Autor Tema: Isomorfo, espacio dual y álgebra tensorial

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28 Marzo, 2012, 05:22 am
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Hasclepio

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Hola!

Estoy estudiando el tema de los tensores desde un punto de vista más matemático que el que conozco, que es ingenieril (de componentes) y hay cosas que no comprendo y que lo veo muy abstracto.

Por ejemplo, me definen \( \mathbb{T}^1= \mathcal{L}(\mathbb{V};\mathbb{R})\equiv\mathbb{V}^{*}\approx\mathbb{V} \) (siendo V un espacio vectorial) es decir que los tensores de orden uno, que es el espacio dual del espacio vectorial V y que es isomorfo al propio V. Sé que existe ese isomorfismo y lo sé demostrar pero no entiendo qué se quiere decir (en el mundo real, físico e ingenieril) con isomorfismo

Creo que tiene que ver con que las componentes de esos vectores son las mismas y no hay diferencia entre tratar con un conjunto o su isomorfo al existir una biyección entre ambos, pero me resulta muy abstracto ¿por favor, me podríais echar una mano y explicarme para no "matemáticos" los fines de considerar el espacio isomorfo?

(He cursado álgebra lineal, cálculo en una y varias variables etcétera)

Muchas gracias

28 Marzo, 2012, 09:31 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 De manera intuitiva cuando dos conjuntos con una determinada estructura (grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, ...) son isomorfos se entiende que respecto a esa estructura tienen exactamente las mismas propiedades (las de grupo, anilllo, cuerpo, o espacio vectorial, en cada caso...).

 No estoy seguro de poder hacer una analogía de este concepto en un contexto de la realidad, que no sea abstracto.

 Lo interesante suele ser establecer isomorfismos entre espacios "poco conocidos" con espacios "bien conocidos", para aplicar el buen conocimiento de las propiedades en los segundos en los primeros.

 En tu caso, si tomas como \( V=R^3 \) una forma intuitiva de "visualizar" o interpretar, el isomorfismo de \( V \) con su dual es pensarlo en términos geométricos sobre el plano proyectivo \( P(V). \)

 La dualidad nos lleva puntos a rectas, de manera que cualquier propiedad relativa puntos tiene su inmediata traducción en rectas y vicecersa. Por ejemplo:

 todo par de rectas se corta en un punto \( \Leftrightarrow{} \) todo par de puntos genera una recta

Saludos.

28 Abril, 2012, 03:59 pm
Respuesta #2

Hasclepio

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Hola

Puff, esto me cuesta entenderlo. Por ejemplo pensándolo como \( \mathbb{R}^3 \) y su dual, al tomar una base los dos se pueden ver como conjuntos de "vectores" de tres componentes con las mismas operaciones importando menos su "naturaleza", entonces cualquier resultado en uno se puede llevar al otro, pero sigo sin entender bien porqué por ejemplo un tensor de orden 1 se le identifica con un vector, o más matemáticamente:

\( \mathbb{T}^1= \mathcal{L}(\mathbb{V};\mathbb{R})\equiv\mathbb{V}^{*}\approx\mathbb{V} \)

Es decir, realmente el isomorfismo y esa identificación lo que me transmiten es lo que puse en el primer párrafo, pero lo veo muy artificial :(

PD:  me encantaría que Carlos Ivorra me echara una mano, ya que he visto que ahora está en el foro y antes nunca lo vi; aprovecho para darle la bienvenida si me lee y que estoy muy contento de que esté por aquí dando su opinión, ayudando a los demás o hablando de matemáticas :)

28 Abril, 2012, 04:07 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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PD:  me encantaría que Carlos Ivorra me echara una mano, ya que he visto que ahora está en el foro y antes nunca lo vi; aprovecho para darle la bienvenida si me lee y que estoy muy contento de que esté por aquí dando su opinión, ayudando a los demás o hablando de matemáticas :)

Muchas gracias por la parte que me toca, pero si te está contestando el_manco y pides que intervenga yo sólo tiene una explicación, y es que no conoces mucho a el_manco, porque no encontrarás a nadie en este foro con conocimientos tan amplios, tanta paciencia como él para transmitirlos con tanto detalle y  tanta voluntad y dedicación para adaptarse todo lo posible al nivel e intereses de quien pregunta.

