Autor Tema: Propiedad dualidad Transformada Fourier y aplicación de la misma a exponencial

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

31 Julio, 2012, 10:55 am
Leído 3122 veces

Hasclepio

  • Novato
  • Mensajes: 175
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En muchos lugares aparece "demostrada" (aunque yo esas demostraciones no las entiendo y me parecen heurísticas en la mayoría de páginas) una propiedad de la Transformada de Fourier definida como dualidad, que viene a ser la que está en esta wiki http://es.wikiversity.org/wiki/Propiedades_de_la_transformada_de_Fourier#Dualidad

En definitiva es la igualdad: \( 2\pi f(-\omega )=\mathbb{F}[F(t)] \)

Esta propiedad se usa principalmente para demostrar la transformada de \( f(t)=e^{\displaystyle j\omega t} \) y arma un jaleo impresionante con los índices que yo no me aclaro, intercambia la variable \( \omega \) por el tiempo  ??? luego lo deshace...

Aplicando esa fórmula tal cual no me entero, porque sería: \( \mathbb{F}[e^{j\omega t}]=2\pi f(-\omega) \) y tendría  que escribir \( e^{\displaystyle jt t} \) (al evaluarla en el tiempo otra vez) según esa igualdad o intecambiar los índices y ahí no me dice nada... sé lo que tiene que dar (ya que se trata de llegar a \( \delta(\omega+\omega_0) \)).

En definitiva no sé demostrar esto, si por favor alguien me pudiera ayudar muchas gracias.

31 Julio, 2012, 03:00 pm
Respuesta #1

HernanV

  • FIUBA
  • Héroe
  • Mensajes: 2,064
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Es que tenes un problema de interpretación... Si te "hace ruido" que cambie \( t \) por \( \omega \), simplemente cambia \( t \) por \( u \) en la demostración, considera \( f(-u) \) y listo :).
\( \displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0} \)

31 Julio, 2012, 03:13 pm
Respuesta #2

Hasclepio

  • Novato
  • Mensajes: 175
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola (gracias en primer lugar),

Es que sigo sin verlo, en el caso de la exponencial es que no lo entiendo, es decir, si quiero hallar la transformada de \( e^{j\omega t} \) usando la dualidad tendría que: \( \displaystyle\mathcal{F}\{\mathcal{F}\{\delta(t-t_0)\}\lvert_{\omega=t}\}=\mathcal{F}\{\displaystyle e^{\displaystyle j t_0 t}\}=2\pi \delta(-\omega-t_0) \)

¿O es que al hacer el cambio \( \omega=t \Rightarrow \omega_0=t_0 \) y por lo tanto \( \mathcal{F}\{\displaystyle e^{\displaystyle j \omega_0 t}\}=2\pi \delta(-\omega-\omega_0)=2\pi \delta(\omega+\omega_0) \) ¿esta última transformada es correcta, están en el orden correcto las \( \omega_0 \)?

Saludos  ???