiar el resto del universo. Naturalmente, no habría sólo dos universos, sino en realidad uno por cada combinación de resultados de todos los experimentos sometidos a incertidumbre cuántica.

El caso es que si la teoría de universos múltiples es cierta, no podemos decir que A sea real y B no, o viceversa, sino que cada posibilidad es real en su respectivo universo. Esto sería (digo yo) lo análogo a quien piensa (2) que la existencia de S no es ni más ni menos verdadera que la no existencia de S, sino que cada una de las dos posibilidades es verdadera en la teoría que resulta de tomarla como axioma, y que la "realidad" descrita por una de ellas no es ni más ni menos "real" que la descrita por la otra.

Por el contrario, la interpretación clásica de la mecánica cuántica se correspondería con quien piensa (3) que sólo una de las dos opciones (existe o no existe S) es verdadera, y la teoría contraria está describiendo una "realidad matemática ficticia, consistente, pero ficticia".

Encajar (1) en esta analogía sería un poco más forzado. Quien no quiere suponer ni que exista ni quien no exista S sería como si pudiéramos evitar colapsar cualquier función de onda y en ningún momento se decidiera nada que no tenga una necesidad física de ser de una forma o de otra. (Dudo mucho que esto tenga sentido físico alguno.)

La diferencia fundamental es que, cuando miramos, o vemos A o vemos B, pero el matemático no puede "observar" de ningún modo la existencia o no existencia de S (por lo menos no si "observar" = "demostrar matemáticamente"), por lo que sus "funciones de onda" quedan siempre sin colapsar, a menos que las colapse con axiomas (como la hipótesis del continuo o cualquiera de sus alternativas) y consideremos también a éstos como "observaciones".

En cualquier caso, una conclusión que me parece relevante es que la analogía planteada por teeteto no conduce (vista así) a la cuestión de si la matemática es o no una ciencia, en el sentido de que la incertidumbre cuántica no pone en duda que la física sea una ciencia. El problema que nos ocupa es cómo interpretar la incertidumbre matemática análoga a la incertidumbre cuántica de la física.

[Cristian C]

Retomo el hilo, ahora que veo.
A excepción de la certeza de que fracasaré en el intento de ser claro, breve y conciso, todo lo demás es opinable.

Recojo algunas preguntas que han quedado dispersas pero que sustancian el eje del planteo.
¿Qué hacer frente a un enunciado indecidible en la teoría de conjuntos? ¿Nos sirve la intuición para decidirnos por su afirmación o su negación? ¿Por qué muchos matemáticos sienten que la hipótesis del continuo es más “natural” o “razonable” que su negación? ¿Realmente tenemos intuiciones o pseudointuiciones (algo parecido a la intuición pero que no lo es) respecto al comportamiento de objetos matemáticos que no podemos intuir?
Aún dentro de la teoría de conjuntos, ¿Qué luz guía al matemático por los meandros de la prueba del teorema de Banach Tarski? ¿Cómo “intuimos” un conjunto no medible Lebesgue? ¿Por qué manejamos conjuntos no numerables como si fueran un concepto elemental?
Estas preguntas dan por sentado un hecho que yo creo indiscutible pero que podría serlo para alguien: la idea de que, llegado a cierto nivel de pericia, somos capaces de “pensar” acerca de objetos imposibles de intuir,  como si fueran intuibles. No discutiré esto. Para mi es una evidencia; el hecho a explicar. Lo menciono por si a alguien le interesa discutirlo. Piénsese que lo contrario implica suponer que hacemos esas pruebas pasando de unas cadenas de signos a otras por inferencia lógica, sin recalar en significado alguno. Y yo digo que no hacemos esto.

Volvamos a las preguntas. Si las releemos con cuidado caemos en la cuenta de un hecho central: No preguntan por la matemática sino por el matemático. Y si pensamos en nuestra progresiva habilidad de manejar conceptos cada vez más abstractos como si pudiéramos imaginarlos, esas preguntas son acerca de las últimas ramitas de un árbol que es preciso comenzar a describir por el tronco.

El tronco del árbol es la intuición básica. Existen conceptos que no refieren ningún objeto real, como los números naturales y los elementos de la geometría euclídea. Los construimos en nuestra mente del mismo modo como construimos el concepto de “duro” o “rojo”, como una propiedad común a una serie de cosas. Así, el número “tres” es lo que tienen en común todas las colecciones de tres cosas. La conceptualización de elementos geométricos es más sofisticada porque además de una clasificación involucra una idealización. Una línea recta es lo que tienen en común el contorno de una rama muy derecha, la trayectoria de un objeto que cae en caída libre, o una línea dibujada en un papel con una regla; pero la línea recta es, además, perfectamente derecha, y esa perfección no existe en ningún ejemplo real. Por eso la construcción de estos conceptos es más tardía.

La intuición pura es la capacidad de reconocer que estos objetos se comportan siempre de una forma y nunca de otra. Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta. Nosotros podríamos fundar una geometría perfectamente consistente reemplazando esta afirmación por otra que sostenga que por ese punto no pasa ninguna, o bien que pasa más de una. Sin embargo, no podemos más que concebir que pasa solo una. Este “hecho” reconocido inevitable e insustituiblemente por nosotros es una intuición geométrica. Algo que simplemente “vemos” así y que no podemos ver de otra manera. Podríamos afirmar que en la realidad, se verifica el postulado de la paralela, pero el hecho es que realmente no existen ni los puntos ni las rectas. Además, existen teorías físicas muy fundadas, como la Relatividad General, que contemplan un espacio no euclídeo, de modo que nuestra intuición podría siquiera coincidir con la realidad.
Entonces ¿Por qué intuimos lo que intuimos y no otra cosa? ¿Cómo llegamos a intuir? ¿Son “verdaderas” las intuiciones (los hechos intuidos)?

La intuición aritmética y geométrica no nace de un repollo. Es una capacidad de nuestro intelecto que de algún modo ha llegado allí y que se asienta en nuestro cerebro de alguna manera, probablemente en la forma de interconexiones neuronales a nivel del córtex. La intuición aritmética no existe en otras especies y tampoco existía en la nuestra hace 10.000 o 15.000 años, cuando nuestros acercamientos al concepto de cantidad eran de la forma “uno, dos, tres,…, muchos”

Tenemos la capacidad hereditaria de aprender algunas propiedades acerca de los números, pero la herencia no alcanza, tenemos los mismos genes que hace 10.000 años; es necesario el aprendizaje. En este sentido, estas capacidades no son puramente genéticas sino eminentemente culturales. Sin embargo, esta capacidad de manejar el número se apoya en otras más básicas y más generales, algunas de las cuales sí se comparten con otras especies.

Concebir la cantidad, depende dramáticamente de la capacidad de reconocer objetos individuales, una habilidad que no está presente en los neonatos y que se desarrolla durante los primeros dos años de vida. La conservación del objeto es, a su vez la consecuencia de un sinnúmero de operaciones concretas que se dan durante el juego y mediante las cuales reconocemos que el objeto se mantiene constante frente a movimientos, que estos movimientos son reversibles, etc.
Comprender que la cantidad de objetos de una colección no varía con el orden en que los contemos, requiere del desarrollo de todas esas capacidades previas. Y conforme esto ocurre, se tejen conexiones neuronales que se engrosan con el uso. Cuando una capacidad ya está construida, el sujeto la utiliza automáticamente, sin un control voluntario de sus detalles, y sobre este automatismo se apoya la construcción de las estructuras siguientes, donde los detalles serán relevantes hasta que se automaticen a su vez.
Intuir una verdad aritmética básica, como la conmutatividad de la suma, es como correr un programa que solo tiene una salida posible. Lo mismo ocurre con el postulado de las paralelas y las demás intuiciones geométricas. Lo concebimos así porque nos hemos programado para eso. Pero fuera de la presencia de un programa que nos da la sensación de que algo debe ser así, nada nos asegura de que exista alguna verdad real detrás de ello. La geometría del espacio podría ser no euclidiana.

Por supuesto, los conceptos aritméticos y geométricos así construidos tienen un fuerte soporte fáctico. Todo el proceso de construcción es fáctico. Sabemos que 2 + 3 es 5 porque toda vez que reunimos una colección de dos objetos y una de tres, hemos contado cinco objetos en la colección resultante. Los programas con que concebimos “en automático” estas verdades son una consumación neurológica del inductivismo. Quiero decir, nosotros sabemos que a partir de un número finito de casos en que se verifica un fenómeno, no podemos derivar lógicamente que el fenómeno se verificará para todo caso. Pero la naturaleza no tiene estos cuidados porque sus objetivos son otros. Si siempre se verifica la una propiedad, se programa la capacidad de concebirla como única posibilidad ¿para qué complicarse con los pruritos de la lógica si lo que importa es que la habilidad construida sea adaptativa, que el sujeto logre una buena interpretación de la realidad para mejorar sus alternativas de supervivencia y reproducción?

Nuestro cerebro está diseñado para autoprogramarse, y esos programas son siempre generalizaciones útiles a partir de “suficiente” experiencia, que nunca es “todos los casos”.

No tenemos evidencia para derivar lógicamente que en todos los casos en que agreguemos \( b \) objetos a una colección de \( a \) objetos obtendremos una colección con el mismo número de objetos que si agregamos \( a \) objetos a una colección de \( b \) objetos. Pero tenemos un programa que nos dice que esto es así en todos los casos. El proceso que creó el programa no sabe de epistemología, solo registra que el programa es útil y funciona.
Quiero decir, que hay una base fáctica para las verdades que intuimos, pero que no es absolutamente segura. Solo es suficientemente segura. Y además, esa base fáctica proviene de la realidad que podemos percibir de primera mano. En ningún modo nuestro intelecto creará estructuras para representar la no localidad cuántica o las geodésicas de la RG.
Sin embargo, las estructuras de representación que esta realidad sensible nos induce, tienen una característica fundamental y (al menos para mi) sorprendente: Las intuiciones básicas no parecen llevar a contradicciones. La realidad sensible no es contradictoria. (Puedo aceptar que el universo no sea contradictorio, pero lo que percibimos de él a simple vista, bien podría serlo)

Vayamos ahora hacia las ramas del árbol.
La capacidad del cerebro humano de automatizar formas de pensamiento sobre la base de ladrillos previamente solidificados, no tiene por qué detenerse con la intuición básica. Un matemático experimentado habrá construido en su mente la capacidad de identificar de primera mano el comportamiento de conjuntos no numerables aún sin poder concebirlos en detalle, porque su mente se ha ejercitado en ello y ha construido programas que le permiten reconocer que la unión de dos conjuntos \( \aleph_1 \) es nuevamente \( \aleph_1 \) sin tener que representarse un biyección.

Los mecanismos que construyen la intuición básica, siguen funcionando y siguen construyendo estructuras de reconocimiento automático que hacen que el matemático pueda abordar cuestiones de complejidad creciente sin perderse en un océano de signos, ejerciendo siempre alguna forma de control semántico de la situación.

La “sensación” del matemático al reconocer la “verdad” de estas cuestiones de segundo o tercer nivel, es la misma que la sensación que provoca un reconocimiento intuitivo, porque el principio de funcionamiento es el mismo y muy probablemente, el soporte neurológico de estas capacidades también lo sea.

Pero frente a esto, hay un detalle que es necesario reconocer. Pese a no tener certeza absoluta, tenemos un buen grado de certeza acerca de la asociatividad de la suma; podríamos decir: el mayor grado de certeza que se puede tener al respecto. Sin embargo, a medida que avanzamos en este árbol de capacidades de reconocimiento automático donde cada estructura se monta sobre capacidades previas alejándonos de su tronco intuitivo básico, las afirmaciones matemáticas se alejan del control fáctico de su certidumbre y el significado de “verdadero” y “falso” se va degradando. Junto con esto, se degrada también la certeza, y algunos fenómenos con olor a inconsistencia comienzan a prefigurarse.

El caso traído por Carlos es un ejemplo perfecto del como estas “intuiciones” de segundo y tercer nivel comienzan a contradecirse.
Veamos el caso.

Existe una razón por la cual la mayoría de los matemáticos prefiere la hipótesis del continuo a su negación: No podemos concebir ningún conjunto infinito con cardinal mayor que el de \( \mathbb{N} \) y menor que el de \( P(\mathbb{N}) \). Si aceptáramos su existencia, estaríamos proclamando la existencia de un tipo de objetos que no podemos construir de ninguna manera. Entonces nos parece más razonable decretar su inexistencia.

Lo mismo ocurre con el conjunto S del ejemplo de Carlos. Su existencia es indecidible, pero si la decretáramos, tendríamos que convivir con un objeto imposible de construir. Entonces, la primera impresión de la mayoría es que ese conjunto no existe. Y ahora que sabemos que un axioma de existencia no cambiará el hecho de que nunca daremos con él, preferimos axiomatizar para que no exista.

Y he aquí el problema: La hipótesis del continuo (que preferimos) permite demostrar la existencia de S (que no preferimos) y la negación de la hipótesis (que nos parece poco razonable) permite probar la inexistencia de S (que nos parece razonable).

Esto nos revela un aspecto interesante del problema: la certeza de las intuiciones basadas en ladrillos intuitivos previos se va degradando a medida que ascendemos en el árbol, del tronco hacia las ramas. Y allá, en las ramitas, todo es un tembladeral y podemos intuir cosas que no se conectan lógicamente.

Este fenómeno ejemplificado para el caso de una sentencia indecidible en ZFC, existe ya dentro de ZFC. Nuestra intuición de alto nivel nos dice que los axiomas de la teoría son razonables, pero también nos dice que no se puede partir una bola en cinco pedazos y con ellos construir dos bolas idénticas a la primera. Y sin embargo, esto puede concluirse a partir de esos axiomas que sí aceptamos.

A modo de conclusión quiero decir lo siguiente: No tenemos certeza de que las afirmaciones matemáticas sean verdaderas o falsas. Pero sí podemos reconocerlas como verdaderas o falsas (en algunos casos) debido a que hemos construido estructuras mentales que así nos lo hacen sentir. En la base de esa construcción existe un control fáctico, que asegura un buen grado de certeza de las afirmaciones intuidas. Conforme esa sucesión de estructuras se aleja del plano fáctico en que han nacido las primeras, el grado de certeza que sentimos acerca de  su veracidad o falsedad se degrada pudiendo llegar a concebir pares de afirmaciones “razonables” (intuibles en alto nivel) que son lógicamente contradictorias.

Desde este punto de vista yo opino que, por un lado, es imposible seguir el derrotero de una demostración intrincada sin intuiciones de segundo o tercer nivel, pero por otro lado creo que no debemos darle a seas intuiciones más entidad que la de una herramienta intelectual útil, que en el fondo, nada podrá decirnos sobre qué alternativa de una sentencia indecidible debe añadirse como axioma.

Sin embargo, es evidente que, hasta ahora, esa intuición sí ha influido en los matemáticos a la hora de elegir los axiomas. Es solo que ahora estamos llegando a una zona borrosa, donde ya no se puede ver con claridad.
Frente a esto, lo mejor es admitir que la matemática es una herramienta que podemos modelar según nuestro propósito. Y que una matemática con axioma del continuo puede ser útil para una cosa y otra con su negación, puede ser útil  para otra. Dicho esto, confieso mi ignorancia para imaginar qué problema concreto pudiera requerir una decisión sobre el particular.

Saludos.

[argentinator]

Voy a dar una contestación a pequeña parte de todo lo que has dicho,
y "después" (¿alguna vez?) trataré de responder a todo lo que has dicho.