De todos modos, lo que sucede es que el isomorfismo que planteas puede ser ciertamente muy artificial en algunos contextos y muy natural en otros. Para darte una respuesta satisfactoria tendríamos que saber cuál es el contexto concreto en el que te han dado esa definición, es decir, te dan esa definición y luego ¿qué hacen con ella? ¿Para qué la usan?

28 Abril, 2012, 04:47 pm
Respuesta #4

Hasclepio

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Hola!

A El Manco lo considero mucho! :laugh: le tengo un gran aprecio por su altruismo y dedicación a este foro y de ningún modo pretendí "no considerar" (que espero que no haya parecido eso) su post, de  hecho me ha servido de mucho; me ha ayudado en muchas ocasiones. Y lo hago nuevamente si hace falta :)

En cuanto a ti, Carlos, simplemente me hace ilusión poder disponer de tus conocimientos en el este foro y aunque llevo tiempo aquí, varios años, no te había leído hasta ayer.

Muchas veces varios puntos de vista u otra persona ayuda a encajar mejor lo que se pregunta. Quiero dejar clara que esta ha sido mi intención.

Cita de: Carlos Ivorra
De todos modos, lo que sucede es que el isomorfismo que planteas puede ser ciertamente muy artificial en algunos contextos y muy natural en otros. Para darte una respuesta satisfactoria tendríamos que saber cuál es el contexto concreto en el que te han dado esa definición, es decir, te dan esa definición y luego ¿qué hacen con ella? ¿Para qué la usan?

Es prácticamente lo primero que se nos da cuando se nos introduce en el álgebra y cálculo tensorial. Es "la definición".

Se nos enuncia y después se pasa a definir el producto tensorial y de ahí, se nos imparte el punto de vista de los tensores como operador. Es decir: en tensor actúa sobre vectores. Los usos son de todo tipo, especialmente en mecánica del medio continuo (a la hora de definir la tensión) y demás. Pero el modo operacional lo entiendo, digamos que sé "operar" con ellos.

Pero yo lo que quiero es entender este tipo de identificaciones (dual, bidual...) para poder seguir yo solo estudiando lo que ya no me explican. En resumen y concretando, el contexto es la base matemática para después estudiar sólido elástico, mecánica de medios continuos, mecánica de fluidos...

La definición es: Conviniendo que \( \mathbb{T}^0= \mathbb{R} \) se definen inductivamente los conjuntos de tensores de orden  p (de orden mayor o igual que uno) como \( \mathbb{T}^p= \mathcal{L}(\mathbb{V};\mathbb{T}^{p-1})=\{T:\mathbb{V}\Rightarrow\mathbb{T}^{p-1} \quad \text{tal que}\; T \; \text{es operador lineal}\} \)

Y se luego se nos da algunos ejemplos, como el que puse antes, usando el isomorfismo para decir que los tensores de primer orden son los que producen escalares, los de segundo orden vectores (que es lo que escribí en el anterior mensaje) y así sucesivamente (por inducción).

Después nos dan algunos ejemplos, como el tensor proyección escalar, que es un tensor de primer orden ya que dado un vector le asigna un escalar: su proyección. Es decir, dado \( \mathbf{v} \) y estando definido el tensor proyección por el versor \( \hat{e} \) sería la aplicación \( \mathbf{v}\mapsto \hat{e} \cdot \mathbf{v} \) y el tensor \( \hat{e} \cdot \in \mathbb{T}^1 \)

Y ¿para qué lo usan? pues en principio para introducir el concepto de tensor como un operador.

A mí lo que me interesa aprender es "la identificación" que se hace, es decir: "pasar" de una aplicación multilineal  a un vector, identificarlo más bien. No entiendo bien lo que se hace, sé operar con ellos y demás, pero quisiera entender más profundamente esto (o directamente entenderlo)

Saludos


28 Abril, 2012, 09:00 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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A El Manco lo considero mucho! :laugh: le tengo un gran aprecio por su altruismo y dedicación a este foro y de ningún modo pretendí "no considerar" (que espero que no haya parecido eso) su post, de  hecho me ha servido de mucho; me ha ayudado en muchas ocasiones. Y lo hago nuevamente si hace falta :)

No creo que nadie haya interpretado mal tus palabras, pero no podía meter baza yo aquí sin dejar eso claro por delante.

