Autor Tema: Problema de integrales triples

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27 Abril, 2012, 03:41 am
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danquiz

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
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Buenas noches tengo el siguiente ejercicios.

1.   Dibujar el sólido al cual hace referencia la triple integral; convertir la integral a coordenadas cilíndricas y a esféricas luego evaluar por donde considere más adecuada.   

\( \displaystyle\int_{-a}^{a}\displaystyle\int_{-\sqrt[2]{a^2-x^2}}^{\sqrt[2]{a^2-x^2}}\displaystyle\int_{a}^{a+\sqrt[2]{a^2-x^2-z^2}}xdzdydx \)

al dibujar el solido me queda una esfera que se encuentra desplazada en el eje \( y \) y es interceptada por un plano que me genera una base circular el problema que tengo es que no se como realizar los cambios a coordenadas cilíndricas y esféricas agradecería su ayuda.

03 Mayo, 2012, 11:32 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 En primer lugar tienes los diferenciales cambiados. Debería de ser:

\( \displaystyle\int_{-a}^{a}\displaystyle\int_{-\sqrt[2]{a^2-x^2}}^{\sqrt[2]{a^2-x^2}}\displaystyle\int_{a}^{a+\sqrt[2]{a^2-x^2-z^2}}x\color{red}dydz\color{black}dx \)

 Ahora lo más lógico es usar esféricas o cilíndricas desplazas en el eje \( Y \). Es decir:

 Cilíndricas:

\(  x=\rho cos(\theta) \)
\(  y=a+\rho sin(\theta) \)
\(  z=z \)

 siendo los límites \( \theta\in [0,\pi],\quad z\in [-a,a],\quad \rho\in [0,\sqrt{a^2-z^2}] \)

 Esféricas:

\( x=\rho cos\theta sin \varphi \)
\( y=a+\rho sin \theta sin \varphi \)
\( z=\rho cos \varphi \)


 siendo los límites \( \varphi\in [-\pi/2,\pi/2],\quad \theta\in [0,\pi],\quad \rho\in [0,a] \)

Saludos.