Hola.
Hay un paso de la demostración del teorema de estricción que no acabo de entender.
Teorema: \( f: ]a,b[\rightarrow \mathbb{R} \) es derivable en \( x_0 \in ]a,b[ \) si y sólo si existe alguna bola \( B=B(x_0,r)\subset ]a,b[ \) tal que la función \( g=f|B: B=]x_0-r,x_0+r[\rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f(x) \) es derivable en \( x_0 \)
El problema lo tengo en este sentido \( \implies \)
Supongamos que f es derivable en \( x_0 \). Entonces, por definición, \( \exists \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0 }\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(x_0) \) (*)
Sea \( \{x_n\} \) una sucesión arbitraria en \( B \) tal que \( x_n\rightarrow x_0 \). Esta sucesión está también en \( ]a,b[ \) y converge hacia \( x_0 \)
Por (*) \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }\displaystyle\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=f^{\prime}(x_0)\equiv \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }\displaystyle\frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}=f^{\prime}(x_0) \)
- Aquí mi duda, ¿por qué n tiende a infinito?
Y termina así: Como esto ocurre para cada sucesión \( \{x_n\} \) en \( B \) tal que \( x_n\rightarrow x_0 \) necesariamente \( \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0 }\displaystyle\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(x_0)=g^{\prime}(x_0) \), por definición de \( g^{\prime} \)
Saludos y muchas gracias.
