Autor Tema: Calcular una distancia.

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12 Abril, 2012, 04:45 am
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Tanius

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¡Hola!

Sea un triángulo \( ABC \), consideremos sus circunferencias inscrita y circunscrita. Sean \( O \) e \( I \) el circuncentro y el incentro, respectivamente. Sean \( R \) y \( r \) los radios de las circunferencias inscrita y circunscritas, respectivamente. Llamemos \( d \) a la distancia entre \( OI \). Demostrar que \( d^2=R^2-2rR \).


Lamento que aún no haya aprendido a usar Geogebra. Trataré de explicar cuál es la idea que habíamos pensado.

La ecuación \( d^2=R^2-2rR \) es equivalente a \( d^2+r^2=R^2-2rR+r^2 \), de donde \( R-r = \sqrt{d^2+r^2} \). Considero ahora el triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( d \) y \( r \) (es decir, sus vértices son O e I, y el otro vértice queda sobre la circunferencia inscrita). Si lograra demostrar que la hipotenusa de dicho triángulo es \( R-r \), habría terminado.

Gracias de antemano.

12 Abril, 2012, 10:05 am
Respuesta #1

Michel

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Hola Tanius.

¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Saludos
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

12 Abril, 2012, 11:05 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Tan sólo apuntar que el resultado que quiere probar Tanius se conoce usualmente como la Fórmula o el Teorema de Euler.

Saludos.

12 Abril, 2012, 03:41 pm
Respuesta #3

Tanius

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¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Quizá no me expliqué bien. Me fijo en el segmento \( OI \) que mide \( d \), ése ve a ser un hipotético cateto del triángulo, luego me fijo en otro cateto que forme 90 grados y cuya longitud es \( r \). El triángulo queda bien determinado por LAL, luego quería probar que la hipotenusa medía \( R-r \).

Bueno, con lo del el_manco me ha bastado, no imaginaba que su solución fuese "tan complicada". Supongo que lo que yo intenté no lleva a nada.

Gracias.