Autor Tema: Teorema de restricción para derivadas

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06 Mayo, 2012, 11:47 am
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Gaussa

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Hola.

Hay un paso de la demostración del teorema de estricción que no acabo de entender.

Teorema: \( f: ]a,b[\rightarrow \mathbb{R} \) es derivable en \(  x_0 \in ]a,b[ \) si y sólo si existe alguna bola \( B=B(x_0,r)\subset ]a,b[ \) tal que la función \( g=f|B: B=]x_0-r,x_0+r[\rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f(x) \) es derivable en \( x_0 \)

El problema lo tengo en este sentido \( \implies \)

 Supongamos que f es derivable en \(  x_0 \). Entonces, por definición, \( \exists \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0 }\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(x_0) \) (*)

 Sea \( \{x_n\} \) una sucesión arbitraria en \( B \) tal que \( x_n\rightarrow x_0 \). Esta sucesión está también en \( ]a,b[ \) y converge hacia \( x_0 \)

 Por (*) \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }\displaystyle\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=f^{\prime}(x_0)\equiv  \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }\displaystyle\frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}=f^{\prime}(x_0) \)

- Aquí mi duda, ¿por qué n tiende a infinito?

 Y termina así: Como esto ocurre para cada sucesión \(  \{x_n\} \) en \( B \) tal que \( x_n\rightarrow x_0  \) necesariamente  \( \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0 }\displaystyle\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(x_0)=g^{\prime}(x_0) \), por definición de \(  g^{\prime} \)

Saludos y muchas gracias.

06 Mayo, 2012, 01:30 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Porque tienes que \( \lim_{n\rightarrow \infty}x_n = x_0 \), luego al componer con la función \( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) tienes que  \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} = f'(x_0) \).

De todos modos, me parece una forma muy retorcida de probarlo. En general, si tienes una función \( F:\left]a,b\right[\setminus \{x_0\}\longrightarrow \mathbb{R} \), existe \( \lim\limits_{x\rightarrow x_0}F(x) \) si y sólo si existe un \( \left]x_0-r_0,x_0+r_0\right[\subset \left]a,b\right[ \) donde la restricción de \( F \) tiene el mismo límite, y para probarlo basta escribir la definición de límite para \( F \) y para la restricción y ver que afirman lo mismo.

El teorema que citas es un caso particular, en el que \( F(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \).

06 Mayo, 2012, 01:49 pm
Respuesta #2

Gaussa

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Muchas gracias, ya lo he entendido.

¿Por qué me han cambiado "restricción" por "estricción" en el título y en el mensaje? He consultado en mis apuntes y pone "restricción" (además, más de una vez, que no puede ser una errata)

Saludos

06 Mayo, 2012, 01:54 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Muchas gracias, ya lo he entendido.

¿Por qué me han cambiado "restricción" por "estricción" en el título y en el mensaje? He consultado en mis apuntes y pone "restricción" (además, más de una vez, que no puede ser una errata)

Saludos

Dudo que te lo haya cambiado nadie. ¿No lo teclearías tú mal sin darte cuenta?

Ah, no, veo que te lo han puesto en rojo. Desde luego, es restricción.

06 Mayo, 2012, 01:55 pm
Respuesta #4

Gaussa

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Muchas gracias, ya lo he entendido.

¿Por qué me han cambiado "restricción" por "estricción" en el título y en el mensaje? He consultado en mis apuntes y pone "restricción" (además, más de una vez, que no puede ser una errata)

Saludos

Dudo que te lo haya cambiado nadie. ¿No lo teclearías tú mal sin darte cuenta?

Mmm... no creo, me lo han señalado en rojo  ???

06 Mayo, 2012, 01:57 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Sí, me he dado cuenta después, pero es restricción. No sé qué habrá pasado.

06 Mayo, 2012, 02:23 pm
Respuesta #6

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Lo siento, no creía que tu notación fuera "oficial" y por eso te la cambié.
La cambié para no desentonar.
Para referirnos a eso, sajones e hispanoparlantes tenemos en común la expresiva palabra "sandwich".
"estricción" no la uso, pero es lo que veo por allí para la misma idea.
"restricción" no recuerdo haberla visto hasta hoy en ese contexto.
Pero desde luego, si en tu clase utilizan "restricción" y se entienden, no hay problema.

Saludos.
 

06 Mayo, 2012, 02:41 pm
Respuesta #7

Gaussa

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Ah, pues gracias, ya cuando vea escrito teorema de "estricción" sabré que es a lo que yo le llamo teorema del "sandwich"  :D

Saludos.