Autor Tema: Notación indicial y símbolo de Levi Civita

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18 Marzo, 2012, 01:59 am
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Hasclepio

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Hola!

Estoy estudiando mecánica de fluidos y están usando notación tensorial por todos lados y hay cosas que me cuesta entenderlas. Por ejemplo al construir el vector dual de tensor de giros tengo la siguiente relación (vamos, es irrelevante lo que sea, simplemente es aplicar notación indical y propiedades; no hay diferencia entre super y subíndices al ser cartesianos).
\( \begin{LARGE}\Omega_k=\dfrac{1}{2} \epsilon_{kij} \omega_{ij}\Leftrightarrow \omega_{ij}= \epsilon_{ijk}\Omega_k\end{LARGE} \)

La letra epsilon representa el símbolo de Levi Civita. Lo demás son componentes de tensores.

La duda que tengo es cómo pasa de la primera igualdad a la segunda. He estado leyendo por la wiki propiedades del símbolo de Levi Civita pero no logro hacerlo bien, es una chorrada, pero por favor si alguien lo sabe se lo agradecería. Muchas gracias!

18 Marzo, 2012, 02:58 am
Respuesta #1

Alpha Floor

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Aprobé mecánica de fluidos hace muy poco y todavía me acuerdo bien del tema del análisis del campo de velocidades en el entorno de un punto. Es un tema conceptualmente importante, pues viene a decir que en el movimiento de un fluido equivale al movimiento de un sólido rígido al que le añadimos la distorsión angular.

Yo con la notación indicial lo que hago es matar moscas a cañonazos. En vez de intentar usar las propiedades indiciales, lo que hago es desarrollar las expresiones, operar y volver a pasar a notación indicial (vamos, lo que se dice "dar un buen rodeo", jejeje). Los fluidos ya son suficientemente complicados de por sí como para andar complicandose la vida más aún con la dichosa notación indicial, que por otra parte, a menos que vayas a dedicarte muy en serio a la mecánica del medio contínuo no creo que merezca la pena dedicarle mucho tiempo.

Por cierto, si \( \Omega_k \) representa el vector velocidad angular, entonces \( \omega_{ij} \) representa el tensor de rotación, que es antisimétrico, sólo que en mi escuela los llamamos al revés (la omega mayúscula para el tensor y la minúscula para el vector)
A algunos siempre les quedará París y a nosotros... ¡siempre nos quedarán los desarrollos en serie!

18 Marzo, 2012, 06:26 am
Respuesta #2

Hasclepio

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Sí, lo que dices de las omegas es así. Básicamente se hace porque al ser la omega pequeña las componentes de un tensor antisimétrico lo puedes caracterizar (en el espacio) por tres cantidades. Entonces se forma el vector dual del tensor de giros.

También se hace en mecánica para definir la velocidad angular en un sólido rígido :)

Por cierto, ya está resuelto lo que pregunto. Era hacer la contración en un índice y después aplicar la propiedad

\( \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} \)

Saludos!