Autor Tema: Formas diferenciales y análisis vectorial clásico

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27 Agosto, 2012, 08:05 pm
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Hasclepio

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Estoy estudiando Geometría Diferencial (empezando) y una vez estudiadas las 1-formas y demás me encuentro con un ejercicio del libro de O'Neill (que tiene más que ver con el cálculo) que cuenta que el análisis vectorial clásico evita el empleo de formas diferenciales en \( \mathbb{E}^3 \) mediante la conversión de 1-formas y 2-formas en campos vectoriales a partir de las siguientes correspondencias uno a uno: \( \sum f_i \mathrm{d}x_i \leftrightarrow \sum f_i \mathrm{U}_i \leftrightarrow f_3 \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 - f_2 \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_3 + f_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \) en donde \( \mathrm{U}_i \) es el campo natural de referencia tal que para un punto sea \( \mathrm{U}_i(\mathbf{p})=p_i \)

No comprendo lo que realmente quiere decir con esto... ya que ahí veo que sustituye una 1-forma (el diferencial de la función coordenada \( x_i \)) por un campo vectorial... no entiendo esto.

Sé que una 1-forma es una función que da escalares (una forma lineal) y son evaluadas en el espacio tangente en un punto \( \mathbf{p} \), es decir \( \mathrm{d}x_i(\mathbf{v}_p)=v_i \) pero no es lo mismo que un campo vectorial ya que este asigna a cada punto un vector tangente... ¿alguien me podría explicar esto por encima, por favor?

Un saludo y muchas gracias; creo que la notación se entiende (es la usada por O'Neill en Elementos de Geometría Diferencial).

Spoiler
El enunciado del problema es textual y literalmente: El análisis vectorial clásico evita el empleo de formas diferenciales en E^3  mediante la conversión de 1-formas y 2-formas en campos vectoriales a partir de las siguientes correspondencias uno a uno \( \sum f_i \mathrm{d}x_i \leftrightarrow \sum f_i \mathrm{U}_i \leftrightarrow f_3 \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 - f_2 \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_3 + f_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \)

El análisis vectorial emplea tres operaciones básicas que se basan en la diferenciación parcial:

... (define el gradiente y divergencia de la forma habitual en cálculo sin formas diferenciales)

Demuestre que las tres operaciones se pueden expresar por medio de las derivadas exteriores... (pero lo que quiero entender es lo de arriba, el problema me da lo mismo)

(Y luego me pide demostrar que operaciones como el gradiente se pueden expresar por medio de derivadas exteriores, pero lo que quiero entender es la identificación que hace: campos-formas).
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Editado
: en adjuntos está el problema entero.

28 Agosto, 2012, 01:05 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Con tu mensaje tampoco  le veía sentido al asunto, pero he encontrado el libro en google y ahí sí que lo he entendido. La clave está en el ejercicio que no has copiado por no considerarlo relevante.

Ante todo, ten presente que no se trata de demostrar un teorema matemático, sino sólo de comparar informalmente cómo la misma información puede plasmarse de distintas formas. No me he leído las páginas anteriores para familiarizarme con la notación que emplea el libro, así que lo que te diré diferirá probablemente un poco de cómo tendría que expresarlo para ajustarme al formalismo que emplea, pero confío en que podrás adaptar mi explicación a ese formalismo si estás habituado a él.

Lo que dice es que, en esencia, un campo vectorial en \( \mathbb R^3 \) está determinado por tres funciones \( F = (f_1,f_2,f_3) \), pero que hay dos formas alternativas de almacenar la misma información, a saber, mediante una 1-forma \( f_1dx_1+f_2dx_2+f_3dx_3 \) o mediante una 2-forma \( f_3 dx_1dx_2+f_2 dx_1dx_3+f_1dx_1dx_3 \).

En principio, no establece ahí más relación entre los tres objetos matemáticos (el campo y las dos formas) que el hecho de que las tres "contienen" la misma información, a saber, que especifican tres funciones escalares. Ahí te has quedado tú y, con razón, dices que eso es una sosería que no va a ninguna parte.

Pero es que lo importante es lo que viene luego, que demuestra que esa identificación poco menos que superficial, en realidad tiene mucha sustancia.

El apartado a) dice que si f es una función escalar, a partir de ella puedes calcular tanto el vector \( \grad f \) como la 1-forma \( df \), y sucede que estos dos objetos obtenidos de \( f \) son "la misma cosa" según la asociación (en principio arbitraria) entre campos y 1-formas.

El apartado b) te dice que si tienes un campo vectorial V, a partir de él puedes calcular su rotacional \( \mbox{rot}\,V \), pero, si traduces V en una 1-forma \( \phi \) según la correspondencia (aparentemente superficial) entre campos y 1-formas, resulta que el rotacional no es sino el campo vectorial asociado a la 2-forma \( d\phi \).

