Autor Tema: Suma de las medianas

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13 Abril, 2012, 10:02 am
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Michel

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Demostrar que la suma de las tres medianas de un triángulo es mayor que los tres cuartos del perímetro.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

05 Mayo, 2012, 11:22 am
Respuesta #1

Michel

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Sean AA', BB', CC' las medianas del triángulo ABC y G el baricentro.
En los triángulos BGC, CGA y AGB, por la desigualdad triangular:

BG+CG>BC,  CG+AG>AC,   AG+BG>AB

Sumando: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC     (1)

Por la propiedad del baricentro:

\( AG=\displaystyle\frac{2}{3}AA',  BG=\displaystyle\frac{2}{3}BB',  CG=\displaystyle\frac{2}{3}CC' \)

Sustituyendo en (1): \( \displaystyle\frac{4}{3}(AA'+BB'+CC')>AB+BC+AC \)

Finalmente: \( AA'+BB'+CC'>\displaystyle\frac{3}{4}(AB+BC+AC \)


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker