Autor Tema: Existe algún triángulo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Mayo, 2012, 11:34 am
Leído 260 veces

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Existe algún triángulo tal que las medidas de sus lados son tres números naturales consecutivos y el ángulo mayor es doble que el menor?
Si existe, hallar sus medidas.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

22 Mayo, 2012, 10:37 am
Respuesta #1

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea el triángulo ABC en el que B=2C y los lados n-1, n, n+1. Como en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado, el lado mayor es AC=n+1 y el menor es AB=n-1.

Trazando la bisectriz de B, se forma el triángulo isósceles BDC, en el que el ángulo exterior (suma de los interiores no adyacentes) vale 2C.

Los triángulos ABC y ADB tienen sus ángulos respectivamente iguales, por lo que son semejantes:
\( \displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{AB}{AD}\Rightarrow{\displaystyle\frac{n+1}{n-1}=\displaystyle\frac{n-1}{AD}}\Rightarrow{AD=\displaystyle\frac{(n-1)^2}{n+1}} \)

Aplicando el teorema de la bisectriz al triángulo ABC:
\( \displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{BC}=\displaystyle\frac{AD+DC}{AB+BC}\Rightarrow{\displaystyle\frac{AD}{n-1}=\displaystyle\frac{n+1}{2n-1}}\Rightarrow{AD=\displaystyle\frac{(n-1)(n+1}{2n-1}} \)

Igualando y simplificando resulta: \( n(n-1)(n-5)=0 \).

La única solución válida es 5. Por tanto los lados del triángulo miden 4, 5 y 6.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker