[Cristian C]

La hipótesis del continuo (HC) afirma que no existe ningún conjunto infinito cuyo cardinal sea mayor que el de \( \mathbb{N} \) y menor que el de partes de \( \mathbb{N} \)

Como sabemos, HC es indecidible en ZFC, esto es, ni HC ni ¬HC son demostrables en ZFC. Podemos entonces incorporar HC a los axiomas de ZFC y tener una teoría de conjuntos con hipótesis del  continuo o bien agregar ¬HC y tener otra con su negación.  Pero yo me he quedado en ZFC sin agregar ninguna de las dos para revisar que consecuencias tiene allí la indecisión al respecto.

Lo primero que observo es que la existencia de fórmulas indecidibles habilita la existencia de términos indecidibles. Por ejemplo este:

\( A=\left\{{X\subset P(\mathbb{N})}:\textrm{no existe ninguna sobreyeccion de }\mathbb{N}\textrm{ en X y ninguna sobreyeccion de X en }P(\mathbb{N}) }\right\} \)

Siguiendo los axiomas de ZFC, puede probarse que A es un conjunto. Si aceptamos HC, A es vacío, y si aceptamos ¬HC, A no lo es. Si nos quedamos en ZFC sin  incorporar ni HC ni ¬HC, la vacuidad o no vacuidad de A queda indecidida. La fórmula \( x\in{A} \) es indecidible.

La existencia de conjuntos indecidibles me resulta curiosa, y un tanto peligrosa si tenemos en cuenta que aunque sean indecidibles, podemos demostrar algunas cosas acerca de ellos.

Por ejemplo, \( A\in{P(P(P(\mathbb{N}))) \)

Esto es fácil de ver.

Spoiler

Si anotamos

\( Q[X]\equiv{\textrm{no existe ninguna sobreyeccion de }\mathbb{N}\textrm{ en X y ninguna sobreyeccion de X en }P(\mathbb{N}) }} \)

Tenemos que

\( A=\left\{{X:X\in{P(P(\mathbb{N}))}\wedge Q[X]\right\} \)

Entonces

Si \( Y\in{A} \), \( Y\in{P(P(\mathbb{N}))}\wedge Q[X] \), entonces \( Y\in{P(P(\mathbb{N}))} \)

Por lo tanto

\( A\subset{P(P(\mathbb{N})) \)

y equivalentemente

\( A\in{P(P(P(\mathbb{N}))) \)

[cerrar]

Pero decir que A es indecidible y pertenece a \( P(P(P(\mathbb{N}))) \) ¿equivale a decir que \( P(P(P(\mathbb{N}))) \) tiene elementos indecidibles en ZFC?

Por ahora paro aquí para ver si hay interés o críticas.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Bueno, es razonable que te parezca curioso, aunque no veo nada que justifique lo de "peligroso".

Por otra parte, aunque lo que dices es esencialmente cierto, creo que tendrías problemas a la hora de precisarlo, concretamente a la hora de explicar qué entiendes exactamente por "elemento indecidible". Decir que "un conjunto es indecidible si no se puede demostrar si es o no vacío" no es una definición aceptable en ZFC. A lo sumo podrías decir que un término del lenguaje de ZFC es indecidible si no puede demostrarse en ZFC si es o no vacío, pero entonces no has definido "conjunto indecidible", sino "término indecidible", donde un término no es un conjunto, sino una sucesión de signos del lenguaje metamatemático de ZFC. Por lo tanto, la afirmación "\( \mathcal P\mathcal P\mathcal P\mathbb{N} \) contiene elementos indecidibles" no tendría sentido. A lo sumo podrías decir que existe un término indecidible \( t \) tal que se puede probar que \( t\in \mathcal P\mathcal P\mathcal P\mathbb{N} \).

Insisto en que estas precisiones no significan que lo que estás diciendo carezca de sentido o sea una tontería, ni mucho menos. Al contrario, simplemente estamos con la historia de siempre: ZFC evita los peligros "potenciales" gracias a que determinadas nociones "peligrosas" no pueden expresarse en su lenguaje, como "ser definible en menos de tantas palabras", etc.

[Cristian C]

Hola Carlos. Dices:

Bueno, es razonable que te parezca curioso, aunque no veo nada que justifique lo de "peligroso".

En efecto, "peligroso" podría interpretarse como "riesgo de inconsistencia" y lo que quiero decir es más bien algo del tipo "algo huele raro aquí". Claro, el mal olor es muy difícil de argumentar con palabras pero haré el intento para que se puedan formar una idea de lo que veo. Una cosa aclaro de antemano: No afirmo que la presencia de enunciados indecidibles ocasione riesgo de inconsistencias dentro de ZFC.

Uno puede hablar acerca de ZFC en un metalenguaje y sin embargo decir cosas precisas y bien definidas.

Por ejemplo, podemos decir "tal cadena es un término" o "tal cadena es una fórmula" "o tal cadena tiene una variable libre y otra ligada" o "tal fórmula es un teorema" o "tal secuencia de fórmulas es una demostración". Todas estas cosas acerca de ZFC se pueden precisar en un metalenguaje y ninguna de ellas está expresada dentro de ZFC, porque el lenguaje de ZFC está hecho de cadenas de símbolos, pero no puede hablar de ellas. Habla, en cambio, de conjuntos, de pertenencia, de funciones o de nada en absoluto si así lo deseamos.

Otras afirmaciones acerca de ZFC, más complejas, son: "tal cadena es demostrable" (existe una demostración que la tiene como último elemento) o "tal cadena es indemostrable" (no existe ninguna demostración que la tiene por último elemento) o "tal cadena es indecidible" (es indemostrable, y la cadena que resulta de anteponerle un signo "¬" también es indemostrable). Y otras afirmaciones, más sonsas, acerca de ZFC podrían ser las del tipo "tal cadena comienza con \( \rightarrow{} \) o "tal cadena tiene 17 signos"

Uno podría pensar que una demostración dentro de ZFC debería ser facilmente transformada en una secuencia de afirmaciones acerca de ZFC simplemente relatando las cosas que ocurren con los signos con que anotamos aquella.

Por ejemplo de este modo (p y q representan enunciados concretos de ZFC):

Demostración dentro de ZFC

"Por el teorema de Petusio, sabemos que \( p\rightarrow{q} \) y por el lema de Pototo, sabemos que \( p \). Entonces \( q \)"

Lo mismo, hablando acerca de ZFC se anotaría

La secuencia de cadenas

"\( p\rightarrow{p} \)"
"p"
"q"

Es una demostración, porque la primera y la segunda son teoremas y la tercera resulta de aplicar una regla de inferencia a las dos primeras. Entonces la cadena "q" es un teorema porque es la última cadena de una demostración.

Uno podría pensar que esta transformación de una demostración en ZFC en una descripción de lo que ocurre con las cadenas siempre puede hacerse y que siempre resultará que si la prueba en ZFC concluye p entonces la cadena "p" es un teorema. Pero esto no es exactamente así, porque existe una diferencia sutil entre la lógica del metalenguaje y la lógica dentro de ZFC.

...Je je je. Acabo de darme cuenta cuál es mi problema. No borro lo anterior porque los ha puesto en tema.

Al enunciado metamatematico "la cadena p es un teorema" lo anoto así T[p] (es una simple abreviación en el meta lenguaje)

T[¬p] significa "la cadena ¬p es un teorema"
no T[p] significa "la cadena p no es un teorema"

Cuando p es una cadena decidible, T[¬p] significa lo mismo que no T[p]

Cuando p es una cadena indecidible, T[¬p] y no T[p] dicen cosas distintas.

En el primer caso es fácil de ver: si ¬p es un teorema y p es decidible (demostrable o refutable) entonces p no es un teorema

En el segundo caso... también es facil de ver. Si p es indecidible, "¬p es un teorema" es falso y "p no es un teorema" es verdadero. Entonces no pueden significar lo mismo.

Por supuesto, esto no es un problema sino solo una curiosidad... que a mi, personalmente, puede olerme mal 

Veamos qué ocurre cuando agregamos a la mezcla los otros conectores lógicos.

\( T[p\vee q] \) no siempre significa lo mismo que  T[p] o T[q]. Si q es igual a ¬p y p es indecidible, nos queda
\( T[p\vee ¬p] \) que es verdad, porque en efecto\(  p\vee ¬p \) es un teorema aún en el caso de que p sea indecidible, en cambio, T[p] o T[¬p] es falso porque si p es indecidible no es cierto que p sea un teorema o ¬p sea un teorema. De hecho, ni p ni ¬p lo son.

Por último,

\( T[p\wedge p] \)  es verdad si p es un teorema y es falso si ¬p es un teorema o si p es indecidible, y lo mismo ocurre con  T[p] y T[p], de modo que aquí no hay diferencias.


Bien, en resumen: Yo pensaba que

\( T[¬p] \Longleftrightarrow{\textsf{no }T[p]} \)
\( T[p\vee ¬p]\Longleftrightarrow{T[p] \textsf{o }T[¬p]} \)
\( T[p\wedge ¬p]\Longleftrightarrow{T[p] \textsf{y }T[¬p]} \)

(Donde la doble flecha significa "afirmaciones equivalentes del metalenguaje")
Pero esto no siempre es así, cuando las cadenas son indecidibles, hay que tener cuidado.

El hecho de que T no sea un morfismo me dice que las reglas lógicas no son iguales dentro y fuera de ZFC, lo cual es esperable dado que en ZFC se trata a los enunciados como objetos biestables (\( p\vee ¬p \) es casi un axioma lógico dentro de ZFC); en tanto que fuera de ZFC, en el metalenguaje, las cadenas son triestables: Demostrables, refutables o indecidibles. La lógica no puede ser la misma.

Saludos ¡Y perdón por el desorden, Carlos!

[Carlos Ivorra]

Hola, Cristian C.

Estoy de acuerdo con todo lo que dices y no se me ocurre nada que pudiera matizar.

Saludos.

Carlos

[Cristian C]

Hola Carlos.

A mi si se me ocurre una matización.

Sabemos que podemos tratar a ZFC y cualquier otra teoría axiomática como un simple juego donde de unas cadenas expresivas se puede pasar a otras siguiendo ciertas reglas. Allí, los signos no designan ninguna idea. Allí no hay relación de pertenencia ni conjuntos ni... conectores lógicos. En esta visión sintáctica del ZFC, no es cierto que ¬ sea "no es cierto que" ni que \( \wedge \) sea la conjunción lógica "y" ni que \( \vee \) sea el disyuntor "o", etc. Todos son signos que no refieren ideas.

Pero también es cierto que nadie en su sano juicio podría recorrer los meandros de la matemática si los signos que utiliza no designaran ideas. Por lo demás, un signo que no designa nada... es un objeto que niega su razón de ser. Además, no es posible dar con un axiomas que cumplan la recomendación de ser evidentes para todo el mundo si no interpretamos los signos. Las teorías axiomáticas nacen interpretadas de algún modo, y luego, si se quiere, se desinterpretan para exhibir su mero esqueleto sintáctico.

Por esta razón, solemos "interpretar" la teoría asignándole significado a sus constantes, lo que alcanza para asignarle algo parecido a un significado, a todo lo demás a partir de allí.
Entonces, \( x\in{Y} \) designa la idea "el elemento x pertenece al conjunto Y", lo que a su vez se puede reconocer intuitivamente en algunos casos, como por ejemplo cuando Y es una colección finita de objetos y x es uno de ellos.
Sabemos que la teoría interpretada nos lleva también a ideas no intuitivas, como por ejemplo, la idea de infinito no numerable. Pero en la teoría interpretada, todos los objetos expresivos del lenguaje representan alguna idea, aunque en algunos casos ésta no sea intuitiva. (Una cosa es que los signos representen una idea no intuitiva y otra distinta es que no representen ninguna idea. En el primer caso yo puedo reconocer que la idea no es intuitiva; en el segundo no puedo reconocer nada en absoluto.)

Pero además de asignarle significado a las constantes de una teoría, la interpretación le asigna a estos signos: ¬, \( \wedge \), \( \vee \) el significado de los conectores lógicos "no es cierto que", "y" y "o" que utilizamos en lógica entre afirmaciones cualesquiera. Y lo hace precisamente al elegir los axiomas de su sistema deductivo formal.

Una de las cosas que quedan adheridas a las fórmulas de manera subrepticia mediante la elección de un sistema deductivo formal como \( K_L \) es su carácter biestable. Pero este carácter es un tanto borroso, porque dentro del sistema podemos expresar algo equivalente a lo que interpretaríamos como "o bien p es verdadera o bien p es falsa" mediante un principio básico del sistema deductivo formal (axioma o teorema, eso es arbitrario) como p\( \vee \)¬p. En efecto, si p es una sentencia, p\( \vee \)¬p es una sentencia y lo que afirma cuando la interpretamos, es una idea expresable dentro del sistema: "o bien p es verdadera o bien es falsa". Sin embargo, lo que interpretaríamos por "p es verdadera" no es expresable dentro del sistema. La afirmación "p es verdadera" solo es expresable en el metalenguaje. En efecto, en la teoría interpretada, una sentencia p refiere una afirmación verdadera cuando es demostrable. Pero este hecho, p es demostrable, no es expresable dentro del sistema formal.

Pasemos en limpio:
La afirmación "o bien p es verdadero o bien p es falso" es expresable dentro del sistema interpretado
La afirmación "p es verdadero" no es expresable dentro del sistema interpretado. Solo puede expresarse en el metalenguaje.


