Autor Tema: Integral doble en coordenadas polares

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

19 Marzo, 2007, 12:47 am
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Rafael

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Hola, necesito ayuda convirtiendo la siguiente integral cartesiana a una integral polar equivalente:

\( \displaystyle\int_{0}^{6}\displaystyle\int_{0}^{y}xdxdy \)

Mi problema radica principalmente en hallar los limites de integracion.

Gracias....

19 Marzo, 2007, 01:25 am
Respuesta #1

Ked

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En todos los casos donde es posible es aconsejable hacer un dibujo.

Antes que nada, has puesto mal el orden de integración, con esos límites el orden debería ser:

\( \displaystyle\int_0^6 \left(\int_0^y x\;dx\right)dy = \int_0^6 \int_0^y x\;dy dx \)

En esta integral, el dominio sobre el cual integraremos la x es:


Como se ve en la imagen, es la mitad superior de un cuadrado de lado 6 (esto es fácil de sacar). Ahora, como integramos en la mitad superior, el ángulo va a ir desde \( \arctan(6/6) = \arctan(1) = \pi/4 \) hasta la vertical, o sea \( \pi/2 \).
Ahora el radio, vamos a limitarlo como una función del ángulo \( \theta \). Como integramos desde y=0 hasta la "altura" y=6, resulta al hacer el cambio a polares que iremos hasta \( \displaystyle \rho \sin \theta = 6 \Rightarrow \rho = \frac{6}{\sin \theta} \)

Ahora recordar que \( x=\rho \cos \theta \) y el jacobiano por el cual multiplicar es \( \rho \).

Finalmente, nuestra integral queda:
\( \displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\int_0^{6/\sin \theta}\rho^2\cos\theta \;d\rho\right)d\theta \)

Puedes verificar que calculando la integral de ambas maneras el resultado es 36.


Saludos

19 Marzo, 2007, 03:00 am
Respuesta #2

physlord

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El orden de integracion está incorrecto??
Se supone que el el límite superior de la integral es, \( x = y \), es decir, \( y \) no??

Entonces el límite es correcto

La integral serìa sobre el triangulo superior izquierdo formado por una de las diagonales de un cuadrado de lado 6.

19 Marzo, 2007, 03:20 am
Respuesta #3

Ked

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A lo que me refiero es que usando la notación usual:

\( \displaystyle\int_{0}^{6}\displaystyle\int_{0}^{y}x\; dxdy = \int_{0}^{6}\left(\displaystyle\int_{0}^{y}x\; dy\right)dx \)

Es decir, el último que aparece en "dx dy" es el primero sobre el cual se integra.
Y con estos límites, eso está mal, ya que estás integrando primero respecto a y, y evaluando en una función de y (y no función de x como debería ser).

19 Marzo, 2007, 04:02 am
Respuesta #4

Rafael

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Hola, gracias por la respuesta. Solo tengo una duda. ¿Cómo sabes que tu región de integración es el triángulo superior izquierdo y no el inferior derecho?

Gracias...

19 Marzo, 2007, 04:07 am
Respuesta #5

Ked

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Porque la x va desde 0 a y.

Miralo como si fueran flechas paralelas al eje x, que van desde 0 hasta la recta x=y
Algo así:

------------->
----------->
--------->
------->
----->
--->
->

Si fuera el otro triángulo, la x iría de y hasta 6. ¿Lo ves?

Saludos

19 Marzo, 2007, 04:13 am
Respuesta #6

Rafael

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Ya me quedo claro. Gracias!!