En cuanto a ti, Carlos, simplemente me hace ilusión poder disponer de tus conocimientos en el este foro y aunque llevo tiempo aquí, varios años, no te había leído hasta ayer.

Gracias de nuevo por tu amabilidad.

Es prácticamente lo primero que se nos da cuando se nos introduce en el álgebra y cálculo tensorial. Es "la definición".

Se nos enuncia y después se pasa a definir el producto tensorial y de ahí, se nos imparte el punto de vista de los tensores como operador. Es decir: en tensor actúa sobre vectores. Los usos son de todo tipo, especialmente en mecánica del medio continuo (a la hora de definir la tensión) y demás. Pero el modo operacional lo entiendo, digamos que sé "operar" con ellos.

Pero yo lo que quiero es entender este tipo de identificaciones (dual, bidual...) para poder seguir yo solo estudiando lo que ya no me explican. En resumen y concretando, el contexto es la base matemática para después estudiar sólido elástico, mecánica de medios continuos, mecánica de fluidos...

Ya veo por dónde vas. Es un tema delicado y lleno de sutilezas. De hecho, debo empezar confesando que yo nunca me he metido a fondo con ellas y, aunque tengo una idea superficial de su naturaleza, nunca me he parado a estudiar la relación entre el uso informal de los tensores que tradicionalmente vienen haciendo los físicos y su formalización en los términos que describes. Quizá otros te puedan dar respuestas más concretas. Yo sólo sabría explicarte las ideas de fondo a grandes rasgos:

Como te decía, los físicos han venido usando desde hace mucho los conceptos de escalar, vector y tensor de un modo bastante informal, para después pasar a una semiformalización en la que estos objetos se "medio-definían" en función del modo en que se transformaban al cambiar de sistema de referencia. Lo primero que hay que advertir es que los conceptos de "escalar", "vector" y "tensor" en el sentido en que lo usan los físicos no se corresponde exactamente con el usual en matemáticas, y creo que pensar lo contrario es la primera dificultad a la hora de entender a un físico.

Por ejemplo, para un matemático un "escalar" es simplemente un elemento del cuerpo de los espacios vectoriales sobre los que está trabajando o, en un contexto más particular, un escalar es un número real.

Sin embargo, para un físico un "escalar" propiamente dicho es un escalar invariante ante cambios de sistema de referencia. Por ejemplo (y siempre me refiero a la mecánica clásica) la masa de un objeto es un escalar, porque la mida quien la mida, en una posición o en otra, en reposo o en movimiento, el valor de la masa siempre será el mismo.

Por el contrario, "la primera coordenada de la velocidad de un móvil respecto de un sistema de referencia", que un matemático llamaría "escalar" con toda la tranquilidad del mundo (y, más en general, diría que las coordenadas de cualquier vector son tres escalares), para un físico no es un escalar, porque, por ejemplo, respecto de un sistema de referencia puede ser cero y respecto de otro no.

Por el contrario, un físico dirá que las tres coordenadas de la velocidad de un móvil respecto de un sistema de referencia son tres números (no escalares) que conjuntamente forman un vector. Y para un físico un vector no es un "elemento de un espacio vectorial", como para un matemático, y ni siquiera un elemento de \( \mathbb{R}^3 \) (es decir, tres números ordenados), sino que un vector es una magnitud física expresada mediante tres números de modo que si comparamos su expresión en dos sistemas de referencia distintos vemos que están relacionados mediante una determinada fórmula (que, cuando ambos sistemas de referencia están en reposo mutuo se reduce a la fórmula usual de cambio de sistema de referencia afín).

Así, por ejemplo, la velocidad es un vector, porque el vector de velocidad de un móvil puede ser \( (2, 0, 0) \) respecto de un sistema de referencia y \( (\sqrt 2,\sqrt 2, 0) \) respecto de otro, pero una expresión puede deducirse de la otra si se conoce la situación de un sistema de referencia respecto del otro.

Este concepto de vector de los físicos es más sutil que el de los matemáticos, pues, por ejemplo, les permite distinguir entre "vectores" y "pseudovectores", según que la expresión de un vector en un sistema de referencia dependa o no de su orientación. Por ejemplo, la velocidad es un vector, mientras que la velocidad angular es un pseudovector, porque si, por ejemplo, expresas la velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol respecto a un cierto sistema de referencia, será seguo un vector perpendicular al plano de su órbita, pero si, por ejemplo, resulta apuntar hacia una determinada estrella, por el mero hecho de cambiar de sistema de referencia a otro orientado al revés, no sólo obtendrás otro vector con otras coordenadas, sino que si lo representas en el espacio será un vector que apuntará hacia la estrella situada en el punto opuesto de la esfera celeste, es decir, que el cambio de sistema de referencia no sólo te modifica las coordenadas pero de modo que las nuevas representan "la misma flecha" desde otro punto de vista, sino que te cambia la flecha por su opuesta.

Igualmente, los tensores son grupos de coordenadas que pueden clasificarse según la forma en que se transforman, y eso permite distinguir entre vectores "covariantes" en ciertas coordenadas y "contravariantes" en otras.

La definición general de tensor que te han dado pretende formalizar estas semi-definiciones, es decir, construir unos objetos matemáticos concretos que se comporten según las reglas que los físicos atribuyen a los escalares, a los vectores y a los tensores. Y si te parece artificial es porque lo que pretenden describir es muy sutil y no es fácil hacerlo sin caer en incoherencias.

Por desgracia, como te digo, nunca he estudiado esto a fondo, y no sabría ponerte ejemplos concretos o analizarlos para mostrarte que las cosas son como te digo, pero, hasta donde yo he tocado el tema, creo que el asunto va por ahí.

También te digo que es posible estudiar hasta cierto nivel la mecánica de fluidos, etc. partiendo de aproximaciones "burdas" como que "los escalares son números, los vectores son ternas de números, los tensores de orden dos son matrices \( 3\times 3 \) y poco más, de modo que sólo una mente muy perspicaz se da cuenta realmente de que ahí hay algunas sutilezas de fondo que deberían precisarse. Por supuesto que haces bien tratando de llegar hasta el fondo, pero creo que yo no podría ayudarte mucho en ello.

Como digo, tal vez algún otro usuario pueda darte respuestas más concretas, porque supongo que la mía al fin y al cabo no te ayudará en mucho.

28 Abril, 2012, 10:21 pm
Respuesta #6

Hasclepio

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Hola Carlos,

En primer muchas gracias por tus respuestas. Hay muchas cosas que escribes con las que me siento identificado, como los métodos heurísticos usados para "trivializar" conceptos matemáticos que requerirían un bagaje mucho mayor (o al menos un primer ciclo de licenciatura de matemáticas).

Lo del pseudovector es así, pero en álgebra tensorial se formaliza (y eso que comentas sí llegué a entenderlo).

Por ejemplo, cuando en mecánica del sólido rígido (clásica también, sin correcciones relativistas) se establecen las ecuaciones que relacionan sistemas de referencia entra (y muy fuerte) el tema el famoso pseudovector omega. En la  mayoría de libros informales y más bien ingenieriles y poco rigurosos no se explica qué es eso.

Sin embargo, en el álgebra tensorial se da una explicación inmediata: se parte se dos sistemas de referencia, con el espacio afín euclídeo y se usan matrices de rotación, giros y traslaciones. Entonces, llega un momento en que aparece una aplicación antisimétrica y ahí se introduce el vector omega, asociado a la rotación (porque procede de este tipo de matrices) y se forma su dual, que en la práctica simplemente identifica las tres cantidades que aparecen en la matriz antisimétrica y se forma el vector omega usando el producto vectorial.

Vamos, que sería una representación más "amigable" de un tensor antisimétrico. Yo esto sí lo he leído en tratados de matemáticas, de álgebra multilineal  :)

Lo del escalar tienes toda la razón. Pero también ten en cuenta que muchas veces es abuso del lenguaje (que yo odio que lo hagan), cosas como plantar dos triadas de números respectivamente entre paréntesis y llamarlas vectores al referirse a sus coordenadas, y claro, a lo mejor representan el mismo vector en distintas bases. Así que comprendo lo que quieres decir!

De todos modos, en cursos posteriores de estas carreras se intenta (poco, pero bueno) formalizarlo.