Todo esto parecería una estupidez si  no fuera por un detalle: en el metalenguaje, las sentencias no son biestables. Allí, las sentencias pueden ser demostrables, refutables o indecidibles (estamos hablando de sistemas axiomáticos que incluyen la aritmética)

La pregunta es, entonces ¿Por qué elegimos un sistema deductivo formal biestable para una teoría que incluye la aritmética, si sabemos de antemano que allí las sentencias son triestables?
Por qué elegimos como axioma lógico p\( \vee \)¬p, si éste, interpretado, no solo no es evidente sino que además es falso, verificándose, en cambio algo del tipo "o p, o no p o ninguna de las dos cosas".

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Hola, Cristian.

Estoy de acuerdo con todo lo que dices hasta que formulas la pregunta:

La pregunta es, entonces ¿Por qué elegimos un sistema deductivo formal biestable para una teoría que incluye la aritmética, si sabemos de antemano que allí las sentencias son triestables?
Por qué elegimos como axioma lógico p\( \vee \)¬p, si éste, interpretado, no solo no es evidente sino que además es falso, verificándose, en cambio algo del tipo "o p, o no p o ninguna de las dos cosas".

Yo creo que has marcado muy bien las diferencias entre "p es verdadera" y "p es demostrable" hasta el momento en que las mezclas en tu pregunta. Ciertamente, puede ocurrir que no se pueda demostrar p ni no p, pero equiparar eso a que ni p ni no p es verdadera es, a mi juicio, una petición de principio filosófica. Trataré de poner un ejemplo lo más terrenal posible:

Imagina que alguien te presenta una demostración de la conjetura de Goldbach bajo la hipótesis de que la hipótesis de Riemann es cierta, y tú la examinas y coincides (con toda la comunidad matemática) en que la prueba es totalmente rigurosa según los estándares más rigurosos.

Por otra parte, otro matemático presenta otra prueba igualmente rigurosa, que no se parece en nada a la anterior, y que demuestra la conjetura de Goldbach bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es falsa.

La pregunta que te hago es : ¿consideras que tendrías motivos para cuestionar que la conjetura de Goldbach es cierta?

Si me dices que sí, entonces la diferencia entre tu punto de vista y el mío es radical (en el sentido etimológico, es decir, que está en la raíz más profunda de nuestra forma de entender las cosas), y discutirla nos alejaría mucho de lo que estabas planteando. Si me dices que no, entonces... tú mismo.

[Cristian C]

Hola Carlos. Dices:

Imagina que alguien te presenta una demostración de la conjetura de Goldbach bajo la hipótesis de que la hipótesis de Riemann es cierta, y tú la examinas y coincides (con toda la comunidad matemática) en que la prueba es totalmente rigurosa según los estándares más rigurosos.

Por otra parte, otro matemático presenta otra prueba igualmente rigurosa, que no se parece en nada a la anterior, y que demuestra la conjetura de Goldbach bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es falsa.

La pregunta que te hago es : ¿consideras que tendrías motivos para cuestionar que la conjetura de Goldbach es cierta?

Si la hipótesis de Riemann fuera indecidible en ZFC, yo no estaría absolutamente  seguro por esta vía de que la conjetura de Goldbach fuera verdadera, porque (a menos que se me esté pasando algo gordo)  podría ocurrir que, además de esas pruebas, se halle otra afirmación cuyo enunciado es indecidible en ZFC que adicionada a ZFC en forma afirmativa me permita probar ¬Goldbach y adicionada en forma negativa, también. (Repito, a menos que se me esté pasando una vaca)

En ese caso ¿qué consideración me permite preferir el resultado obtenido afirmando y negando Riemann al obtenido afirmando y negando esa otra proposición?

Dices:

Ciertamente, puede ocurrir que no se pueda demostrar p ni no p, pero equiparar eso a que ni p ni no p es verdadera es, a mi juicio, una petición de principio filosófica.

Tu aserto es muy lógico y sensato: Construimos una axiomática justamente para que nos permita deducir todo lo que ya sabemos que es verdadero y refutar todo lo que ya sabemos que es falso. Entonces no debemos sorprendernos de que los enunciados demostrables designen afirmaciones verdaderas y los refutables designen afirmaciones  falsas luego de interpretarlos del modo usual. Pero claro, podríamos proponer, si se nos antojara, otra axiomática donde algún enunciado demostrable designara una afirmación falsa y viceversa. Entonces es claro que la verdad o falsedad de una afirmación matemática no es equivalente al hecho de que podamos o no podamos demostrar su enunciado con un artificio formal u otro.

Pero hay un problema: Cuando construimos un sistema axiomático lo suficientemente poderoso, nos aparecen enunciados que refieren algunas eventuales afirmaciones de las que no podemos intuir si son verdaderas o falsas aunque sí intuyamos lo que significa que sean verdaderas o que sean falsas. Pero también nos aparecen otros enunciados que refieren afirmaciones sin sentido intuitivo alguno, de las cuales solo reconocemos su naturaleza proposicional en la sintáxis, pero que no sabemos realmente qué significan y mucho menos, entonces, que significa que sean verdaderas o que sean falsas. Nada de esto estaba previsto cuando construimos el sistema, ya que solo intentamos expresar lo que intuíamos. Pero estas cosas han aparecido y no las podemos sacar.

Yo no discuto el caracter biestable de las afirmaciones de las que puedo representarme intuitivamente esa bivalencia: Verdades y falsedades matemáticas conocidas, conjeturas como la de Goldbach y otras. Pero si pongo en duda la naturaleza biestable de la interpretación de aquellas otros enunciados imprevistos donde es imposible entender intuitivamente qué significado tiene su verdad o falsedad. Y muchas de estas afirmaciones se expresan con enunciados indecidibles, como la Hipótesis del Continuo. Y toda extensión axiomática de ZFC que diseñemos para asignarles "a la fuerza" un valor de verdad a esas interpretaciones, sacará a la luz nuevos y más retorcidos bichos de estos.
Podemos, si quieres, imaginar que significan algo, inescrutable para nosotros, y suponer que, lo que quiera que signifiquen, solo puede ser verdadero o falso. Pero este supuesto, en esos casos, no representa nada que esté ocurriendo.

Partes de \( \mathbb{N} \) puede ser dos cosas distintas según aceptemos o neguemos HC, y esto pese a que tanto \( \mathbb{N} \) como partes de \( \mathbb{N} \) son definidos de la misma manera en ambos sistemas. ¿Qué sentido tiene entonces lo que afirmemos de partes de \( \mathbb{N} \) cuando no adicionamos ni HC ni ¬HC, y cuál la evaluación de su veracidad? ¿Qué pista nos permite  atisbar que esas afirmaciones verifican el principio del tercero excluido? Yo no veo ninguna. En cambio sí hay una pista que nos orienta, tibiamente a la idea de su naturaleza triestable: Allí afuera, en el metalenguaje, podemos decir que los enunciados con que designamos esas ideas son demostrables, refutables o indecidibles.

Realmente no tengo grandes certezas de nada. La colección de afirmaciones que resulta de interpretar usualmente ZFC contiene criaturas de muy diferente naturaleza pero estamos obligados a tratarlas a todas con el mismo sistema deductivo, a vestirlas con la misma ropa.

Un caso curioso donde la consideracion de este asunto es atinente:

En el teorema de Cantor, para probar que ninguna función f de \( \mathbb{N} \) en \( P(\mathbb{N}) \)  puede ser biyectiva, supongo una f cualquiera y luego armo el conjunto \( H={x:x\in{\mathbb{N}}\wedge x\not\in{f(x)}} \). Si f fuera biyectiva, existiría un \( a \) tal que \( f(a)=H \). Y luego razono: si \( a\in{f(a)} \) entonces \( a\in{H} \) entonces (por def de H) \( a\not\in{f(a)} \) absurdo. Y si \( a\not\in{f(a)} \) entonces \( a\in{H} \) y luego \( a\in{f(a)} \) absurdo.

Pero supongamos que mi f verifica:

\( f(3)=A \) para algún A perteneciente a \( {x:x\in{P(\mathbb{N})}\wedge \textsf{ x es infinito y no biyectable con }\mathbb{N}\textsf{ ni con }P(\mathbb{N})} \)

Entonces pregunto ¿3 pertenece o no pertenece a f(3)? ¿Puede ser H=f(3)? Es indecidible. Pero el teorema no falla porque esa indecibilidad no se puede expresar dentro de ZFC, en cambio sí se puede expresar el principio del tercero excluido: \( 3\in{f(3)}\vee3\not\in{f(3)} \)

Tengo mucho sueño. Espero que el momento de empezar a decir barbaridades haya quedado en el futuro y no en el pasado  .

Saludos

[Carlos Ivorra]

Si la hipótesis de Riemann fuera indecidible en ZFC, yo no estaría absolutamente  seguro por esta vía de que la conjetura de Goldbach fuera verdadera, porque (a menos que se me esté pasando algo gordo)  podría ocurrir que, además de esas pruebas, se halle otra afirmación cuyo enunciado es indecidible en ZFC que adicionada a ZFC en forma afirmativa me permita probar ¬Goldbach y adicionada en forma negativa, también. (Repito, a menos que se me esté pasando una vaca)

En ese caso ¿qué consideración me permite preferir el resultado obtenido afirmando y negando Riemann al obtenido afirmando y negando esa otra proposición?

