Tengo una duda, pero no es una duda matemática, sino psicológica. Tiene que ver con un problema matemático, pero no me interesa la solución (que la sé), sino qué conjeturáis que es más plausible, si una solución positiva o una solución negativa. Para poder precisar esto primero plantearé el problema
(pero a aquellos que tienden a dejar de leer y ponerse a pensar en cuanto ven un problema les rogaría que antes de ponerse a pensar leyeran este mensaje hasta el final):Llamemos \( I = [0,1] \) al segmento unitario. Diremos que un subconjunto \( S\subset I\times I \) del cuadrado unitario es
verticalmente disperso si para cada \( x\in I \) el conjunto \( S_x = \{y\in I\mid (x,y)\in S\} \) es a lo sumo numerable (informalmente, si cada sección vertical de \( S \) tiene sólo unos pocos puntos del intervalo \( I \)).
Igualmente se puede definir un conjunto
horizontalmente disperso, y la relación es obvia: \( S \) es verticalmente disperso si y sólo si \( S^{-1} = \{(y,x)\in I\times I\mid (x,y)\in S\} \) es horizontalmente disperso. El problema es:
¿puede existir un subconjunto \( S\subset I\times I \) verticalmente disperso tal que \( S\cup S^{-1} = I\times I \) ?
Como ya digo, ya sé la respuesta, pero no la digo ahora porque lo que me interesaría que me dijerais es, no cuál es esta respuesta, sino qué respuesta os parecería más "razonable" (diría más "intuitiva" si no fuera porque prefiero reservar la palabra "intuición" para algo que aquí no se aplica, pero, en cualquier caso, más "intuitiva" en el sentido en que los matemáticos suelen emplear el término). En otras palabras: ¿os parece que la respuesta "debería" ser positiva o negativa?, o incluso, ¿consideráis que si la respuesta fuera positiva (o negativa) sería un caso más de resultado paradójico, como la paradoja de Banach-Tarski (que permite descomponer una bola en cinco trozos y recombinarlos para formar dos esferas idénticas) o nada que ver?
No sé si me explico: lo que os planteo no es ver si sois capaces de demostrar o refutar la afirmación, ni tampoco si sois capaces de conjeturar la respuesta correcta (podéis intentarlo si os apetece, por supuesto, pero no es lo que os pido), lo que os pido es algo mucho más simple y al alcance de todos: que me digáis, con absoluta independencia de que la respuesta sea positiva o negativa, cuál de las dos posibilidades consideraríais razonable y cuál "chocante" o "paradójica" o si, por el contrario, ninguna de las dos posibilidades os merecería un calificativo de este tipo, de modo que, fuera cual fuera la respuesta, os parecería "un teorema más", como muchos otros, y ya está.
Por ello, si alguien quiere abordar el problema y piensa responder, le rogaría que respondiera primero y pensara después, porque no se trata de acertar la respuesta correcta, sino de conocer la primera impresión. En un segundo lugar podría ser interesante saber si, tras conocer la respuesta correcta, esa primera impresión se modifica o no, pero en primera instancia me interesa esa primera impresión.
Por eso mismo, si alguien se propone buscar la solución y la encuentra (o la conoce ya), le agradecería que de momento no la publicara (aunque anuncie tenerla, si quiere), para no sesgar posibles respuestas de otros foristas, pues cualquier respuesta de alguien que sepa la solución está necesariamente sesgada. Ése es mi problema, que, como sé la solución y, más aún, la he sabido desde un principio (quiero decir que he leído el problema a la vez que la solución y no he tenido la posibilidad de conjeturar ni pensar nada antes de conocer la respuesta), no me fío de mi propio criterio, porque ya está sesgado, y por eso pregunto.
Por otra parte, si os incordio con esta encuesta es también porque creo que el resultado puede ser ilustrativo e interesante para muchos, pero no digo más de momento para no sesgar.