A mí el punto de vista de los tensores como cantidad que se transforma de determinada forma respecto a cambios de coordenadas no me gusta, precisamente lo veo muy físico (este es el punto de vista en componentes). El que escribí de arriba es el que está "libre" de coordenadas (que yo lo veo más fácil) pero claro, la contrapartida para mí es que es más matemático y ahí hay veces, como ahora, que me atasco en estas cosas al no estar acostumbrado a tratarlas.

Me ha servido mucho tu respuesta, y me has hecho pensar con lo de escalar. Estas cosas las agradezco mucho porque me suelen ayudar a encajar cosas que antes las tenía por ahí descabaladas o que no cuajaban y eran por no ir de la mano de las matemáticas y sí de lo heurístico.

No obstante, me siento algo incomprendido. Yo más bien que proponer el tema de álgebra tensorial y todo este asunto, lo que quería era que personas con fuerte formación matemática me transmitieran mejor (del que aparece en los libros y me han explicado) este tipo de identificaciones entre espacios espacios. Sé lo que es un isomorfismo, lo estudié (y aprobé :)) y demás, pero sigo sin comprender cómo funciona o cómo se sirven estas disciplinas de este concepto para explicar otros. Es complicado transmitir lo que exactamente quiero saber (lo mismo es que lo que pregunto no tiene sentido en las matemáticas al yo estar acostumbrado a pensar en lo tangible y real).

Exactamente es cuando se escribe: este espacio (por el tema del isomorfismo) se identifica con este "otro", y punto.

Lo que yo he entendido de esto, leyéndoos a vosotros es que es una identificación en cuanto al "trato que se hace" con los elementos de ambos espacios (pero no representan lo mismo). Es decir: que si tengo una base (fija) en un espacio y tengo el espacio dual, en ambos tengo n-uplas de cantidades (suponiendo un k-espacio vectorial de dimensión n finita) y como las operaciones son las mismas pues me es indiferente tratar con uno u otro.

¿Esto es todo el asunto? ¿o es algo más? (Perdón por ser tan insistente, pero no sé, es un foro y espero no molestar a nadie, simplemente quiero aprenderlo)

Muchísimas gracias

29 Abril, 2012, 12:56 am
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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A mí el punto de vista de los tensores como cantidad que se transforma de determinada forma respecto a cambios de coordenadas no me gusta, precisamente lo veo muy físico (este es el punto de vista en componentes). El que escribí de arriba es el que está "libre" de coordenadas (que yo lo veo más fácil) pero claro, la contrapartida para mí es que es más matemático y ahí hay veces, como ahora, que me atasco en estas cosas al no estar acostumbrado a tratarlas.

Exacto, es que ese punto de vista no es matemáticamente satisfactorio, y de ahí que se formalicen los tensores como aplicaciones multilineales, y en el proceso aparezcan los isomorfismos por los que te interesas.

No obstante, me siento algo incomprendido. Yo más bien que proponer el tema de álgebra tensorial y todo este asunto, lo que quería era que personas con fuerte formación matemática me transmitieran mejor (del que aparece en los libros y me han explicado) este tipo de identificaciones entre espacios espacios. Sé lo que es un isomorfismo, lo estudié (y aprobé :)) y demás, pero sigo sin comprender cómo funciona o cómo se sirven estas disciplinas de este concepto para explicar otros. Es complicado transmitir lo que exactamente quiero saber (lo mismo es que lo que pregunto no tiene sentido en las matemáticas al yo estar acostumbrado a pensar en lo tangible y real).

No lo creo. Lo que preguntas tiene pleno sentido. Y te podría poner ejemplos ilustrativos de isomorfismos, pero tal vez sería más práctico si en lugar de elegir yo mismo el que me parezca más oportuno, pudieras proponer tú algún ejemplo concreto que te hayas topado y no acabes de verle todos los tornillos.

Exactamente es cuando se escribe: este espacio (por el tema del isomorfismo) se identifica con este "otro", y punto.

Lo que yo he entendido de esto, leyéndoos a vosotros es que es una identificación en cuanto al "trato que se hace" con los elementos de ambos espacios (pero no representan lo mismo). Es decir: que si tengo una base (fija) en un espacio y tengo el espacio dual, en ambos tengo n-uplas de cantidades (suponiendo un k-espacio vectorial de dimensión n finita) y como las operaciones son las mismas pues me es indiferente tratar con uno u otro.