Has caído en tu propia filosofía    Aunque la hipótesis de Riemann (HR) fuera indecidible, no por ello  \( HR\lor \lnot HR \) dejaría de ser un teorema de ZFC. Teniendo en cuenta que ZFC es como es, bajo el supuesto que te planteaba, la conjetura de Goldbach sería un teorema de ZFC, por lo que lo que planteas ahora en tu respuesta no podría suceder a menos que ZFC fuera contradictorio.

Lo que te preguntaba era más bien si "te parece bien" que en ZFC se pueda demostrar así la conjetura de Goldbach, es decir, demostrando que es consecuencia tanto de HR como de no HR, o si te parece que eso es "hacer trampa" y no es un argumento de fiar. Tu respuesta no vale, así que te vuelvo a plantear la pregunta: ¿Te parecería fiable una demostración en ZFC de la conjetura de Goldbach que consistiera en dos pruebas independientes, una basada en HR y otra basada en no HR?

Si respondes que sí, eso responde a tu pregunta original: ¿por qué se acepta "HR o no HR" como teorema lógico? porque permite demostrar teoremas mediante la técnica que te propongo en este caso hipotético. Si tu respuesta es que no, pues habrá que ver tu argumento.

Pero hay un problema: Cuando construimos un sistema axiomático lo suficientemente poderoso, nos aparecen enunciados que refieren algunas eventuales afirmaciones de las que no podemos intuir si son verdaderas o falsas aunque sí intuyamos lo que significa que sean verdaderas o que sean falsas. Pero también nos aparecen otros enunciados que refieren afirmaciones sin sentido intuitivo alguno, de las cuales solo reconocemos su naturaleza proposicional en la sintáxis, pero que no sabemos realmente qué significan y mucho menos, entonces, que significa que sean verdaderas o que sean falsas. Nada de esto estaba previsto cuando construimos el sistema, ya que solo intentamos expresar lo que intuíamos. Pero estas cosas han aparecido y no las podemos sacar.

Cierto.

Yo no discuto el caracter biestable de las afirmaciones de las que puedo representarme intuitivamente esa bivalencia: Verdades y falsedades matemáticas conocidas, conjeturas como la de Goldbach y otras. Pero si pongo en duda la naturaleza biestable de la interpretación de aquellas otros enunciados imprevistos donde es imposible entender intuitivamente qué significado tiene su verdad o falsedad. Y muchas de estas afirmaciones se expresan con enunciados indecidibles, como la Hipótesis del Continuo. Y toda extensión axiomática de ZFC que diseñemos para asignarles "a la fuerza" un valor de verdad a esas interpretaciones, sacará a la luz nuevos y más retorcidos bichos de estos.
Podemos, si quieres, imaginar que significan algo, inescrutable para nosotros, y suponer que, lo que quiera que signifiquen, solo puede ser verdadero o falso. Pero este supuesto, en esos casos, no representa nada que esté ocurriendo.

Es que yo no creo que la hipótesis del continuo sea verdadera o sea falsa, aunque no sepamos cuál es el caso, precisamente por las razones que tú das, pero tampoco creo que eso, ni ninguno de los hechos que expones, sobre los cuales coincido plenamente con tu punto de vista, pongan en cuestión el tercio excluso.

Lo que sucede es que tú pareces partir del supuesto de que los axiomas de la teoría de conjuntos hablan de algo en concreto, y eso es cierto (con algunos matices que ahora no vienen al caso) si nos referimos a conceptos con un significado intuitivo preciso, pero no lo es en general. Los axiomas de la teoría de conjunto son como los axiomas de espacio vectorial. A partir de esos axiomas no puedes demostrar si "el espacio vectorial tiene dimensión 3" o si "el espacio vectorial tiene dimensión 7", no podemos hablar de "la dimensión del espacio vectorial" porque no hay un único espacio vectorial, sino que tienes distintas estructuras que cumplen los axiomas de espacio vectorial, y cada una de ellas tendrá una dimensión.

Igualmente, no existen "los conjuntos", sino distintos "modelos de la teoría de conjuntos", y por eso no podemos demostrar que el cardinal de \( \mathbb{R} \) sea \( \aleph_1 \) o \( \aleph_{17} \), porque en cada modelo de la teoría de conjuntos dicho cardinal tomará un valor u otro. Ahora bien, en un modelo dado, la hipótesis del continuo será verdadera o falsa, y no hay otra posibilidad. Y como la lógica matemática está diseñada para extraer todas las consecuencias posibles de unos axiomas o, dicho de otro modo, para obtener toda la información posible de los modelos que cumplen unos axiomas dados, resulta que a la hora de razonar sobre qué sucede en un modelo de ZFC es razonable que \( HC\lor \lnot HC \) sea un teorema lógico pues, aunque HC sea indecidible en ZFC, eso no quita para que \( HC\lor \lnot HC \) sea verdadero en cualquier modelo de ZFC.