Por último, el apartado c) tiene una errata (al menos en la versión que yo estoy viendo en google). Si V es un campo vectorial y ahora pasamos a la 2-forma asociada \( \eta \) (en el libro pone un (1) que debería ser un (2)), entonces \( d\eta \) es una 3-forma que se corresponde con \( \mbox{div}\,V \) a través de una correspondencia entre funciones escalares y 3-formas que no ha citado antes y debería haberlo hecho:

\( f\leftrightarrow f\,dxdydz \)

La filosofía de fondo es bastante profunda. Se trata de comparar cómo ve las cosas alguien que piensa en términos del cálculo vectorial clásico y alguien que piensa en términos de la teoría de formas diferenciales.

Para la "mente clásica", el gradiente es un campo vectorial, el rotacional es otro campo vectorial, ni más ni menos que el gradiente, y la divergencia es un campo escalar. En cambio, para la mente "diferencial" la situación es mucho más sutil:

El gradiente es un campo vectorial, cierto, pero un campo que es "en el fondo" el "esqueleto" de una 1-forma, mientras que el rotacional es un objeto de naturaleza completamente distinta, porque, aunque también es un campo vectorial, no puede identificarse de forma natural con una 1-forma, sino con una 2-forma, que es un objeto matemático sustancialmente distinto. La mente "diferencial" ve diferencias sutiles en lo que la mente "clásica" ve una misma cosa. Igualmente la divergencia ya no es un mero campo escalar, sino concretamente una 3-forma, algo sustancialmente distinto del campo escalar que genera un gradiente, que es una auténtica función escalar o 0-forma.

Y lo interesante de todo esto es que el punto de vista "diferencial" no es una mera "alternativa" más o menos exótica, sino que es un punto de vista "más profundo". Por poner un ejemplo mucho más trivial, es como quien sólo ve que una ecuación de segundo grado puede tener 0, 1 o 2 raíces o quien comprende que toda ecuación de segundo grado tiene siempre 2 raíces (complejas) incluso en el caso de que las dos sean la misma, es decir que no es lo mismo una raíz simple que una raíz doble, aunque en ambos casos sea una. Quien comprende el concepto de multiplicidad de una raíz puede encontrar leyes más simples que explican el comportamiento de los polinomios, de cómo se cortan, etc. (y la visión profunda de esa parte se llama geometría algebraica), del mismo modo, quien comprende que un gradiente y un rotacional no son dos ejemplos de un mismo concepto (campos vectoriales) sino dos conceptos matemáticamente distintos (esqueletos de 1-formas o de 2-formas) está en condiciones de entender relaciones generales entre estos conceptos que en términos "clásicos" se pierden por la miopía del punto de vista.

Naturalmente, si estás empezando a estudiar la geometría diferencial, no estarás en condiciones de constatar que, en efecto, hay algo de "sabiduría" en el punto de vista que ésta ofrece, como hay "sabiduría" en quien ve anillos, dominios íntegros, ideales, etc. donde otros sólo ven sumas y multiplicaciones. Es difícil de expresar sin apoyarse en resultados concretos de los que permiten ver el panorama "desde lo alto", pero ese ejercicio es un primer paso en esa dirección.

Espero haberte orientado.

28 Agosto, 2012, 02:57 am
Respuesta #2

Hasclepio

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Hola Carlos!

En primer lugar muchísimas gracias por tomarte la molestia y tiempo en expresar ese post porque a mí me sirven de mucho y gente como tú (entre otros, por supuesto) hace este lugar una auténtica maravilla.

Sí, no copié el problema entero porque es bastante largo (:D) y supuse que con eso sería suficiente pero veo que no; pensé en incluir un pdf pero al final no lo hice; la versión inglesa de 1966 efectivamente no contiene esa errata que citas (y eso que es anterior porque en la última también sigue la errata, es curioso), vamos que tienes toda la razón  y ahí va un (2), además en la edición en castellano (que tengo en casa comprado) también figura sin la errata.

Sobre el lo que has escrito sobre formas diferenciales me ha quedado perfectamente claro el propósito del ejercicio, que como veo es que con esas identificaciones se pueden expresar el rotacional, divergencia y gradiente usando el producto exterior.

Sí, hasta esa página únicamente se define 1-formas de forma bastante completa y se da una idea "cualitativa" y nada concreta de las 2 ó 3-formas ya que indica en el libro que eso se explica en un capítulo posterior, así que lo mejor que puedo hacer con lo que me has indicado es seguir estudiando para comprender todo esto.

Ahora por lo menos -que ya conozco las 1-formas- comprendo la expresión (nomenclatura, que tanto se usa en cálculo) \( \mathrm{d}f=\sum \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\, \mathrm{d}x_i \) usando vectores tangentes y esas diferenciales como bases del dual del espacio tangente; o usando el producto wedge lo de los famosos diferenciales al cuadrado (que tachan en muchos textos contando unas películas tremendas sin matemáticas pero no dicen nada más, ahora ya lo entiendo).

Muchas gracias!

PD: estoy mirando ahora el libro de Weintraub Differential Forms y esta correspondencia la "da" como definición llamándola "la correspondencia fundamental". Me ha servido mucho lo que has escrito porque ahora entiendo por dónde va el tema y lo que persigue...