Veo que muchas veces usaste la palabra "capacidad".
Yo pienso que el mero uso de esa palabra ya implica una creencia implícita, la de que ciertas "características" del cerebro humano son "virtudes".
Yo no hablaría de la "capacidad de contar" o la "capacidad de intuir", sino de las "característica de contar" o la "característica de intuir".
El cambio en el uso de esas palabras hace las cosas más objetivas.

En particular, al no pensarlas como "virtudes" sino como "características evolutivas casuales", dejan de estar "en el trono" de la evolución.
El ser humano no es más "especial" que otros animales, sino sólo mejor adaptado al medio ambiente terrestre.

Viendo ahora las "capacidades=características" humanas con más frialdad, y quizás hasta desdén, resulta que la intuición no tiene nada de especial, ni tampoco la capacidad/característica de contar.
No hay razón para "confiar místicamente" en esas características de la mente humana, como si fuesen una verdad última escondida por ahí.

No hay razón tampoco para pensar que sean características sólidas de la mente humana.
Y si seguimos pensando, nos damos cuenta que la palabra "intuición" se atribuye a múltiples significados, o múltiples características de la mente humana, y que no es fácil ni claro "poner una frontera" entre todos los tipos de "intuiciones" de la mente.

Sólo una parte o porción de las intuiciones humanas puede ser "sólida" en algún sentido.
Y cuando digo "sólida" no me refiero a "fiable", porque no hay razón para considerar "fiable" intuición alguna (y además ¿fiable en qué sentido? ¿otra vez verdades místicas o platónicas escondidas entre las neuronas? mmm).
Cuando pienso en "intuiciones sólidas" me refiero exclusivamente a unas pocas intuiciones de las que podamos tener certeza absoluta que son "productos mentales comunes a todos los seres humanos".
Tales intuiciones tienen que ser simples, claramente distinguibles, claros, para poder "tomarlos en serio" como cosa sólida, y a partir de allí "construir teorías exactas".

Y finalmente, para poder determinar ese tipo de intuiciones, considero que hace falta hacerlo a través del "método científico", es decir, vía una sólida experimentación que muestre un "algo grado de confianza" en que tales o cuales "intuiciones" realmente son universales.

Dicho así, la lógica se volvería una ciencia experimental, y yo pienso que es lo correcto, por ser lo más honesto y crítico que tenemos a la mano.

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Cuando un matemático "intuye" objetos o conjuntos o axiomas o teoremas... básicamente intuye lo que se le da la gana.
Me da la sensación de que se trata de gente obsecada, que en ciertas regiones de la matemática ha perdido el sentido crítico que tiene en otras áreas.

Esta falta de criticismo ocurre cuando la gente olvida que la matemática es o ha de ser una ciencia, y no un delirio artístico o una inspiración metafísica.
Tiene que haber crítica en todas partes para que siga siendo ciencia.
Y tiene que ser la ciencia más crítica de todas, porque es la base o sostén de muchas otras.

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En general, respecto a todo lo que has planteado, aunque luego me gustaría discutir de varias cosas, antes de hacerlo quiero dejar una impresión general que tengo al respecto.

Debido a ciertas borrosidades o falta de certeza en lo que respecta a las bases de la matemática, o del uso de la intuición en ella, has tenido que meterte en terrenos no matemáticos, que lamentablemente no están delimitados (filosofía, sociología, neurología, ¿qué más y hasta dónde?).
Al tener que entrar en esos terrenos, es obvio que no podés tener un manejo exacto y completo de todos los elementos teóricos necesarios, y se confunde la borrosidad original del problema con lo borroso de tus conocimientos sobre esos temas, y esto es algo que nos pasaría a cualquiera de nosotros si intentamos meternos ahí.

Pienso que los fundamentos de la lógica matemática requieren principios claros, sencillos y firmes, para que todo el mundo pueda estar de acuerdo, y se pueda avanzar con certeza desde ahí.
(¡La matemática tiene que seguir siendo una ciencia exacta! Please  ).

Si perdemos exactitud tenemos que recuperarla y hay dos caminos que veo:
(1) Introducirse de lleno en todas las ciencias sociológicas, neuronales, biológicas, etc., que haga falta, ir hasta el fondo de la cuestión, y determinar con precisión qué pasa con la mente humana, y dar una justificación de las bases de la matemática basada en ese conocimiento.
(2) Descartar de entrada meterse en semejante embrollo, y tratar de determinar y aceptar unos pocos y simples hechos de carácter universal de la mente humana, para "comenzar desde allí", y despreocuparse del "córtex", "la evolución de las especies" y los aspectos sociológicos, etc.

Mi postura es la (2), porque soy matemático, y porque me parece algo plausible de hacer.
Uno ha de tener én cuenta "todo lo no matemático", para luego descartarlo lo más posible, y no complicarse la vida.

El único objetivo o principio ético  es "mantener la exactitud de la matemática".

Habiendo establecido eso, entonces me será posible opinar sobre muchos temas de los que has hablado.

[argentinator]

Como resumen para los que se cansan de leer mucho:

Mi posición es empirista en extremo, y sólo acepto "objetos o actos intuitivos" que hayan sido o sean certificados por experimentación como concretos y universales a todos los seres humanos.
(Es obvio que esto deja una base algo endeble, cambiante, en los fundamentos de la lógica, pero sería a mi juicio la menos endeble de todas las bases teóricas posibles).

