Autor Tema: Problema de las tazas de café

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13 Marzo, 2007, 07:03 pm
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physlord

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Tengo este problema desde hace días. A ver si alguien por favor puede ayudarme a resolverlo, es muy interesante:

El rey y la reina van a tomar café, la reina pide crema fría y le agrega una cucharadita a su café. Pasan tres minutos y el rey pide crema para agregarle a su café. A continuación los dos toman su café.
Pregunta, ¿Quién se toma el café más caliente?


Debo resolver la pregunta usando la ley del enfriamiento de Newton:

\( \displaystyle\frac{dT}{dt} = k(T - T_0) \)

14 Marzo, 2007, 03:12 am
Respuesta #1

aladan

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Hola physlord:

Me parece que el rey tomará el café más caliente, el de la reina ha reducido su temperatura durante los tres minutos que ha estado mezclado con la crema fria y el del rey nada más mezclarse con la crema es tomado.

Evidentemente esta no es una respuesta con demostración matemática, para intentar ayudarte en ese camino, ¿ puedes decirme lo que representan en esa ley de Newton, las diferentes letras?, T, T0, t y k.

Saludos
Siempre a vuestra disposición

14 Marzo, 2007, 12:01 pm
Respuesta #2

island in the darkness

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Hola amig@s:

Es curioso, esta misma pregunta se la hicieron a Stephen Hawking cuando era un crío, en el colegio. El señor ya despuntó maneras contestando rápidamente y sin vacilar. Si no recuero mal, dijo "... cuanto más caliente esté, más rápidamente se enfriará..."

La ecuación\( \displaystyle\frac{dT}{dt}=k(T-T_0) \) donde:

\( T \): temperatura
\( T_0 \): temperatura de referencia
\( k \): constante de proporcionalidad
\( t \): tiempo

lo que está expresando es que el gradiente (variación) de temperatura es proporcional a la diferencia de temperaturas.

De manera que la reina tomará el café más caliente que el rey porque el café del rey tarda mucho menos en enfriarse durante esos tres minutos, antes de añadirle la crema, que el café de la reina, al cual ella le añade la crema inmediatamente.

Ejemplo numérico:

Supongamos que la temperatura segura para probar el café sin quemarnos es de 40ºC.

La reina tiene el café a 85º, le echa crema a 5º, que hace bajar la temperatura de la mezcla a 45º (según balance de energía, el calor cedido por el café es el absorbido por la crema y suponiendo igual masa y calor específico de café y crema, la temperatura final es la media aritmética de ambas) y espera a que el café (mezcla café y crema) se enfríe esos 5º que faltan hasta los 40º.

El rey tiene el café a 85º, espera que la temperatura baje a 75º durante esos 3 minutos, y entonces le echa la crema, que hará bajar la temperatura a los 40º grados en los que se lo puede tomar.

Resulta que como el café tarda bastante menos en bajar de 85º a 75º que en bajar de 45º a 40º (a pesar de ser el doble de descenso, se tarda menos, según muestra la ecuación de Sir Isaac Newton), el café se enfría más despacio si se echa la crema nada más sacarlo de la cafetera.

;)

island in the darkness.
Homo Homini Lupus

15 Marzo, 2007, 12:29 am
Respuesta #3

physlord

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Las ideas las tengo más o menos claras. El problema es la momento de demostrarlo. Quiero obtener un par de ecuaciones que demuestren claramente que para enfriar el café es más eficiente esperar y luego ponerle crema que al revés.

15 Marzo, 2007, 10:29 am
Respuesta #4

island in the darkness

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Bueno, physlord, a ver si logro escribirlo como tú quieres:

Opción A) El café y la crema se meclan directamente.

Estableciendo un balance de energía, resulta que como el café está más caliente que la crema, el café cede calor a la crema, quien lo absorbe:

\( Q_{cedido}=Q_{absorbido} \)

\( m_{cafe}Ce_{cafe}(T_{cafe}-T_f)=m_{crema}Ce_{crema}(T_f-T_{crema}) \) [1] donde:

\( m_{cafe} \): masa café
\( m_{crema} \): masa crema
\( Ce_{cafe} \): calor específico café
\( Ce_{crema} \): calor específico crema
\( T_{cafe} \): temperatura café
\( T_{crema} \): temperatura crema
\( T_f \): temperatura de la mezcla café-crema

Ahora, adimitimos (para facilitar cálculos) que:

\( m_{cafe}=m_{crema} \)

\( Ce_{cafe}=Ce_{crema} \)

Entonces, despejando de [1]:

\( T_f=\displaystyle\frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2} \)

Opción B) El café se enfría cierto tiempo (conducción, convección y radiación con el ambiente) antes de mezclarse con la crema.

