Autor Tema: ONEM: 3 Nivel Cuarta Fase 3

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25 Marzo, 2007, 10:47 pm
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prinmat

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Sean x, y, z, números reales positivos, menores que p, tales que:

\( \\
\cos x + \cos y + \cos z = 0 \\
\cos 2x + \cos 2y + \cos 2z = 0\\
\cos 3x + \cos 3y + \cos 3z = 0
 \)

Halla todos los valores que puede tomar \( \sen x + \sen y + \sen z \).

26 Marzo, 2007, 12:06 am
Respuesta #1

aladan

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Hola prinmat:

He estado analizando tu sistema, transformandolo un poco y he llegado a una incoherencia, ¿ estas seguro  que no hay error?

Olvida la observación, habia cometido un error

Saludos
Siempre a vuestra disposición

27 Marzo, 2007, 08:37 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 
Spoiler
Tenemos en cuenta que:

\(  cos(2x)=2cos^2{x}-1 \)

\(  cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) \)

 Entonces la ecuación 2 te queda:

\(  cos^2(x)+cos^2(y)+cos^2(z)=3/2 \)

 La tercera combinada con la primera:

\(  cos^3(x)+cos^3(y)+cos^3(z)=0 \)

 Si llamas a=cos(x), b=cos(y), c=cos(z), tienes el sistema:

\(  a+b+c=0 \)
\(  a^2+b^2+c^2=3/2 \)
\(  a^3+b^3+c^3=0 \)

 Despejando c en la primera y sustituyendo en la tercera, te queda:

 3ab(a+b)=0

 Luego a+b=0 (y entonces c=0), ó a=0, ó b=0.

 En cualquier caso alguna de las tres a,b,c vale 0 y las otras dos son iguales de signo opuesto.

 Podemos tomar a=0, b=-c. Usando ahora la segunda ecuación, obtenemos \( b=\sqrt{3}/2 \).

 Finalmente como estamos entre 0 y \( \pi \), los senos son siempre positivos y:

\(  sin(x)+sin(y)+sin(z)=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}=2. \)
[cerrar]
Saludos.

27 Marzo, 2007, 05:18 pm
Respuesta #3

topo23

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Es posible calcular explicitamente sen x + sen y + sen z, sin tener que calcular cos x, cos y, cos z? Se me ocurre hacer algo con los polinomios simetricos...
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