[numbsoul]

Sean \( X,Y \) variables aleatorias tales que para cada \( y\in\mathbb{R} \),se tiene que \( P(Y\leq y|X):=E(\mathbb{I}_{Y\leq y}|X) \) es una constante \( F(y) \) que no depende de \( X \).Probar que \( F_{Y}(y)=F(y)\;\forall y\in\mathbb{R} \) y \( X,Y \) son independientes.

[HernanV]

Si no me equivoco, podes usar que \( \displaystyle \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(g(Y)|X\right)\right] = \mathbb{E}\left(g(Y)\right) \).

[numbsoul]

Usando eso,tenemos que \( F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=E(\mathbb{I}_{Y\leq y})=E(E(\mathbb{I}_{Y\leq y}|X))=E(F(y))=F(y) \).

En cuanto a la independencia,debemos ver que \( P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y) \).

Si \( P(X\leq x)=0 \),la igualdad es evidente.
En caso contrario,tenemos que \( P(Y\leq y,X\leq x)=P(Y\leq y|X\leq x)P(X\leq x)=P(Y\leq y)P(X\leq x) \).