Autor Tema: ONEM: I Nivel Cuarta Fase 2

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14 Marzo, 2007, 10:41 pm
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prinmat

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Un coleccionista tiene cierta cantidad de piedras preciosas, todas de pesos distintos. Si retira las 3 piedras más pesadas, el peso total de todas las piedras que tenía disminuye en 35%. Si retira, de las piedras restantes, las 3 más livianas, el peso total de dichas piedras restantes disminuye en sus \( \displaystyle\frac{5}{13} \). ¿Cuántas piedras tenía originalmente el coleccionista?

15 Marzo, 2007, 08:41 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Este problema me resultó curioso. A bote pronto me pareció que faltaban datos. Pero no. Es bonito.

 Un camino:

Spoiler
- Llamemos a,c,b respectivamente al peso de las 3 más ligeras, las tres más pesadas, y el resto.

 - De las condiciones dadas es fácil escribir dos ecuaciones y poner b y c en función de a.

 - Si no me equivoqué en las cuentas sale: b=8a/5; c=7a/5;

 - Ahora la cosa es saber cuántas piedras conforman el peso b. Llamemos n a ese número. La clave está en que la piedra menos pesada de las de b tiene que pesar más que las 3 ligeras  y la más pesada menos que las 3 más pesadas.

 - En las tres más ligeras al menos hay una piedra que pesa a/3 o más. En las tres más pesadas al menos hay una piedra que pesa c/3 o menos. Idem para las piedras "centrales".
 
 - De ahí:

\(    \displaystyle\frac{a}{3}\leq \displaystyle\frac{8a}{5n}\leq \displaystyle\frac{7a}{15} \)

 Como n es entero sólo habrá una solución y el número pedido es n+6.
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Saludos.

15 Marzo, 2007, 10:59 am
Respuesta #2

alma

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Hola!

Si llamamos n al número de piedras preciosas tenemos que:

\( \displaystyle\frac{3}{n}<\displaystyle\frac{35}{100} \)       con lo que n>8

\( \displaystyle\frac{3}{n-3}<\displaystyle\frac{5}{15} \)        con lo que n<11


Por tanto deben ser 9 o 10 piedras preciosas.

Saludos.


15 Marzo, 2007, 11:20 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Hay una pequeña errata en la segunda desigualdad es "mayor que" en lugar de "menor que" y 5/13 en lugar de 5/15. En cualquier caso te falta precisar si son 9 ó 10.

 Una observación:

Spoiler
La diferencia entre tu método y el mío, es que en la primera desigualdad tu sólo utilizas la información sobre las 3 piedras mas pesadas.

 Por el contrario en las dos desigualdades que utilizo al final de mi razonamiento, está implícita toda la información. De ahí que se obtenga una desigualdad más precisa, que permita deducir que, con tu notación, n=10 (con la mía n=4 y por tanto 6+4=10 piedras).
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Saludos.

19 Marzo, 2007, 06:56 pm
Respuesta #4

alma

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Hola.

De entrada, gracias al Manco por su aclaración, que me ha inducido a otra forma de exponer la solución, posiblemente más didática para alguien.

Las tres piedras más pesadas representan el 35% del total, o sea que su peso medio será de 11,66 % del total.

Asismismo las 3 menos pesadas representan el los 5/13 del 65%, es decir el 25% del peso, por lo que su peso medio será el 8,33% del total.

A las piedras restantes les corresponde el 40% restante y su peso medio debe estar entre el 8,33% y el 11,66% del total, y esto sólo ocurre para 4 piedras.

Saludos.