Autor Tema: Curiosidad de la regla de L'Hopital

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11 Agosto, 2012, 01:28 pm
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Fernando Revilla

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Dada la "deflación" de mensajes en esta época estival (al menos por estos lares), me animo a contar la siguiente curiosidad pedagógica. Hace algunos años y en plan malvado propuse a un grupo de alumnos de COU (curso de orientación universitaria) el siguiente ejercicio:

Usando la regla de L'Hopital, calcular \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}} \)

La resolución sería:

\( \displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\
&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}
\end{aligned} \)

11 Agosto, 2012, 01:56 pm
Respuesta #1

yotas

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La resolución sería:

\( \displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\
&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}
\end{aligned} \)

Qué simpático. Al menos eso ayudaría a no depender del método con apariencia más fácil.
Citar
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

11 Agosto, 2012, 03:36 pm
Respuesta #2

Piockñec

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Qué cosa más curiosa!!! Qué guay. Yo también quiero ser así de malvado  ;)
Fernando, de demostraciones no sé nada ni de las posibilidades que en cuanto a matemática concierne, pero se podría saber si existen más ejemplos de expresiones matemáticas que al derivarlas les ocurra lo mismo? Ahora mismo se me ocurre una, así que la respuesta es sí, pero es muy cutre, jeje \( \dfrac{e^x}{e^x} \). Me pregunto si habrá más, y si existiera alguna forma de averiguarlas. También me pregunto si se pueden averiguar todas, o hay alguna que no se puede. Demasiadas preguntas, creo que esto ya tira por derroteros filosóficos hahaha

11 Agosto, 2012, 03:45 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

11 Agosto, 2012, 03:58 pm
Respuesta #4

feriva

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Pero si igualas las inversas y multiplicas en cruz sale 1=0.

Saludos.

11 Agosto, 2012, 04:06 pm
Respuesta #5

feriva

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Dada la "deflación" de mensajes en esta época estival

Por la época estival y también por la caló que hace  :laugh:

11 Agosto, 2012, 04:07 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Alguno fue más allá y dijo que \( L=L \). Otros fueron más "listillos" (los que no habían estudiado la regla de L'Hopital):

\(
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1
 \)

11 Agosto, 2012, 04:11 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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11 Agosto, 2012, 04:19 pm
Respuesta #8

feriva

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Pero si igualas las inversas y multiplicas en cruz sale 1=0.

Prueba a multiplicar en aspa.

Pues eso

\( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\( 1+x^2=x^ 2 \)

\( 1=0 \)

Saludos.

11 Agosto, 2012, 04:26 pm
Respuesta #9

Fernando Revilla

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Ahora mismo se me ocurre una, así que la respuesta es sí, pero es muy cutre, jeje \( \dfrac{e^x}{e^x} \). Me pregunto si habrá más, y si existiera alguna forma de averiguarlas. También me pregunto si se pueden averiguar todas, o hay alguna que no se puede. Demasiadas preguntas, creo que esto ya tira por derroteros filosóficos hahaha

Ocurre para los cocientes de funciones \( \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \) que satisfacen \( f(x)f'(x)=g(x)g'(x) \).

11 Agosto, 2012, 04:29 pm
Respuesta #10

Fernando Revilla

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Pues eso \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
 \( 1+x^2=x^ 2 \) 
\( 1=0 \)

Carlos se refería a igualdad de límites, no de las funciones bajo el límite. Es decir, \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \)

11 Agosto, 2012, 04:45 pm
Respuesta #11

feriva

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Pues eso \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
 \( 1+x^2=x^ 2 \) 
\( 1=0 \)

Carlos se refería a igualdad de límites, no de las funciones bajo el límite. Es decir, \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \)

Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

11 Agosto, 2012, 05:09 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

No. Lo que se sigue al aplicar L'Hôpital es que las funciones \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x} \) y \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) tienen el mismo límite \( L \) (admitiendo que dicho límite exista). Pero por otra parte, si una función tiende a \( L \), su inversa tiende a \( 1/L \), luego llegamos a que \( L = 1/L \) (una igualdad de números reales, no de funciones, como ya te ha indicado Fernando), y esta ecuación lleva a \( L^2 = 1 \), luego \( L = \pm 1 \), pero el valor negativo se descarta porque claramente el límite es positivo.

11 Agosto, 2012, 05:22 pm
Respuesta #13

feriva

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Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

No. Lo que se sigue al aplicar L'Hôpital es que las funciones \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x} \) y \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) tienen el mismo límite \( L \) (admitiendo que dicho límite exista). Pero por otra parte, si una función tiende a \( L \), su inversa tiende a \( 1/L \), luego llegamos a que \( L = 1/L \) (una igualdad de números reales, no de funciones, como ya te ha indicado Fernando), y esta ecuación lleva a \( L^2 = 1 \), luego \( L = \pm 1 \), pero el valor negativo se descarta porque claramente el límite es positivo.

Ya, ya, perdona Carlos. Eso mismo digo, si el límite de \( 1+x ^2 \) es igual al límite de \( x^2 \) cuando "x" tiende a infinito, y teniendo en cuenta la función que nos dan, procediendo al revés y llegando a ella vemos que implica que el límite de la función es 1 al ser el límite igual a su inversa.

Saludos.



O sea, lo que me había nublado la vista era la forma general \( \dfrac{\sqrt {k+x^2}}{x} \) sin darme cuenta de que "k" no puede tender nunca el mismo valor que "x" cuadrado.


11 Agosto, 2012, 05:45 pm
Respuesta #14

feriva

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Alguno fue más allá y dijo que \( L=L \). Otros fueron más "listillos" (los que no habían estudiado la regla de L'Hopital):

\(
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1
 \)

Esta respuesta no la había visto.

 Es que ése es el método de L'Ambulatoire en vez de L'Hopital.

11 Agosto, 2012, 06:07 pm
Respuesta #15

Tanius

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Eso es lo primero que se me ocurrió al leer el tema, así que indirectamente la regla sí nos está diciendo el valor de límite ;D

PD: Oro para México.

11 Agosto, 2012, 06:25 pm
Respuesta #16

feriva

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Eso es lo primero que se me ocurrió al leer el tema, así que indirectamente la regla sí nos está diciendo el valor de límite ;D

PD: Oro para México.

Claro, yo también lo estaba pensando antes de que lo pusiera Carlos, pero seguí dándole vueltas y me lié con esa tontería.

 PD: Y os merecisteis el oro en saltos sincronizados categoría femenina, pero por tradición siempre se lo dan a las chinas o a las rusas, como pasa con la natación sincronizada también; es como si estuviera otorgado antes de que concursen los participantes, siempre pasa igual. 

12 Agosto, 2012, 01:06 pm
Respuesta #17

Piockñec

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Waoh, qué sencillo. Muchas gracias!

18 Agosto, 2012, 07:53 pm
Respuesta #18

Alopiso

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