[numbsoul]

Dado \( n\in\mathbb{N} \),determinar la cantidad de maneras de descomponer a \( n \) en sumandos naturales decrecientes,es decir,que el primer sumando sea mayor o igual que el segundo,el segundo mayor o igual que el tercero,etc...,el penúltimo mayor o igual que el último.

[pierrot]

Hola

Dado \( n\in\mathbb{N} \),determinar la cantidad de maneras de descomponer a \( n \) en sumandos naturales decrecientes,es decir,que el primer sumando sea mayor o igual que el segundo,el segundo mayor o igual que el tercero,etc...,el penúltimo mayor o igual que el último.

Eso, por definición, es \( p(n) \), la función de partición aplicada al entero positivo \( n \). No se conocía una fórmula explícita para \( p(n) \) hasta el año 2010. Sí se sabía sobre su comportamiento asintótico para \( n\to +\infty \). Tienes algunas referencias en Wikipedia. El matemático que resolvió este problema se llama Ken Ono. Aquí puedes ver una conferencia que él dictó sobre la fórmula que buscas. Aparentemente involucra fractales  .

Saludos

[numbsoul]

Ups,no me lo esperaba  .
La pregunta me surgió resolviendo problemas sencillos de álgebra:por ejemplo,cuando te piden "hallar la cantidad de grupos abelianos de orden \( p^{n} \) ",y básicamente lo que uno hace,si \( n \) es chico,es utilizar esa descomposición.Por ejemplo,si \( n=4 \),los grupos posibles son los siguientes:\( \mathbb{Z}_{p^{4}},\mathbb{Z}_{p^{3}}\oplus \mathbb{Z}_{p},\mathbb{Z}_{p^{2}}\oplus \mathbb{Z}_{p^{2}} \),etc...,me cansé 

Muchas gracias PabloN

[Phicar]

Hola Numbsoul

mira ésto: http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDecompositionTheorem.html

Para calcularlos lo más sencillo es usar el teorema pentagonal de Euler, con él hay una función recurrente para calcularlo. Creo que se llama recurrencia de McMahon.

Saludos.