Bueno. Aquí va la explicación que os debo. Como no es fácil de contar, quizá lo mejor sea explicar cómo me surgió el tema. Fue al leer una respuesta de yoyontzin, en la que, hablando de un subconjunto infinito de \( \mathbb R \), dijo esto:
Tenemos entonces que hay dos opciones, o aleph 0 o aleph 1.
Así, yoyontzin respondía dando por supuesta la hipótesis del continuo, es decir, \( |\mathbb R| = \aleph_1 \) que, como todos sabemos no puede demostrarse ni refutarse a partir de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos, los axiomas de ZFC, luego apoyarse en ella sólo puede concebirse como incluirla como axioma adicional a los axiomas de ZFC. ¿Es legítimo hacer lo que hace yoyontzin, asumir la hipótesis del continuo sin más? Por supuesto que sí. De hecho, Gödel y Cohen, que son quienes demostraron que la hipótesis del continuo no puede demostrarse ni refutarse, no consideraron que fuera una pérdida de tiempo discutir si "en el fondo era verdad" o si "era conveniente" o "razonable" o la expresión con el matiz que se considere más oportuno, aceptar o rechazar la hipótesis del continuo.
Pero el caso es que yo nunca he entendido el punto de vista de Gödel, Cohen o yoyontzin, es decir, el de, ante una afirmación que no puede demostrarse ni refutarse, "adoptar" una de las alternativas o "simpatizar" con ella, como quien se convierte en "hincha" de un equipo de fútbol, decantándose por uno entre otros muchos equipos de características similares. Sobre los motivos de los especialistas en teoría de conjuntos para tratar de ir más allá de lo que puede probarse o refutarse, algo he podido leer y alguna idea tengo, pero lo que me faltaba y quería averiguar es cómo lo enfocan los matemáticos no especialistas en teoría de conjuntos, porque la posición de yoyontzin de "decantarse" por una opción no me parece muy particular suya, sino que me parece que se da con cierta frecuencia y nunca la he llegado a entender.
Ahora bien, plantear la cuestión directamente con la hipótesis del continuo no me pareció adecuado, porque entre los diversos argumentos que pueden llevar a alguien a "decantarse" por una opción, sea de forma consciente o inconsciente, puede haber algunas componentes puramente "estéticas", o de "tradición" ("a mí me lo han enseñado así") o, qué se yo, por lo que me pareció más interesante plantear el problema con una afirmación más "anodina", con la existencia o no de un "patito feo" por el no es probable que nadie sienta especial aprecio, pero tampoco una fobia excesiva.
Ése es el caso del conjunto \( S \).
La solución al problema es que, como la hipótesis del continuo, a partir de los axiomas de ZFC no puede probarse ni refutarse la existencia de \( \color{blue} S \). Y la razón por la que me he tomado la libertad de ocultároslo (y os pido disculpas una vez más) es por evitar un posible prejuicio. He conocido a algún matemático que si alguna vez le daba vueltas a una conjetura y se enteraba de que lo que quería no podía probarse ni refutarse en ZFC, a partir de ahí le salía una especie de urticaria y ya no quería saber nada del asunto. Simplemente, abandonaba lo que estaba conjeturando y pasaba a investigar sobre otra cosa. Es una opción legítima, pero yo quería que tomarais en consideración la posible existencia de \( S \) sin que el saber que es indecidible llevara directamente a alguno a decir "entonces no interesa".
Lo que yo trataba de preguntaros (con dificultad, por no querer revelar su status de indecidible), no era tanto cuál era vuestra primera impresión, sino más bien si "preferiríais" que \( S \) exista o no exista. Porque, lógicamente, vuestras respuestas han sido del tipo "ésta es mi opinión pero lo que cuenta en el fondo no es mi opinión, sino si al final se puede probar que existe o que no existe \( S \)". Pero no, resulta que en este caso concreto no hay (o no parece haber, desde el momento en que la posibilidad de zanjar la cuestión con una demostración ha quedado descartada) ninguna realidad objetiva ineludible a la que tenga que supeditarse vuestra opinión. Si a uno no le gusta que una esfera se pueda descompone en dos esferas iguales, se aguanta, porque eso es lo que hay, y si a uno no le gusta que haya conjuntos no medibles Lebesgue, se aguanta, porque eso es lo que hay. (En realidad se me ocurren dos alternativas: o bien se aferra a su "intuición" y concluye que la teoría de conjuntos no está muy fina al permitir que pasen esas cosas, o bien confía en ZFC y concluye que su "intuición" no está "suficientemente educada".)
Y ahora es cuando viene la encuesta realmente interesante: ¿qué pensáis de la existencia de \( S \) ahora que sabéis que vuestro criterio no puede ser juzgado por la "instancia superior" de lo que puede demostrarse o refutarse? Técnicamente, lo que tenemos es que es posible añadir como axioma a ZFC la existencia de \( S \) y obtener así una teoría \( T_1 \) que no tiene ni más ni menos garantías de ser consistente que la propia ZFC, pero también podemos construir una teoría \( T_2 \) tomando como axioma que no existe tal \( S \). ¿Qué es lo razonable? (o lo conveniente o el adjetivo que os parezca más oportuno).
Sin ánimo de ser exaustivo, se me ocurren estas variantes generales:
1) Considerar que, puesto que no tenemos ningún argumento a favor ni en contra de la existencia de \( S \), no hay razón para adoptar ninguno de los dos axiomas indicados. Si un día estáis intentando demostrar algo y descubrís que lo que pretendéis es equivalente a la existencia (o a la no existencia) de \( S \), lo que procede es dejar de especular ante el hecho de que hemos llegado a los límites "reales" de nuestra capacidad de razonamiento.
2) Justo lo contrario: considerar que tenemos dos nuevas teorías igualmente (relativamente) interesantes, en el sentido de que si nos damos cuenta de que un problema que queremos resolver depende de la existencia o inexistencia de \( S \), lo habremos resuelto como un teorema, sea de la teoría \( T_1 \), sea de la teoría \( T_2 \), según convenga.
3) Adoptar sólo una de las dos alternativas como "razonable", que es lo que hacen algunos con la hipótesis del continuo.
Como ya os he dicho, yo opto por 2) porque me quedo en blanco a la hora de encontrar motivos para elegir 1) o 3), pero sospecho que 1) o 3) pueden ser posiciones más populares que 2), y ése es en el fondo el contenido de la "encuesta". En particular, aquellos cuya primera impresión era que \( S \) no debía de existir, ¿os llevaría esa impresión a "decantaros" por considerar como axioma razonable la negación de que exista \( S \) frente a la alternativa opuesta? ¿o alguien se pasaría a la línea apuntada por teeteto, según la cual (entiendo yo) la falta de argumentos por la que \( S \) no pueda existir es un motivo para admitir su existencia y "decantarse" preferentemente por esta opción? Al margen de que obviamente pueden existir puntos de vista discrepantes e igualmente respetables, ¿quien se decanta por una opción lo hace por motivos que podría clasificar de puramente subjetivos (gustos, preferencias, sentido de la estética) o considera que "en el fondo" está tratando de decir algo objetivo, aunque no sepa justificarlo? (Gödel era de esta última opinión).
Por supuesto, no os pido una tesis razonada (no creo que ni el propio Gödel llegara a escribir nunca nada que pueda considerarse una defensa sólida de sus puntos de vista a este respecto). Sólo tengo curiosidad por saber cómo os enfrentáis a este tipo de situaciones y, a ser posible, tratar de entender vuestros planteamientos.
Notemos que hay casos en los que decantarse por una alternativa dejando la otra en segundo plano es muy frecuente en algunos casos. Por ejemplo, durante un tiempo los matemáticos debatieron sobre "axioma de elección sí o axioma de elección no", pero actualmente los que ponen pegas al axioma de elección o se interesan por teorías incompatibles con el son una inmensa minoría. También sería posible modificar levemente la teoría de conjuntos para admitir conjuntos tales que \( x\in x \), pero eso se considera un exotismo frente a la axiomática estándar que prohibe esas cosas. ¿Pero eso de "tomar partido" por una opción vale sólo en grandes cosas como el axioma de elección, o también es lo que procede ante un "patito feo" que no parece afectar en gran cosa a las matemáticas "importantes"?
Sabemos que es imposible tener una axiomática "completa" que permita responder a todos los problemas matemáticos, pero algunos consideran positivo ir llenando todos los huecos que se detecten con axiomas adicionales para aproximarse todo lo posible al ideal de la completitud. Si aceptamos la conveniencia teórica de avanzar en esa línea (aunque en la práctica nos afecte en bien poco), ¿hay siempre (o al menos, hay en nuestro caso concreto) un único camino razonable frente a otro "despreciable" o cada agujero da lugar a una bifurcación en la que los dos caminos son interesantes?
Termino con una reflexión que puede ser útil al comparar la existencia de \( S \) con la hipótesis del continuo. El conjunto \( S \) es un conjunto cuya existencia no puede ser demostrada ni siquiera con el uso "duro" del axioma de elección que permite probar la existencia de los conjuntos no medibles que dan lugar a las descomposiciones paradójicas de la esfera y demás. Se puede postular que existe o que no existe, pero nunca se podrá construir un conjunto así. Igualmente, la hipótesis del continuo es la negación de que exista un conjunto \( A\subset \mathbb R \) con la propiedad de que su cardinal no sea ni el de \( \mathbb N \) ni el de \( \mathbb R \), y un conjunto así es un conjunto cuya existencia no puede ser demostrada ni siquiera con el uso "duro" del axioma de elección: se puede postular que existe o que no existe, pero nunca se podrá construir un conjunto así.
Por otra parte, el axioma de elección es un axioma que afirma la existencia de conjuntos que nunca podrán ser construidos explícitamente, y pese a ello se acepta.
No digo más. Ésta es la historia. Creo que sería muy interesante contrastar vuestras "primeras opiniones" con lo que penséis sobre el asunto ahora que sabéis cuál es la situación. Pero si a alguno le dan alergia estas cosas (como me consta, ya digo, que le pasaba a algunas personas que he conocido) por descontado que no tiene que decir nada más si no comparte mi interés. En cualquier caso os agradezco a todos vuestra colaboración, que no os habría pedido si no hubiera pensado que el asunto podría pareceros cuanto menos curioso, si no ya interesante.
Respecto a por qué no se puede demostrar ni refutar la existencia de \( S \), más adelante puedo explicar algo, si os interesa, pero de momento preferiría centrarme en la parte "teórica" y no en la parte "técnica" del asunto.
