Estaba leyendo unas notas que pretenden demostrar que en un grupo cíclico de orden \( n \), existen tantos subgrupos como divisores tiene \( n \). Para eso demuestra algunos resultados previos, entre ellos el siguiente:
Every subgroup of a cyclic group, is cyclic.
Proof. Let \( G \) be a cyclic group, with generator \( g \). For a subgroup \( H\subset G \), we will show \( H=<g^n> \) for some \( n\geq 0 \), so \( H \) is cyclic. The trivial subgroup is obviously of this form because \( e=g^0 \). So we may suppose \( H \) is non-trivial.
Define \( n \) to be the smallest positive integer such \( g^n\in H \). (There are such powers; \( H \) contains some non-zero power of \( g \), which becomes a positive power after inversion if necessary).
Now we show any \( h\in H \) is a power of \( g^n \). (Any element of \( <g^n> \) lies in \( H \), since \( g^n \) already does). The whole group \( G \) is generated by \( g \), so \( h=g^a \) for some \( a\in \mathbb{Z} \). We want \( n|a \). Well, by the division theorem,
\( a=nq+r \)
for some integers \( q \) and \( r \) such \( 0\leq r<n \). Therefore
\( h=g^a=(g^n)^qg^r=g^r \)
As \( g^r\in H \) and \( 0\leq r<n \), the minimality condition defining \( n \) implies \( r \) can't be positive, so \( r=0 \). Thus \( n|a \), so \( h=g^a\in <g^n> \). This proves \( H=<g^n> \).
Ayer tarde de la noche leí esta demostración y me pareció bien. Sin embargo, hoy cuando retomé este tema, me surgieron dudas respecto de la siguiente identidad:
\( h=g^a=(g^n)^qg^r=g^r \)
Lo que me pareció raro es que se toma \( h\in H \) arbitrario, y llega a que \( h=g^r \) donde \( r=0 \). Eso implicaría que \( H=\{e\} \) pero había partido de la base de que \( H \) era no trivial
. Además esa identidad es equivalente a \( (g^n)^q=e \) y eso ocurre si y sólo si \( o(g^n)|q \) pero eso a priori es imposible de determinar.
Yo veo que lo que quiere demostrar es que \( r=0 \) para de esa manera concluir que \( n|a \). Para eso necesita probar primero que \( g^r\in H \). De la identidad \( h=(g^n)^qg^r \) puede afirmar que \( g^r=(g^n)^{-q}h \). Como \( g^n\in H \), se tiene que \( (g^n)^{-q}\in H \). O sea, que \( g^r \) es producto de \( (g^n)^{-q}\in H \) y de \( h\in H \), y como \( H \) es cerrrado frente al producto por ser subgrupo, \( g^r\in H \).
¿Está bien la objeción, o hay algo que no estoy viendo?
Gracias.
