Autor Tema: Curiosidad de la regla de L'Hopital

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11 Agosto, 2012, 01:28 pm
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Fernando Revilla

  • "Mientras que las otras ciencias estudian las leyes que Dios ha elegido para el Universo, las matemáticas estudian las leyes que hasta Dios tiene que obedecer."-Jean Pierre Serre.
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Dada la "deflación" de mensajes en esta época estival (al menos por estos lares), me animo a contar la siguiente curiosidad pedagógica. Hace algunos años y en plan malvado propuse a un grupo de alumnos de COU (curso de orientación universitaria) el siguiente ejercicio:

Usando la regla de L'Hopital, calcular \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}} \)

La resolución sería:

\( \displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\
&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}
\end{aligned} \)

11 Agosto, 2012, 01:56 pm
Respuesta #1

yotas

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La resolución sería:

\( \displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\
&=\left\{{\dfrac{+\infty}{+\infty}}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}
\end{aligned} \)

Qué simpático. Al menos eso ayudaría a no depender del método con apariencia más fácil.
Citar
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

11 Agosto, 2012, 03:36 pm
Respuesta #2

Piockñec

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Qué cosa más curiosa!!! Qué guay. Yo también quiero ser así de malvado  ;)
Fernando, de demostraciones no sé nada ni de las posibilidades que en cuanto a matemática concierne, pero se podría saber si existen más ejemplos de expresiones matemáticas que al derivarlas les ocurra lo mismo? Ahora mismo se me ocurre una, así que la respuesta es sí, pero es muy cutre, jeje \( \dfrac{e^x}{e^x} \). Me pregunto si habrá más, y si existiera alguna forma de averiguarlas. También me pregunto si se pueden averiguar todas, o hay alguna que no se puede. Demasiadas preguntas, creo que esto ya tira por derroteros filosóficos hahaha

11 Agosto, 2012, 03:45 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

11 Agosto, 2012, 03:58 pm
Respuesta #4

feriva

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Pero si igualas las inversas y multiplicas en cruz sale 1=0.

Saludos.

11 Agosto, 2012, 04:06 pm
Respuesta #5

feriva

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Dada la "deflación" de mensajes en esta época estival

Por la época estival y también por la caló que hace  :laugh:

11 Agosto, 2012, 04:07 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Alguno fue más allá y dijo que \( L=L \). Otros fueron más "listillos" (los que no habían estudiado la regla de L'Hopital):

\(
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1
 \)

11 Agosto, 2012, 04:11 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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11 Agosto, 2012, 04:19 pm
Respuesta #8

feriva

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Pero si igualas las inversas y multiplicas en cruz sale 1=0.

Prueba a multiplicar en aspa.

Pues eso

\( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\( 1+x^2=x^ 2 \)

\( 1=0 \)

Saludos.

11 Agosto, 2012, 04:26 pm
Respuesta #9

Fernando Revilla

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Ahora mismo se me ocurre una, así que la respuesta es sí, pero es muy cutre, jeje \( \dfrac{e^x}{e^x} \). Me pregunto si habrá más, y si existiera alguna forma de averiguarlas. También me pregunto si se pueden averiguar todas, o hay alguna que no se puede. Demasiadas preguntas, creo que esto ya tira por derroteros filosóficos hahaha

Ocurre para los cocientes de funciones \( \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \) que satisfacen \( f(x)f'(x)=g(x)g'(x) \).