Continuaría asi?
\( {\color[rgb]{.0,.45,.0} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\big(1-F_Z(x)\big)dx= \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx-\int_{-\infty}^{+\infty}F_Z(x)g(x)dx=1-}\red\frac{[F_Z(x)]^2}{2} \)
Sí, está bien. Hay un detalle que es lo señalado en rojo.
2-\( \displaystyle \int g(x)F_Z(x)dx=\frac{[F_Z(x)]^2}{2}+C \).
Con ésto quería decir que \( \displaystyle \frac{[F_Z(x)]^2}{2} \) es una primitiva de \( g(x)F_Z(x) \) (en efecto, si derivas \( \displaystyle \frac{[F_Z(x)]^2}{2} \) obtendrás \( g(x)F_Z(x) \)).
En consecuencia:
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)F_Z(x)dx=\left\frac{[F_Z(x)]^2}{2}\right|_{-\infty}^{+\infty}=\lim_{x\to +\infty}\frac{[F_Z(x)]^2}{2}-\lim_{x\to -\infty}\frac{[F_Z(x)]^2}{2} \)
Ten en cuenta que \( F_Z(x) \) es función de distribución. Por lo tanto \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}F_Z(x)=1 \) y \( \displaystyle \lim_{x\to -\infty}F_Z(x)=0 \).
Un saludo