Una segunda posición que he tomado es la de "no irse demasiado lejos en especulaciones".
Estoy tratando de mantener la simpleza, al mejor estilo "navaja de Ockham", para quitar de entrada todo elemento difuso y deshonesto ("aguas turbulentas son ganancia para el que pesca"), y mantener en el discurso hechos simples, universales y de fácil comprobación.
Así "nadie mete cuentos o justificaciones amañadas" en el asunto (discurso pseudocientífico).

[feriva]

Una línea recta es lo que tienen en común el contorno de una rama muy derecha, la trayectoria de un objeto que cae en caída libre, o una línea dibujada en un papel con una regla; pero la línea recta es, además, perfectamente derecha, y esa perfección no existe en ningún ejemplo real. Por eso la construcción de estos conceptos es más tardía.

 Un profesor mío decía que una recta no era una raya ni tampoco tenía que ver con “ser recto en la vida” u otras metáforas. Y, al menos si pensamos en la recta con los números que conocemos, es verdad, es un concepto totalmente abstracto, tampoco tiene que ver con una curva ni ningún tipo de línea. Basta pensar en que los números finitos no tienen punto de contacto con los infinitos (no lo evita el hecho de que los racionales y los irracionales sean densos en los reales). Si “r” es un número finito en valor, el siguiente es un valor finito o no es el siguiente. Y si intentamos visualizar esto en una línea dibujada, perfectamente recta o no, forzosamente tendremos que entender que existe una separación, una isla, debida a los conceptos de finito e infinito; lo que nos llevaría a la paradoja de concluir que la recta —dibujada— no es continua.
 Intuitivamente, sólo podemos entender la recta dibujándola eternamente, agarrándonos a la idea de infinito potencial.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Bueno, creo que esto está derivando hacia un debate que correspondería a un hilo abandonado hace tiempo y nos alejamos del contenido de éste, que es mucho más elemental, a saber, la pregunta: ¿qué hacer ante las afirmaciones que no pueden demostrarse ni refutarse?

De todos modos, haré algunas observaciones a lo dicho. Empiezo por lo más corto y concreto:

Dicho esto, confieso mi ignorancia para imaginar qué problema concreto pudiera requerir una decisión sobre el particular.

Un ejemplo: Se dice que un espacio topológico cumple la condición de cadena numerable si toda familia de abiertos disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable. Ejemplos de espacios con esta propiedad son todos los espacios separables (con un conjunto denso numerable), como es el caso de \( \mathbb R^n \) y todos sus subespacios. Cabe plantearse:

¿si \( X \) e \( Y \) son espacios topológicos con la condición de cadena numerable, lo es también \( X\times Y \), con la topología producto?

En los libros de topología general hay docenas de teoremas y ejemplos que responden afirmativa o negativamente cuestiones de este tipo.

Pues bien, hay un axioma llamado AM(\( \aleph_1 \)) (el Axioma de Martin para \( \aleph_1 \), MA en los libros en inglés) que implica mucho más, a saber, que el producto de cualquier familia arbitraria, finita o infinita, de espacios con la condición de cadena numerable, cumple también la condición de cadena numerable.

Pero AM(\( \aleph_1 \)) implica también que \( 2^{\aleph_0}>\aleph_1 \), mientras que si suponemos que \( 2^{\aleph_0}=\aleph_1 \) entonces podemos construir un espacio topológico de Hausdorff \( X \) con la condición de cadena numerable tal que \( X\times X \) no cumple la condición de cadena numerable.


En general coincido con lo expuesto por Cristian C, pero también coincido con argentinator en que no es procedente investigar la biología subyacente al conocimiento matemático humano. Es algo que sin duda puede ser interesante desde un punto de vista antropológico, pero que carece de interés puramente matemático.

Lo explico con un ejemplo: imaginemos que alguien inventa desde cero una calculadora como las que conocemos (prescindamos de que en realidad es difícil llegar a ella sin muchas generaciones previas más toscas de calculadoras). Indudablemente, la calculadora será como será debido a las motivaciones, intereses, etc. del constructor. Incluso podemos decir que si dichos intereses hubieran sido muy distintos, en lugar de una calculadora habría podido acabar construyendo una videoconsola, pero nada de eso es relevante a la hora de entender lo que hace la calculadora: para entenderlo habrá que entender lo que son los números, las operaciones entre números, las funciones trigonométricas, etc., pero nada que tenga que ver con la psicología del constructor. Una cosa es qué hace la calculadora y otra cómo ha llegado a ser construida esa calculadora.

Del mismo modo, una cosa son los azares biológicos que han hecho que lleguemos a conocer las matemáticas que conocemos y otra cosa muy distinta es qué es la matemática que conocemos. A lo sumo, la psicología, la neurología, etc. podrán explicar por qué conocemos la matemática que conocemos y no otra, pero no qué es y qué justifica la matemática que conocemos.


En cuanto a la intervención de argentinator:

Y si seguimos pensando, nos damos cuenta que la palabra "intuición" se atribuye a múltiples significados, o múltiples características de la mente humana, y que no es fácil ni claro "poner una frontera" entre todos los tipos de "intuiciones" de la mente.

