3. Una distribución de Poisson tiene dos modas que son \( x=3 \) y \( x=4 \). Calcula la probabilidad de que la variable tome el valor \( x=5 \)
\( P[X=5]=e^{-7/2}\displaystyle\frac{(7/2)^5}{5!}=0,13235 \)
Aunque no estoy muy segura...
3) No entiendo por qué propones que la media de una Poisson está entre las 2 modas. ¿De dónde sale eso?
Mmm... por eso decía que no estaba segura 
Es que me despista eso de las modas, no sé cuál es el parámetro entonces. Ando bastante perdida con este.
Tiene razón
HernanV. Dada una variable aleatoria discreta \( X \), la moda es el valor que tiene mayor probabilidad. Por lo tanto, si \( k^* \) es moda de \( X \) tiene que cumplir \( p_X(k^*)\geq p_X(k) \) para todo \( k\in R_X \). En particular, para \( k=k^*-1 \) y para \( k=k^*+1 \). En consecuencia, si \( X\sim \text{Poi}(\lambda) \) ha de verificarse:
\( \begin{align} \displaystyle \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k^*}}{k^*!}&\geq \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k^*-1}}{(k^*-1)!}\\ \displaystyle \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k^*}}{k^*!}&\geq \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k^*+1}}{(k^*+1)!}\end{align} \)
Nota que \( \lambda>0 \) pues \( \lambda \) representa por ejemplo, el número medio de llamadas telefónicas que recibe una central en un determinado intervalo de tiempo. Por lo tanto, uno puede dividir entre \( \lambda^{k^*} \) sin preocuparse de la paridad de \( k^* \) para ver cuándo cambia el sentido de la desigualdad. De la inecuación \( (1) \), habiendo simplificado el factor \( e^{-\lambda} \), obtenemos:
\( \displaystyle \frac{\lambda^{k^*}}{k^*!}&\geq \frac{\lambda^{k^*-1}}{(k^*-1)!}\Longrightarrow \frac{\lambda^{k^*}}{\lambda^{k^*-1}}\geq \frac{k^*!}{(k^*-1)!}\Longrightarrow \fbox{$\lambda\geq k^*$} \)
Análogamente, a partir de la inecuación \( (2) \):
\( \displaystyle \frac{\lambda^{k^*}}{k^*!}&\geq \frac{\lambda^{k^*+1}}{(k^*+1)!}\Longrightarrow \frac{(k^*+1)!}{k^*!} \geq\frac{\lambda^{k^*+1}}{\lambda^{k^*}} \Longrightarrow k^*+1\geq \lambda\Longrightarrow \fbox{$k^*\geq \lambda-1$} \)
Las expresiones recuadradas implican que la moda \( k^* \) satisface \( \lambda-1\leq k^*\leq \lambda \). Esto implica que la moda está en un intervalo de longitud 1. Si \( \lambda \) no es entero, \( k^* \) va a ser el único entero posible en el intervalo \( [\lambda-1,\lambda] \). Dicho entero no es otro que \( \lfloor \lambda \rfloor=\max\{z\in \mathbb{Z}:z\leq \lambda\} \). Ahora bien, si \( \lambda \) es entero positivo, ningún \( x\in (\lambda-1,\lambda) \) es entero, así que los candidatos son los extremos. Comparemos \( p_X(\lambda) \) y \( p_X(\lambda-1) \). Si por ejemplo \( p_X(\lambda)>p_X(\lambda-1) \) la moda sería \( k^*=\lambda \). Pero:
\( \displaystyle p_X(\lambda)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^\lambda}{\lambda!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda\lambda^{\lambda-1}}{\lambda(\lambda-1)!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{\lambda-1}}{(\lambda-1)!}=p_X(\lambda-1) \)
¡O sea que son iguales! Entonces habrá dos modas en vez de una, pues las dos verifican la definición de moda. Con estas ideas en mente, intenta concluir el ejercicio
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Saludos
