Una moneda sale cara con probabilidad \( p \). Sea \( X_{n} \) la variable aleatoria definida como la cantidad de tiradas que son necesarias para obtener una racha de \( n \) caras consecutivas. Probar que \( \mathbb{E}(X_{n})=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p^{k}} \).

¿Cuál sería el razonamiento para llegar a eso?
¿Cómo se puede resolver este problema usando propiedades de esperanza condicional?

Veamos.

Si consideramos la variable \( X_{n}|X_{n-1}=k \),es decir,si condicionamos a que son necesarias \( k \) tiradas para obtener una racha de \( n-1 \) caras consecutivas,¿Qué distribución tiene esta variable condicional?

Una vez que conocemos esa distribución,usamos que \( E(X_{n})=E(E(X_{n}|X_{n-1})) \) y aplicamos la hipótesis inductiva.

Hola

 Siguiendo la idea de numbsoul. Tenemos:

 \( P(X_n=k+1|X_{n-1}=k)=p \) (ya que si hemos necesitado \( k \) tiradas para obtener \( n-1 \) caras, para obtener \( n \) caras en \( k+1 \) tiradas necesitamos obtener una nueva cara).

 y para \( t\geq 2 \):

\(  P(X_n=k+t|X_{n-1}=k)=(1-p)P(X_n=t-1) \) (si la tirada \( k+1 \) fue cruz, para obtener \( n \) caras seguidas estas tienen que aparecer en las \( t-1 \) tiradas restantes).

 Por tanto:

\(  E(X_n|X_{n-1}=k)=(k+1)p+\displaystyle\sum_{t=2}^\infty{}(k+t)(1-p)P(X_n=t-1)= \)

\( =(k+1)p+(k+1)(1-p)\displaystyle\sum_{t=2}^\infty{}P(X_n=t-1)+ \)

\( +(1-p)\displaystyle\sum_{t=2}^\infty{}(t-1)P(X_n=t-1)= \)

\( =(k+1)p+(k+1)(1-p)+(1-p)E[X_n]=(k+1)+(1-p)E[X_n] \)

 De ahí:

\(  E[X_n]=E[E[X_n|X_{n-1}]=E[X_{n-1}+1+(1-p)E[X_n]] \)

 de donde:

\(  E[X_n]=\dfrac{1}{p}(E[X_{n-1}]+1) \)

 Comprueba que:

\( \mathbb{E}(X_{n})=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p^{k}} \)

 cumple esa relación recursiva.

 Además para \( n=1 \):

\(  E[X_1]=p\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}k(1-p)^{k-1}=\dfrac{1}{p} \)

Saludos.

P.D. HernanV no estoy seguro que distribución es \( Pa(n,p) \). La de Pascal que yo conozco es el número de intentos hasta la aparación del primer éxito y sólo depende de un parámetro. Corresponde a la \( X_1 \) del ejercicio de numbsoul.

P.D. HernanV no estoy seguro que distribución es \( Pa(n,p) \). La de Pascal que yo conozco es el número de intentos hasta la aparación del primer éxito y sólo depende de un parámetro. Corresponde a la \( X_1 \) del ejercicio de numbsoul.

Si mal no tengo entendido esa es una distribución Geométrica. La distribución de Pascal (creo que le llaman Binomial Negativa también) es la que mide el número de intentos hasta que ocurra el r-ésimo éxito y tiene por parámetros a r y la probabilidad p. Es por eso que me pareció que aplicaba en este caso.