Aquí tenemos un problema lingüístico que hay que poner sobre la mesa si queremos que haya alguna posibilidad de entendernos. En efecto, la gente usa la palabra "intuición" en los sentidos más diversos, pero yo pretendo darle un uso mucho más restrictivo (que esencialmente no es mío, es de Kant), de modo que no es justo usar contra mí afirmaciones que otros califican de "fundadas por la intuición" pero con un significado de la palabra "intuición" que no tiene nada que ver con lo que yo estoy llamando intuición. Es como si un matemático define "árbol" y desarrolla una teoría sobre los árboles que ha definido y se le pretende poner objeciones basadas en que tengo un pino en mi jardín que no se comporta como dice la teoría, pese a que los árboles definidos por el matemático no incluyen a los pinos ni a nada que se le parezca.

Sólo una parte o porción de las intuiciones humanas puede ser "sólida" en algún sentido.
Y cuando digo "sólida" no me refiero a "fiable", porque no hay razón para considerar "fiable" intuición alguna (y además ¿fiable en qué sentido? ¿otra vez verdades místicas o platónicas escondidas entre las neuronas? mmm).
Cuando pienso en "intuiciones sólidas" me refiero exclusivamente a unas pocas intuiciones de las que podamos tener certeza absoluta que son "productos mentales comunes a todos los seres humanos".
Tales intuiciones tienen que ser simples, claramente distinguibles, claros, para poder "tomarlos en serio" como cosa sólida, y a partir de allí "construir teorías exactas".

La certeza que proporcionan las intuiciones sólo es certeza sobre lo que podemos y no podemos intuir. Por ejemplo, yo tengo la certeza de que no puedo concebir dos rectas en el sentido intuitivo de "rectas" que tengan una perpendicular común y que se corten en un punto. Esto hace que al afirmación "dos rectas con una perpendicular común son paralelas" sea una afirmación verdadera sobre la geometría de mi intuición, lo cual no le da el status de verdad revelada por Platón. Es una mera descripción sobre unos conceptos de los que tengo una representación directa lo suficientemente fiel como para garantizar que nunca encontraré un contraejemplo. En particular, esto no sitúa en ningún lugar privilegiado en el contexto general de la matemática a la geometría tridimensional euclídea. Hay otras geometrías que matemáticamente no son "mejores ni peores" e incluso sería lógicamente posible que existieran otros seres conscientes cuya intuición geométrica no fuera euclídea. No necesito que todos los seres conscientes tengan una facultad de intuición idéntica a la mía para poder afirmar con convicción que en la geometría de mi intuición la afirmación anterior es verdadera.

Cuando un matemático "intuye" objetos o conjuntos o axiomas o teoremas... básicamente intuye lo que se le da la gana.
Me da la sensación de que se trata de gente obsecada, que en ciertas regiones de la matemática ha perdido el sentido crítico que tiene en otras áreas.

Esta falta de criticismo ocurre cuando la gente olvida que la matemática es o ha de ser una ciencia, y no un delirio artístico o una inspiración metafísica.
Tiene que haber crítica en todas partes para que siga siendo ciencia.
Y tiene que ser la ciencia más crítica de todas, porque es la base o sostén de muchas otras.

Coincido contigo en que cuando alguien (incluso un matemático) dice que "intuitivamente" sucede tal cosa, básicamente está diciendo lo que le da la gana. Pero si restringimos la palabra "intuición" a lo que realmente puede abarcarse por nuestra capacidad de representación mental, excluyendo analogías sin fundamento objetivo, entonces ya no es así. Tú no puedes decidir si puedes ver dos rectas secantes con una perpendicular en común o no puedes. No depende de tu voluntad. No puedes y punto, salvo que uses "recta" o "perpendicular" en un sentido distinto del intuitivo.

La matemática, como ciencia, es algo objetivo que no depende de la mente de nadie, ni de las capacidades de nadie en particular. Pero para que un ser consciente pueda acceder a esa ciencia necesita tener una mente con ciertas capacidades. Eso es lo que distingue a un matemático de un trozo de granito o de una lagartija: el matemático puede representarse intuitivamente una pequeña porción de la matemática abstracta, no mediante analogías, como un sordo que trata de imaginar qué es la música, sino mediante una capacidad de representación de la que conoce parcialmente sus límites (es decir, puede saber que ciertas cosas "caben" y ciertas cosas "no caben" en sus posibilidades de representación). Esto no son primeras verdades en las que se fundamenta la matemática, sino el punto de conexión entre la mente consciente y la matemática abstracta impersonal. Si fuera posible entrar en la matemática sin una base intuitiva, las piedras sabrían matemáticas. Por lo tanto, realizar la conexión de nuestras mentes con la matemática abstracta que pretendemos conocer no dice nada sobre las matemáticas en sí, y en particular no cuestiona el status científico de las matemáticas. Simplemente se trata de poner sobre el papel ciertas cosas que podemos hacer o no podemos hacer (manipular fórmulas, hacer demostraciones formales, chequearlas, o constatar que no podemos demostrar ciertas cosas, etc.) a través de las cuales podemos descubrir las matemáticas. La metamatemática no es una teoría matemática, sino una teoría puramente formal (no empírica) sobre nuestra forma de acceder a las matemáticas.

