jeje Carlos, qué hilo más interesante!!! Me he zampado todos los comentarios, y hasta me he detenido a "chocarme" con la pregunta. Respondo por si aporta algo, aunque vamos, me siento un chanquetillo entre grandes tiburones con tanto conocimiento conjuntista que veo por aquí de todos vosotros!
Yo estudio 1º de ingeniería, y mis conocimientos son todo lo que he dado + mi propio interés y búsqueda + mi querida intuición, fuente que es la que más me gusta, y lo digo para que os hagáis una idea de lo "afuera" que lo digo. Que cuando ferivá lo dijo, me reí yo hahaha
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Mi respuesta al ver el problema: En primer lugar, intenté comprender qué era S (porque no lo entendía). Gracias a la oportuna "informalidad" de Carlos en sus comentarios entre paréntesis, lo entendí. En segundo lugar, respondí ipso facto: No existe tal conjunto.
Y la rápida intuición fue NO: Imaginé una nube de puntos a lo \( S \) (prefiero verlo como nube de puntos, y ahora veréis por qué) y otra nube de puntos \( S-1 \) ( y me las imaginé y supuse complementarias), necesariamente tienen que ser no numerables, porque si fueran numerables, si sumo dos bolsas de cosas numerables, creo que la bolsa final deberá ser numerable, y creo que entre 0 y 1 no hay numerabilidad, es decir, entre 0,0 y 0,01 hay infinitos puntos. Por tanto, el conjunto S no existía. No sé si eso simpatiza con la aceptación de la hipótesis del continuo, pero si es así, digo que es porque así he sido enseñado. Tal cual así. Es decir, yo nunca he dudado del TEOREMA del continuo, porque así fui instruido. Cuando vi que era hipótesis... me extrañé... y aún sigo extrañado.
Y cuando vi el resultado, me flipó. Me encantó, tanto la sutileza del objetivo de la pregunta como la respuesta a la misma. Pero yo siempre tuve las ideas muy claras en cuanto a lo de 1) 2) y 3), antes de cuestionarme la matemática en sí (es decir, antes de darme cuenta de que todo en matemática tenía un por qué, no era todo ciencia infusa hahaha)
Hace ya algunos años pensé en que, realmente, el ser humano no tenía ningún conocimiento seguro, como hiciera Descartes pero muchísimo más cutre. Y en esa angustia existencial, resolví que el conocimiento era, de raíz, confianza. Y cuando digo raíz, lo digo porque creo que el conocimiento se fija a nuestra mente gracias a esa raíz, y se nutre y pervive gracias a ella (a la confianza). Y así, va todo nuestro conocimiento. ¿Entonces la lógica qué pinta? La lógica para mí es una mentira (lo siento, soy de ciencias pero pienso así). Para mí, el conocimiento siempre fue como escalar una montaña, y cada vez que me apoyo en una piedra confío en ella, pero es una mentira. Cada vez que deduzco, confío en la lógica, hago una suposición, una igualación un algo. Pero ese algo, bien podría ser una mentira.
Es como contar, que no es sino matematizar la realidad. Dos manzanas: Realmente, son dos objetos distintos, pero asociamos una característica y los unimos en uno, sacamos factor común "manzana", y contamos. Y gracias a que la realidad suele ser función continua y no excesivamente cambiante, podemos contar, medir, y matematizar, esa es mi opinión. Y todo esto lo digo para explicar la razón de por qué me acojo al punto 3).
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Los números los inventó el hombre. Y sea un hombre yo mismo. Yo invento los números como quiero. Si cuento 1,2,3... asumo la posibilidad de demostrar por inducción completa, asumo que están ordenados, asumo que hay mínimo y siempre habrá un número mayor, etc. Pero porque así lo quiero, porque así veo que son las manzanas. Si de repente me dicen (como me he enterado hace poco) que hay partículas que son idénticas (pero idénticas, con la única diferencia (ya no son idénticas) de la posición), entonces me replanteo la forma de contar de las manzanas: Invento una nueva matemática. ¿Cuál es la verdadera? ¿Qué conocimientos son los verdaderos? ¿Es mentira, o es verdad? Yo creo que las matemáticas son más bonitas que si son mentira o verdad, son lo que el hombre necesita, lo que esa intuición necesita. Creo que esa necesidad es la que hace que las matemáticas sean, cuando van a favor de nuestros quereres, una delicia, un placer. De ahí el monstruo S, o el bello S.
Y de ahí que sea tan razonable escoger un axioma que otro. No creo que sea cuestión de razón, sino de sentimiento.
Más aún, creo que el miedo que existe a elegir, proviene de aquí: (o al menos, el miedo a mí se me produce por esto:)
Voy y me topo con un problema. Este problema. Si yo decido que
\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{}\displaystyle\frac{sen(x^2)-x+ln(1+x)}{x^2}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{}\displaystyle\frac{x^2-x+x}{x^2}=1 \)
Ya he terminado el problema jeje ¿Cuál es mi miedo? Que hay frases lapidarias que yo sé y en las que confío más, que podrían decirme que en el fondo eso es mentira, y que el límite sea otro. Entonces llega Quimey, y me dice que es 1/2 el límite, y me explica por qué. Mi miedo queda confirmado: De los polinomios de taylor y de los infinitésimos equivalentes se deduce que eso es mentira porque tal y cual... Pero realmente, yo podría decir Perfectamente, que no me he equivocado. Que el que se ha equivocado es Quimey con todas sus tonterías sobre polinomios e infinitésimos equivalentes. Y ahora, me construyo mi matemática, destruyendo todo aquello (y cuánto es......) que contradice mi afirmación, en la que confío con mi vida. Pero no lo hago, porque no le tengo tanta confianza.
Y aquí enlazo con la hipótesis del continuo. Si llega Gödel, y me dice que realmente no tengo por qué temer nada, que no hay miedo de equivocarme porque no hay frases lapidarias de ese tipo, que me tranquilice, que puedo elegir si el límite es 1 o 1/2. Entonces, si a mí me gusta más mi forma de razonar, confío más en ella, y no me gusta la de Quimey, pues evidentemente me lanzo a lo que me dicta la intuición (la confianza) y lo hago sin remordimientos, porque Gödel me ha garantizado eso. Por eso me lanzo a la 3), y descarto totalmente la 2) y la 1). Pero sólo porque Gödel me lo ha garantizado.
Sin embargo, si fuera un físico del siglo XIX-XX, y me dicen que si onda que si corpúsculo, yo abogaría (ya que Gödel no me ha dicho nada de que con la luz no se puede demostrar nada) por un tercer ente (ni onda, ni corpúsculo) cuyas propiedades son equivalentes a las del corpúsculo y a las de la onda. Pero porque Gödel no me ha garantizado que no pueda demostrarse, es decir, no me ha garantizado que pueda elegir 1 o 1/2. Espero no haberme enrollado mucho y no asustarme al darle a "Publicar". Si me he enrollado, es porque me cuesta expresarme y se me suele interpretar raro hahaha
Un saludo.
P.S. Me ha requetencantado el hilo. Lo dije, y lo repito. Cada comentario es de lo más interesante.
P.P.S. El comentario que más me ha gustado es el de Cristian. Es todo un discurso del romanticismo, y en serio lo digo. Pierde por tratarse de matemáticas (no da pie a tanta pasión... pero lo transmite). Me ha encantado. Y me han gustado muchos sus razones.