En este caso, se aplica la Ley Enfriamiento de Newton,

\( \displaystyle\frac{dT_{cafe}}{dt}=k(T_{cafe}-T_0) \)

\( T_{cafe} \): temperatura café
\( T_0 \): temperatura de referencia
\( k \): constante de proporcionalidad
\( t \): tiempo

Por tanto, según esta ecuación, transcurrido cierto tiempo, la temperatura del café \( T_{cafe} \) disminuye hasta \( T'_{cafe} \), cumpliéndose que \( T'_{cafe}<T_{cafe} \)

A continuación, se le añade crema a este café previamente enfriado, pero como el café sigue estando más caliente que la crema, estableciendo una balance energético similar al anterior,

\( Q_{cedido}=Q_{absorbido} \)

\( m_{cafe}Ce_{cafe}(T'_{cafe}-T_f)=m_{crema}Ce_{crema}(T'_f-T_{crema}) \) [2] donde:

\( m_{cafe} \): masa café
\( m_{crema} \): masa crema
\( Ce_{cafe} \): calor específico café
\( Ce_{crema} \): calor específico crema
\( T'_{cafe} \): temperatura café
\( T_{crema} \): temperatura crema
\( T'_f \): temperatura de la mezcla café-crema

Ahora, adimitimos nuevamente (para facilitar cálculos) que:

\( m_{cafe}=m_{crema} \)

\( Ce_{cafe}=Ce_{crema} \)

Entonces, despejando de [2]:

\( T'_f=\displaystyle\frac{T'_{cafe}+T_{crema}}{2} \) [3]

Ahora sumando y restando \( T_{cafe} \) en el numerador y denominador de [3]

\( T'_f=\displaystyle\frac{T'_{cafe}-T_{cafe}+T_{cafe}+T_{crema}}{2} \)

\( T'_f=\displaystyle\frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2}+\displaystyle\frac{T'_{cafe}+T_{cafe}}{2} \)

\( T'_f=T_f+\displaystyle\frac{T'_{cafe}-T_{cafe}}{2} \)

Ahora bien, como \( T'_{cafe}<T_{cafe} \), entonces

\( T'_f<T_f+\displaystyle\frac{T_{cafe}-T_{cafe}}{2} \) y finalmente,

\( T'_f<T_f \)

Espero que esto te sirva.

;)

island in the darkness.
Homo Homini Lupus

16 Marzo, 2007, 01:52 am
Respuesta #5

physlord

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Muchas gracias, me había tardado buscando una respuesta en funcion de \( T \text{ y } T_f \) , para luego compararlas. Me falta comprender completamente el final.

De nuevo gracias

18 Marzo, 2007, 04:47 pm
Respuesta #6

physlord

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Ya lo entendí. Pero tu forma de modelar el problema solo revela que la emperatura del café del rey al pasar tres minutos y mezclarlo, es menor que la temperatura del café de la reina cuando hizo la mezcla. Porque indudablemente es cierto que \( T'_{cafe}<T_{cafe} \) ya que éste ultimo aún no se ha enfriado. Es decir que

\( \begin{equation}\frac{T'_{cafe}+T_{crema}}{2} < \frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2}\end{equation}  \).

Ahora, sea \( \begin{equation}T_f = \frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2}\end{equation} \)

Entonces lo que se debe mostrar es que

\( \begin{equation}\frac{T'_{cafe}+T_{crema}}{2} < T'_f\end{equation} \)

para t = 3. Aunque supongo que se puede generalizar.

Aclarando que \( T'_f = \frac{dT_f}{dt} \) con \( T_f \) como se definó.

Asi que lo unico que se me ocurre es usar la solución de la ecuación de Newton y tratar de sacar una conclusión de ahí