Autor Tema: Producto notable de senos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Mayo, 2012, 03:29 pm
Leído 5406 veces

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,065
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Para \( b\in \mathbb{R} \), \( n \) entero, \( n\geq 2 \) se cumple:

\( |\sin(nb)|=2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^n\left|\sin\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right)\right| \)

Demostración:

 Consideramos el polinomio:

\( p(x)=x^{2n}-2x^n\cos(2bn)+1 \)

 Sus raíces cumplen:

\(  x^n=\cos(2bn)\pm i \sin (2bn) \)

 y por tanto tales raices son:

\(  x_k=\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+ \sin i \left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)  \)

\(  \bar x_k=\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)- \sin i \left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)  \)

 para \( k=0,1,\ldots,n-1 \).

 Eso nos permite factorizar el polinomio como:

\(  p(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(x-x_k)(x-\bar x_k)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+1\right) \)    (*)

 Ahora:

\(  p(1)=1-2\cos(2bn)+1=2-2\cos(2bn)=4sin^2(bn) \)

\( \left(1^2-2\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+1\right)=4\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right) \)

 Sustiyuendo en (*):

\(  4sin^2(bn)=4^n\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right) \)

 y extrayendo la raíz cuadrada obtenemos el resultado indicado.

08 Agosto, 2012, 09:00 pm
Respuesta #1

teeteto

  • Lathi
  • Mensajes: 2,616
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Dormirás por una eternidad ¡Despierta!
Me pregunto si no saldrá esto también usando números complejos...
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)