Fíjate que no digo "HC es verdadero o falso, pero no sé cuál es el caso", sino que digo "hay modelos de ZFC en los que HC es verdadero y otros en los que es falso". Tus objeciones vendrían al caso si yo dijera lo primero, pero no si digo lo segundo (que es lo que digo).

Partes de \( \mathbb{N} \) puede ser dos cosas distintas según aceptemos o neguemos HC, y esto pese a que tanto \( \mathbb{N} \) como partes de \( \mathbb{N} \) son definidos de la misma manera en ambos sistemas. ¿Qué sentido tiene entonces lo que afirmemos de partes de \( \mathbb{N} \) cuando no adicionamos ni HC ni ¬HC, y cuál la evaluación de su veracidad?

El mismo sentido que te permite hacer afirmaciones sobre una base de un espacio vectorial a pesar de que te puedas encontrar espacios con bases de 1, 2, 3 o infinitos elementos.

¿Qué pista nos permite  atisbar que esas afirmaciones verifican el principio del tercero excluido? Yo no veo ninguna.

Considera, por ejemplo, la demostración de que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo cardinal. Se demuestra distinguiendo dos casos:

1) si el espacio tiene una base infinita, entonces se prueba que todas las bases son infinitas y tienen el mismo cardinal.

2) Si el espacio no tiene ninguna base infinita, entonces se prueba mediante otro argumento que todas las bases tienen el mismo cardinal.

¿Crees que el hecho de que a partir de los axiomas de espacio vectorial no pueda probarse que las bases son finitas o infinitas pone en entredicho la demostración de que todas las bases tienen el mismo cardinal por el hecho de que partan de que "o hay una base infinita, o no hay ninguna base infinita"?

En cambio sí hay una pista que nos orienta, tibiamente a la idea de su naturaleza triestable: Allí afuera, en el metalenguaje, podemos decir que los enunciados con que designamos esas ideas son demostrables, refutables o indecidibles.

Todos los argumentos que das te permitirían concluir que la teoría de espacios vectoriales es triestable, y no estarías diciendo ninguna barbaridad, es una forma posible y coherente de ver las cosas, pero... ¿es la que conviene? ¿Ayuda en algo a entender los espacios vectoriales plantear su estudio en términos de una lógica trivalente? Si lo hicieras, llegarías a la misma teoría a la que llegas con una lógica bivalente o a una más débil. Si llegaras a la misma ¿habrías ganado algo complicando la lógica? y si llegaras a una más débil ¿crees que lo que perderías por el camino es realmente desechable? La primera pregunta es más subjetiva, pero ante la segunda mi respuesta es que rotundamente no, me parece una frivolidad y una insensatez mutilar una teoría matemática por remilgos lógicos o filosóficos. (Y lo de frívolo e insensato no lo digo pensando en ti, sino pensando en las distintas sectas filosóficas minoritarias, que se complacen escribiendo tesis y ensayos sobre formas y maneras de mutilar las matemáticas en vez de hacer cosas de provecho como, por ejemplo, matemáticas).

Realmente no tengo grandes certezas de nada. La colección de afirmaciones que resulta de interpretar usualmente ZFC contiene criaturas de muy diferente naturaleza pero estamos obligados a tratarlas a todas con el mismo sistema deductivo, a vestirlas con la misma ropa.

Nadie consideraría un defecto de la teoría de espacios vectoriales que incluya desde \( \mathbb{R}^2 \) hasta \( L_2 \), que son criaturas de naturaleza muy diferente, por no hablar de espacios sobre cuerpos finitos, etc.

Un caso curioso donde la consideracion de este asunto es atinente:

En el teorema de Cantor, para probar que ninguna función f de \( \mathbb{N} \) en \( P(\mathbb{N}) \)  puede ser biyectiva, supongo una f cualquiera y luego armo el conjunto \( H=\{x:x\in{\mathbb{N}}\wedge x\not\in{f(x)}\} \). Si f fuera biyectiva, existiría un \( a \) tal que \( f(a)=H \). Y luego razono: si \( a\in{f(a)} \) entonces \( a\in{H} \) entonces (por def de H) \( a\not\in{f(a)} \) absurdo. Y si \( a\not\in{f(a)} \) entonces \( a\in{H} \) y luego \( a\in{f(a)} \) absurdo.

Pero supongamos que mi f verifica:

Aquí me pierdo. ¿Qué f? Ya hemos probado que no existe tal f.

\( f(3)=A \) para algún A perteneciente a \( \{x:x\in{P(\mathbb{N})}\wedge \textsf{ x es infinito y no biyectable con }\mathbb{N}\textsf{ ni con }P(\mathbb{N})\} \)

Entonces pregunto ¿3 pertenece o no pertenece a f(3)?

Si te refieres a una aplicación \( f \) cualquiera, no puedes decir si 3 pertenece o no pertenece a f(3) porque no has dicho quién es f(3), pero eso no tiene nada que ver con la hipótesis del continuo. Imagina este otro caso:

Sea f una función f de \( \mathbb{N} \) en \( P(\mathbb{N}) \) y supongamos que \( f(3)=A \) para algún A perteneciente a \( \{x:x\in{P(\mathbb{N})}\wedge \textsf{ x es infinito }\} \). Ahora ya no está la HC por medio y sigue sin poder decirse si 3 está o no en f(3).

¿Puede ser H=f(3)? Es indecidible. Pero el teorema no falla porque esa indecibilidad no se puede expresar dentro de ZFC, en cambio sí se puede expresar el principio del tercero excluido: \( 3\in{f(3)}\vee3\not\in{f(3)} \)

Como ya te he dicho antes, no logro ver cómo relacionas esto con el teorema, pues ya tienes una prueba de que f no existe, y lo que digas de más no puede cambiar eso. En cualquier caso, la afirmación H = f(3) no es ni decidible ni indecidible, pues nunca has dicho qué es f(3). O, por otro lado, la afirmación H = f(3) es refutable porque H no puede ser igual a f(n) para ningún n, y eso es lo que demuestra que f no existe.

[Cristian C]

Has caído en tu propia filosofía    Aunque la hipótesis de Riemann (HR) fuera indecidible, no por ello  \( HR\lor \lnot HR \) dejaría de ser un teorema de ZFC. Teniendo en cuenta que ZFC es como es, bajo el supuesto que te planteaba, la conjetura de Goldbach sería un teorema de ZFC, por lo que lo que planteas ahora en tu respuesta no podría suceder a menos que ZFC fuera contradictorio.

Es cierto. Allí estaba la vaca.

Lo que te preguntaba era más bien si "te parece bien" que en ZFC se pueda demostrar así la conjetura de Goldbach, es decir, demostrando que es consecuencia tanto de HR como de no HR, o si te parece que eso es "hacer trampa" y no es un argumento de fiar. Tu respuesta no vale, así que te vuelvo a plantear la pregunta: ¿Te parecería fiable una demostración en ZFC de la conjetura de Goldbach que consistiera en dos pruebas independientes, una basada en HR y otra basada en no HR?

Tienes razón. La prueba me parecería fiable.

He pensado en esto y, es cierto, una logica trivalente no tendría ningún sentido por varias razones.

Mi cuestionamiento iba dirigido a los enunciados que interpretados no me pertiten intuir el significado ni de su veracidad ni de su falsedad. Pero realmente, sí me resulta intuitivo que la sentencia \( \alpha \vee \lnot\alpha  \) sea verdadera siempre, independientemente del significado de \( \alpha \), y tu pregunta de arriba, me ha permitido descubrir por qué.
Prácticamente cualquier enunciado indecidible (y en una teoría sin constantes, cualquier enunciado), debe conmenzar con un cuantificador; esto es, debe ser de la forma  \( \forall{x} \alpha \) o bien \( \exists{x\alpha } \) donde \( \alpha \) es un esquema mónadico en x. La negación de \( \forall{x\alpha } \) es \( \exists{x} \lnot \alpha \). No importa que yo no sepa el significado de \( \alpha \) o de la veracidad de \( \forall{x\alpha } \) cuando interpreto la teoría al modo usual. Lo importante es que si no a todos los x les ocurre \( \alpha \) entonces, existe un x al que no le ocurre \( \alpha \), y comprender que no existe tercera posibilidad no depende de que \( \alpha \) signifique algo o no signifique nada, sino que depende enteramente del significado de los cuantificadores, que sí me puedo representar intuitivamente.

Yo he afirmado que mientras en el metalenguaje los enunciados son demostrables, indemostrables o indecidibles, dentro del lenguaje solo se los considera biestables. Pero una lógica triestable no resolvería esto. Que un enunciado no sea ni demostrable ni refutable siempre será un aserto acerca del sistema y nunca podrá ser expresado dentro de él. Lo que sí ocurriría, como bien dices, es que todos los procedimientos de prueba serían engorrosos y sumamente antiintuitivos.

Por ahora paro aquí.

Saludos.