Autor Tema: Ángulo de 60º

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05 Julio, 2012, 09:13 am
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Michel

  • Lathi
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Sea ABC un triángulo.
La bisectriz del ángulo A corta a BC en D y la bisectriz del ángulo B corta a AC en E.
Si AE + BD = AB, demostrar que el ángulo C vale 60º.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

13 Julio, 2012, 08:57 am
Respuesta #1

Michel

  • Lathi
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Por el teorema de la bisectriz:

\( \displaystyle\frac{AE}{c}=\displaystyle\frac{EC}{a}=\displaystyle\frac{AE+EC}{c+a}=\displaystyle\frac{b}{c+a}  \Rightarrow{AE=\displaystyle\frac{bc}{c+a}} \)

\( \displaystyle\frac{BD}{c}=\displaystyle\frac{DC}{b}=\displaystyle\frac{BD
+DC}{c+b}=\displaystyle\frac{a}{c+b}  \Rightarrow{BD=\displaystyle\frac{ac}{c+b}} \)

\( AE+BD=AB  \Rightarrow{\displaystyle\frac{bc}{c+a}+\displaystyle\frac{ac}{c+b}=c} \)

Dividiendo por c y simplificando: \( c^2=a^2+b^2-ab \).

Por el teorema del coseno: \( c^2=a^2+b^2-2abcosC \)

De las dos últimas igualdades resulta:

\( ab=2abcosC  \Rightarrow{cosC=1/2} \Rightarrow{C=60º} \)
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker