Aquí estás afirmando que la teoría de conjuntos pretende describir (y, por consiguiente debe ajustarse a) una realidad preexistente.
No es eso lo que estoy "defendiendo" o afirmando.
Con eso solamente digo que, si "alguien quiere elegir un axioma", sólo tiene derecho a hacerlo por "alguna razón", por ejemplo, porque lo exige "un fenómeno físico determinado".
Pero matemáticamente hablando, "no hay razón alguna para preferir un axioma u otro".
Por eso digo, los axiomas no son cuestión de "gustos", "inclinaciones", etc.
Cualquier axioma da lo mismo, con tal de que no derive en contradicciones.
Ah. Ciertamente, lo que dices es coherente con lo que decías en tu otro mensaje, pero es bastante distinto de lo que yo había entendido. Creo que ya te sigo.
En cuanto a los números reales, en realidad estoy peor que con los naturales.
A lo mejor no me has entendido.
En vista de lo anterior, no me extrañaría.
En realidad, veo al "continuo" como la búsqueda de un concepto que no se sabe dónde está, si es que está, ni tampoco se sabe bien de qué se trata.
En realidad no tengo una posición tomada al respecto.
Pero pareciera que todos intuimos algo sobre el continuo.
No puedo decir si intuimos lo mismo o no.
No sé si es lo mismo que la discusión que teníamos sobre los naturales, puesto que mi situación con el continuo es que lo entiendo aún menos.
Así, mis ideas y dichos sobre él corren el riesgo de volverse difusos, o incluso equivocados.
Vale. Entonces no estabas afirmando, como yo había entendido, que "hay un concepto de los números reales" al que la teoría de conjuntos debe tratar de ajustarse, aunque lo dejes como una posibilidad sin precisar. Decididamente había entendido bastante mal tu mensaje anterior.
Una cosa es "buscar la verdad" y otra cosa es "defender una posición".
Eso por descontado. Cuando te he señalado el contraste entre tu postura sobre los números naturales y sobre los números reales (dejando de lado que había interpretado bastante mal la segunda) no pretendía insinuar con ello ninguna clase de censura ni presentarlo como un "punto débil" por tu parte, sino únicamente porque me parecía relevante el contraste en muchos sentidos. Ahora, con las aclaraciones que has hecho, queda ya algo fuera de lugar, pero mi idea era que considerar en el caso de los números naturales los argumentos que yo estaba entendiendo que dabas sobre los números reales (y viceversa) podría ser interesante.
Me parece que no estoy defendiendo firmemente ninguna posición, sino que estoy especulando.
Y así es posible que cambie de idea de un post al siguiente.
Es totalmente razonable.
En definitiva, que estoy fascinado con el continuo, aunque me parezca más descabellado aún que los números naturales.
El hecho apuntado antes de que los números reales pareciera que (así lo creo yo) no pueden explicarse completamente por una lista dada de axiomas de la teoría de conjuntos, es una cuestión que es filosóficamente más profunda, porque en definitiva lo que estaríamos diciendo es que estamos tratando de expresar con axiomas a una "cosa llamada continuo", que está en nuestra mente colectiva, y que no podemos precisar bien qué es.
Yo creo que en ese párrafo queda claro que tengo más preguntas que respuestas.
Sí. Yo me había quedado más con lo que he puesto en negrita, y de ahí he sacado probablemente mi idea de que estabas planteando una postura realista, pero en una segunda lectura veo que en un sentido más trivial es obvio que todos tenemos en la mente el concepto de "continuo", como tenemos el concepto de "justicia" o de "Dios", sin que eso presuponga nada sobre que se trate de entidades concretas, objetivas y bien definidas.
La idea de "continuo" anda flotando por ahí, pero no sé si alguien sea capaz de precisarla satisfactoriamente.
Yo creo que no es posible, pero es una opinión.
Para mí, lo más preciso que podemos decir de los reales es atendiendo a su desarrollo en dígitos.
Eso pareciera que nos da en forma ¿explícita? todos los números reales, claramente descritos, sin ambigüedad.
Eso es lo más cercano a "tener claro" qué cosa es el continuo.
En efecto, es lo más cercano, pero no estoy de acuerdo en lo de "sin ambigüedad". A mi entender, la palabra "todos" en "todos los desarrollos decimales posibles" es ambigua. Es como las feministas radicales, que después de un absoluto "todos" creen que tiene sentido ir más allá y añadir un "todas", pero en este caso con razón: creo que cualquier "totalidad" de desarrollos decimales nunca es "la totalidad", siempre da pie a crear números nuevos (siempre hay unas "todas" que falta por tener en cuenta
).
Pero aún así, esos desarrollos en dígitos y sus propiedades parece que no pueden abarcarse completamente por axiomas.
¿Por qué? ¿Qué ocurre ahí?
Bueno, esto sería un asunto distinto del que corresponde a este hilo, que pretende tratar sobre la posición que decide adoptar cada uno ante la existencia de afirmaciones indecidibles. Si quieres que lo tratemos en otro hilo me parece bien, aunque creo que tratar sobre números reales sin tener conclusiones sobre números naturales es empezar la casa por el tejado. Pero aun así, puesto que ya hablamos mucho en su día sobre números naturales, quizá sería ilustrativo tocar los reales sólo para conocer posturas, aunque me parezca prácticamente imposible llegar a nada en concreto mientras no nos entendamos en cosas que ya discutimos como el concepto (propiamente dicho) de "intuición" y cosas relacionadas. Por no dejar este mensaje sin decir nada al respecto, te diré que yo, rompiendo una lanza por feriva
, no creo que existan realmente conjuntos no numerables, y que la teoría de conjuntos es como una novela en la que se combinan personajes reales y personajes de ficción. Dicho así puede parecer muy estrambótico, pero creo que Hilbert pensaba algo parecido.
Como te digo, si quieres desarrollo esta idea, pero mejor en otro hilo, porque éste pretende tratar de algo accesible a todo matemático, sin necesidad de estar familiarizado ni con la teoría de conjuntos "hard" ni con la filosofía de las matemáticas.