Ni siquiera es necesario que este "puente" sea el mismo para todos. Si yo tengo que fundamentar las matemáticas a alguien, le diré: consideramos un lenguaje formado por estos signos. Con estos signos formamos cadenas finitas de signos (tú ya me entiendes lo que quiero decir con "finitas") y es obvio que cada cadena tiene un número de signos concreto, que no depende de si los contamos de atrás adelante o al reves, etc.

Si quien me escucha puede reflexionar sobre cada cosa que digo y se convence de que lo que digo no puede ser de otra forma (de acuerdo con su intuición), entonces ni siquiera es relevante si su intuición es o no la misma que la mía. Si la suya fuera diferente pero lo cierto es que cuando yo digo que algo es intuitivamente cierto con respecto a mi intuición él también lo reconoce como intuitivamente cierto con respecto a la suya, sea idéntica a la mía o no, lo cierto es que mi alumno acabará con una fundamentación de la matemática que le permitirá estudiar las mismas matemáticas que estudio yo (esencialmente ZFC), sea a través de una intuición idéntica a la mía o no.

Por el contrario, si me encontrara con alguien para quien lo que para mí es intuitivamente cierto (en un sentido muy restringido de la palabra "intuición" muy distante del sentido amplio y despreocupado con que muchos matemáticos usan el término) no lo fuera para él, o bien es que estaría hablando con un ser consciente sin capacidad para entender las matemáticas (por ejemplo un deficiente mental profundo, dicho con todo el respeto, no es un insulto, me refiero a alguien realmente diagnosticado como tal) o bien ante un extraterrestre inteligente con una capacidad de intuición distinta de la mía que necesitará "enchufarse" a la matemática formal por otro camino distinto al que sigo yo.

Nada impide que pueda haber un ser para el que la geometría tridimensional euclídea sea una teoría abstracta vacía de contenido intuitivo como para mí lo es cualquier otra geometría, pero nada impide que dicho ser pueda entender y razonar en el contexto de la geometría tridimensional euclídea igual que yo puedo razonar en el contexto de geometrías no euclídeas. Incluso cabría imaginar un ser consciente para el que ninguna geometría sea intuitiva. Sin embargo, cualquier ser consciente que quiera conocer las matemáticas necesitará al menos alguna clase de intuición temporal, o algo que se parezca o que cumpla la misma función que nuestra intuición temporal, por muy distinto que sea, algo que le permita manipular a priori objetos que permitan expresar afirmaciones matemáticas, sean garabatos de signos en un papel, o sean acordes de guitarra, o sea lo que sea, pero algo de lo que tenga un dominio suficientemente preciso sobre qué puede hacer y qué no puede hacer con esos signos, acordes o lo que sea. Y el fundamento de ese dominio, lo tendrá que encontrar en las capacidades de su mente. No hay otro sitio donde buscar.

[argentinator]

Si el debate se desvía tal vez haya que dividirlo.

de modo que no es justo usar contra mí afirmaciones que otros califican de "fundadas por la intuición" pero con un significado de la palabra "intuición" que no tiene nada que ver con lo que yo estoy llamando intuición

Espero no hayas sentido que era "contra tí".
Principalmente contesté más o menos superficialmente a algunas cosas que dijo Cristian.

En todo caso, estoy contra la palabra intuición, porque cuando se la usa, tiende a usársela en varios sentidos, y no el único sentido que vos le das para este contexto.
Y además no logro terminar de entender cuál es ese uso que le das.

Se entiende la idea, pero no veo los límites precisos de ese uso de la palabra "intuición".
Ni tampoco veo claro cómo puede usarse con firmeza para un fundamento de la matemática.
Que haya que buscar la matemática "en la mente", parece razonable.
Pero ese tipo de conclusiones siguen sin dar certeza de "cuál es la intuición matemática" que es correcto y permitido usar, o qué alcance tiene.

Mmmm... no sé si vale la pena volver a pelearnos por estas cosas. 

[Carlos Ivorra]

de modo que no es justo usar contra mí afirmaciones que otros califican de "fundadas por la intuición" pero con un significado de la palabra "intuición" que no tiene nada que ver con lo que yo estoy llamando intuición

Espero no hayas sentido que era "contra tí".
Principalmente contesté más o menos superficialmente a algunas cosas que dijo Cristian.

Ya, je, je, pero es que Cristian y yo parecemos a veces un mismo usuario con dos nicks 

En cualquier caso el "contra mí" (o contra Cristian) era más bien impersonal (ya sé que siempre me riñes por expresarme en términos personales  ) y el "contra" no pretendía tener más sentido que el de "argumento en contra". Dicho en términos más impersonales, sólo decía que no es correcto utilizar usos de "intuición = cajón de sastre", que pueden ser bastante contradictorios y caóticos, como argumento contra el uso de "intuición = facultad de representación a priori que determina formal y objetivamente para un sujeto ciertos objetos matemáticos y sus propiedades".

En todo caso, estoy contra la palabra intuición, porque cuando se la usa, tiende a usársela en varios sentidos, y no el único sentido que vos le das para este contexto.

