Para \( b\in \mathbb{R} \), \( n \) entero, \( n\geq 2 \) se cumple:
\( |\sin(nb)|=2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^n\left|\sin\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right)\right| \)
Demostración:
Consideramos el polinomio:
\( p(x)=x^{2n}-2x^n\cos(2bn)+1 \)
Sus raíces cumplen:
\( x^n=\cos(2bn)\pm i \sin (2bn) \)
y por tanto tales raices son:
\( x_k=\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+ \sin i \left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right) \)
\( \bar x_k=\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)- \sin i \left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right) \)
para \( k=0,1,\ldots,n-1 \).
Eso nos permite factorizar el polinomio como:
\( p(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(x-x_k)(x-\bar x_k)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+1\right) \) (*)
Ahora:
\( p(1)=1-2\cos(2bn)+1=2-2\cos(2bn)=4sin^2(bn) \)
\( \left(1^2-2\cos\left(2b+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+1\right)=4\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right) \)
Sustiyuendo en (*):
\( 4sin^2(bn)=4^n\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(b+\dfrac{k\pi}{n}\right) \)
y extrayendo la raíz cuadrada obtenemos el resultado indicado.
