Bueno, pero ahora que se mencionan estas cosas sobre cardinales,
resulta que ya no estoy convencido de lo que dije.
¡Fantástico! Una opinión a posteriori que contrasta con la opinión a priori.
Ahora sí tengo una "intuición", pero sobre otro tipo de cosas.
Mi intuición o impresión, o como se llame (¿olfato?) es que "ya que es posible admitir teorías de los reales con varios alephs intermedios", lo cual representa teorías de conjuntos con "mayor cantidad de objetos en ella" (un universo más rico), entonces dichas teorías son más "completas" que las que aceptan "menos cardinales intermedios".
O sea, yo no aceptaría la hipótesis del continuo para estudiar los reales, puesto que "pocos cardinales intermedios" darían cuenta de teorías pobres que no permiten estudiar "a fondo" al "continuo".
Eso va en la línea de lo que argumentaban Gödel, Cohen y compañía.
En realidad me cuestiono si es correcto aceptar que los reales se pueden bien ordenar.
Ah, eso son palabras mayores, pero, ciertamente, un buen orden de los números reales es uno de esos objetos matemáticos que podemos suponer que existen, pero que no podemos construir explícitamente. Pero eso está demasiado íntimamente ligado a otros hechos como la existencia de bases en espacios vectoriales (por ejemplo, la existencia de una base de \( \mathbb R \) como \( \mathbb Q \)-espacio vectorial) o la existencia de clausuras algebraicas, de ideales maximales, etc. que hace muy duro renunciar a la buena ordenación (o al axioma de elección, que es lo mismo).
De todos modos, hay un axioma muy interesante que se llama
axioma de determinación que es incompatible con el axioma de elección, y que hace que los reales tengan un comportamiento muy diferente al usual, pero totalmente consistente y que da pie a una teoría muy rica, exótica, pero muy rica. Por ejemplo, todo subconjunto de \( \mathbb R \) es medible Lebesgue, los únicos subconjuntos de \( \mathbb R \) que se pueden ordenar bien son los numerables, y muchas cosas más.
Tengo serias dudas sobre estos dos hechos de los reales: la hipótesis del continuo y el principio de buena ordenación.
Entre los profesionales de los "conjuntos", ambas son "negociables", la primera por supuesto, y respecto de la segunda cada vez están más de moda las alternativas.
Mi "sensación" es que los números reales bien podrían ser una estructura matemática mucho más compleja que la que abarcamos con todo el universo de los alephs.
No me parece descabellado en absoluto.
Carlos, ya que tenemos la suerte de tenerte acá, con todo lo que sabés de conjuntos, te pregunto algo menor que no recuerdo si lo leí en tus libros. ¿Existe una cota superior para el "aleph" que puede tener el conjunto de los reales? ¿O cualquier aleph es posible para R? (acá estaría asumiendo el axioma de elección).
Una cota, no, pero una limitación sí. Si \( \kappa \) es un cardinal, su
cofinalidad es el menor cardinal \( \mu \) tal que un conjunto de cardinal \( \kappa \) puede expresarse como unión de \( \mu \) conjuntos de cardinal menor que \( \kappa \).
Por ejemplo, como la unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es finita, la cofinalidad de \( \aleph_0 \) es \( \aleph_0 \) (no puedes conseguir \( \aleph_0 \) cosas mediante una unión de menos de \( \aleph_0 \) conjuntos de cardinal menor que \( \aleph_0 \). Como la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, la cofinalidad de \( \aleph_1 \) es \( \aleph_1 \) (no puedes conseguir \( \aleph_1 \) cosas uniendo una cantidad menor que \( \aleph_1 \) de conjuntos de cardinal menor que \( \aleph_1 \)).
En cambio, si unes un conjunto de cardinal \( \aleph_0 \) con otro de cardinal \( \aleph_1 \), con otro de cardinal \( \aleph_2 \) y así para todo \( \aleph_n \), obtienes un conjunto de cardinal \( \aleph_\omega \), que es un cardinal (el menor cardinal) mayor que \( \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2,\ldots \) y que, por la propia construcción, tiene cofinalidad \( \aleph_0 \).
Obviamente la cofinalidad de un cardinal \( \kappa \) es siempre \( \leq \kappa \) (pues un conjunto de cardinal \( \kappa \) siempre puede expresarse como mínimo como unión de \( \kappa \) conjuntos de 1 elemento.
Bueno, con todo este rollo ya puedo responder a tu pregunta: el teorema de Cantor dice que \( 2^\kappa>\kappa \), pues bien, existe un refinamiento llamado teorema de König, que dice que \( 2^\kappa\geq \text{cf}(2^\kappa)>\kappa \), donde cf representa la cofinalidad.
Ésta es la única limitación a la que está sometido \( 2^{\aleph_0} \): tiene que ser un cardinal de cofinalidad no numerable. Así, es consistente que \( 2^{\aleph_0}=\aleph_1 \), o que \( 2^{\aleph_0}=\aleph_{50} \) o que \( 2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1} \) (el siguiente cardinal después de \( \aleph_\omega \), pero
no puede ser \( 2^{\aleph_0}=\aleph_\omega \)).
Esto no pone ninguna cota superior al valor de \( 2^{\aleph_0} \). Por ejemplo, es fácil razonar (igual que con \( \aleph_1 \)) que la cofinalidad de todo cardinal sucesor \( \kappa^+ \) (el cardinal siguiente a un cardinal \( \kappa \)) es necesariamente \( \kappa^+>\aleph_0 \), por lo que, para todo cardinal \( \kappa \), es consistente suponer que \( 2^{\aleph_0}=\kappa^+>\kappa \). Esto lo demostró Easton.
Ni siquiera es necesario que la exponenciación cardinal sea estrictamente creciente. Por ejemplo, es consistente que \( 2^{\aleph_0} =2^{\aleph_1}=\aleph_2 \). De modo que no es posible demostrar que un conjunto de cardinal \( \color{red}\aleph_0 \) tenga necesariamente más subconjuntos que un conjunto de cardnal \( \aleph_1 \).
Como ves, los axiomas de la teoría de conjuntos resultan ser muy pobres a la hora de determinar la exponenciación de cardinales. Dicen muy poco sobre ella.