Ésa es la idea esencialmente, y está muy bien expresada.

¿Esto es todo el asunto? ¿o es algo más?

Pues yo diría que eso es lo esencial del asunto, pero, por lo que preguntas, falta convencerte de que reconocer que dos estructuras son isomorfas con la oportunidad de sustituir una por otra en el momento oportuno es algo muy útil y práctico. Sigo pensando que sería interesante que propusieras tú algún ejemplo a analizar, pero de momento se me ocurre éste:

Pareces tener bien asimilado que la definición de tensores como aplicaciones multilineales es útil porque sustituye la semi-definición en términos de "cantidades que se transforman de tal forma", pero eso convierte a los tensores en objetos más abstractos de lo que eran "antes", y es necesario justificar que con la definición "nueva" estamos hablando esencialmente de lo mismo que antes. Así, un físico entiende que un vector es una terna de números \( (x, y, z) \), pero no así sin más, sino sujeta a unas relaciones entre sistemas de coordenadas que difícilmente se pueden entender como una "propiedad atribuible a una terna de números". Desde el punto de vista del álgebra lineal, un vector pasa a ser un elemento de \( \mathbb{R}^{3*} \), ¿por qué de \( \mathbb{R}^{3*} \) y no de \( \mathbb{R}^{3} \)? Porque sólo como elemento de \( \mathbb{R}^{3*} \) puede verse como un caso particular de la definición general de tensor, pero a la hora de justificar que los "vectores" en este sentido acaban siendo lo mismo que los vectores de los físicos, es necesario observar que cada elemento de \( \mathbb{R}^{3*} \) puede identificarse con un elemento de \( \mathbb{R}^{3} \) a través de un isomorfismo.

Tú dices que esto es artificial. ¿Por qué? ¿No es elegante tener una definición general de tensor que, en un caso particular, recoge la noción de vector de los físicos a través de un isomorfismo definido de forma natural?

No sé si te voy a liar con lo que voy a decir ahora, pero a la larga es importante. En realidad, la definición general de tensor está pensada para aplicarla, no a \( \mathbb{R}^{n} \), sino a variedades diferenciales, que tienen asociado un espacio vectorial distinto (un espacio tangente) en cada punto, de modo que los tensores generales son de hecho aplicaciones que a cada punto le asignan un tensor del espacio tangente en dicho punto, es decir, un poco más sofisticados que los que has definido antes, y ahí es donde tienen pleno sentido las transformaciones de coordenadas que los físicos usan para semi-definir los tensores.

(Perdón por ser tan insistente, pero no sé, es un foro y espero no molestar a nadie, simplemente quiero aprenderlo)

Si hay algún sitio donde están fuera de lugar las excusas por preguntar es en este foro.

Se me ocurre otro ejemplo que tal vez te sea ilustrativo:

Imagina una esfera. En cada punto del a esfera puedes considerar su plano tangente. Para cada punto, el plano es distinto. Si identificas cada plano tangente con los vectores que contiene (los vectores que unen el punto de tangencia con otro punto cualquiera), tienes distintos espacios vectoriales. Por ejemplo, si la esfera tiene centro 0 y radio 1, el plano tangente en el polo norte estará formado por los vectores \( (x,y,z) \) que cumplen \( z=0 \), mientras que uno de los planos ecuatoriales podría ser el formado por los vectores \( (x,y,z) \) tales que \( x=-y \). Tienes infinitos planos distintos, infinitos espacios vectoriales, pero todos ellos son "isomorfos", al final, sus propiedades son las mismas que las de \( \mathbb{R}^{2} \). La existencia de un isomorfismo te permite trasladar a uno cualquiera de ellos las propiedades que conoces para el espacio vectorial \( \mathbb{R}^{2} \).

Posiblemente este ejemplo te resulte "natural", mientras que otros te resulten "artificiales". Si es así, tal vez tu problema no tenga que ver con el concepto general de "isomorfismo", sino con algunos isomorfismos que te parecen artificiales. Tú dirás si es el caso. Y si es así, sigo invitándote a que presentes isomorfismos "artificiales".