Ya, pero eso es un problema de "política lingüística". Yo me niego a dejar de llamar negros a los negros porque ciertos descerebrados llamen negros a los negros con la intención de despreciarlos. La palabra "negro" es adecuada y respetuosa y no hay razón para abandonarla, como tampoco veo razón para dejar de usar la palabra "intuición" en un sentido preciso, igual que los físicos no deben dejar de usar la palabra "energía" en un sentido preciso sólo porque unos locos vayan hablando de que no sé qué pulseras transmiten "energía positiva" que aleja la "energía negativa", y otras simplezas.

Y además no logro terminar de entender cuál es ese uso que le das.

Se entiende la idea, pero no veo los límites precisos de ese uso de la palabra "intuición".
Ni tampoco veo claro cómo puede usarse con firmeza para un fundamento de la matemática.
Que haya que buscar la matemática "en la mente", parece razonable.
Pero ese tipo de conclusiones siguen sin dar certeza de "cuál es la intuición matemática" que es correcto y permitido usar, o qué alcance tiene.

Mmmm... no sé si vale la pena volver a pelearnos por estas cosas. 

Por lo menos, no creo que valga la pena aquí. Sobre el uso que le doy, recuerdo que no sé dónde (tal vez en el famoso hilo de siempre) estuve tratando de precisarlo a instancias de Cristian. De todos modos, a mi entender, la única forma viable de entender y valorar el concepto de intuición necesario para fundamentar la matemática (es decir, de ver lo que dices que no ves) no es filosofar sobre el asunto, sino tomar un libro donde se fundamente la matemática y analizar caso por caso si cada una de sus afirmaciones es "sostenible intuitivamente" o no, es decir, si queda fuera de toda duda razonable (= no escéptica sistemática) que la afirmación es necesariamente cierta o no.

[Cristian C]

Dicho esto, confieso mi ignorancia para imaginar qué problema concreto pudiera requerir una decisión sobre el particular.

Un ejemplo: Se dice que un espacio topológico...

Es interesante lo que anotas a continuación, pero yo me refería a un problema real, no matemático,  que pueda resolverse con una teoría y no con la otra.

Lo explico con un ejemplo: imaginemos que alguien inventa desde cero una calculadora como las que conocemos (prescindamos de que en realidad es difícil llegar a ella sin muchas generaciones previas más toscas de calculadoras). Indudablemente, la calculadora será como será debido a las motivaciones, intereses, etc. del constructor. Incluso podemos decir que si dichos intereses hubieran sido muy distintos, en lugar de una calculadora habría podido acabar construyendo una videoconsola, pero nada de eso es relevante a la hora de entender lo que hace la calculadora: para entenderlo habrá que entender lo que son los números, las operaciones entre números, las funciones trigonométricas, etc., pero nada que tenga que ver con la psicología del constructor. Una cosa es qué hace la calculadora y otra cómo ha llegado a ser construida esa calculadora.

Del mismo modo, una cosa son los azares biológicos que han hecho que lleguemos a conocer las matemáticas que conocemos y otra cosa muy distinta es qué es la matemática que conocemos. A lo sumo, la psicología, la neurología, etc. podrán explicar por qué conocemos la matemática que conocemos y no otra, pero no qué es y qué justifica la matemática que conocemos

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Desde este punto de vista, el problema de qué hacer frente a un enunciado indecidible de ZFC no tiene solución. Siquiera tiene sentido. Podemos construir una "calculadora" con hipotesis del continuo y otra con su negación o bien quedarnos con una que lo deja indecidido. Nuesta intuición metamatemática (las técnicas para hacer caluladoras) nos permite fundar sistemas axiomáticos en cualquiera de los tres casos. Y nada más se puede decir si prescindimos de asignar una semántica a las sentencias.

Pero los matemáticos no han hecho esto para construir ZFC. Pedir ahora un criterio descontaminado de toda semática ante el problema de los indecidibles es requerir algo diferente a lo que se ha venido haciendo. O exigimos esa profilaxis desde el principio, desde el primer axioma o intentamos explicar porqué ha sido importante adopar axiomas "razonables" hasta ZFC y ya no es importante hacerlo.
 
Una posición que adopte la postura de que la matemática no requiere de semántica (sí la metamatemática) nos lleva a un quehacer matemático sin dirección, donde toda combinación consistente de axiomas es interesante y no preferimos unas frente a otras.

La opción más parecida a lo que ha ocurrido es la de elegir axiomas que nos permitan fundar una matemática que incluya todas nuestras intuiciones metamatemáticas, sin importar que las exceda.

Pero en este caso es fácil reconocer que la semántica se ha quedado ciega a la hora de decidir frente a sentencias indecidibles en ZFC y que ya nada más nos dirá sobre el particular.

A menos que aún queden sentencias indecidibles que sí puedan resolverse con intuición básica, lo que realmente dudo mucho mucho mucho.

Ya, je, je, pero es que Cristian y yo parecemos a veces un mismo usuario con dos nicks   

Tal vez se deba a que Cristian ha estudiado la postura de Carlos acerca de la intuición, ha leído el artículo en su blog, lo ha debatido en estos foros y le ha consultado en privado sobre el tema, resultando de todo esto un conjunto de ideas que le han parecido más que razonables. Refuto pues la simetría que exhibe tu comentario.

Respecto a las eternas dudas de Argentinator acerca de la intuición matemática, creo que el tema ha sido extensamente debatido y que, si bien puede seguir debatiéndose, esta fuera de este hilo.

Saludos.