Autor Tema: mediana

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13 Marzo, 2012, 09:39 am
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Michel

  • Lathi
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Probar que una mediana de un triángulo es menor que la semisuma de los lados adyacentes, y que la suma de las medianas es menor que el perímetro del triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

13 Marzo, 2012, 03:59 pm
Respuesta #1

Ialgra

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Voy a intentar dar solución al problema. Aunque como soy nuevo en el foro aun no sé como usar esto del geogebra y tal para hacer un dibujito, pero aprenderé :D
Sea el triangulo de lados a, b y c, y suponemos que trazamos la mediana que va del vértice C al lado c. Prolongamos dicha mediana, llamémosla m, y creamos el paralelogramo de lados a, b, d y e, de manera que por ser un paralelogramo a=b y d=e, y como el paralelogramo tiene 4 vertices y el triángulo tenía 3, ahora habrá aparecido uno nuevo, llamémosle D.
Basta considerar el triángulo DAC o el DBC, que tienen por lados a, b y 2m. Usando la propiedad de los triángulos que nos dice que un lado siempre es menor que la suma de los otros dos, tendríamos que en estos triángulos 2m<a+b, lo que implica que m<a/2+b/2.
Para la segunda parte, aplicamos este hecho que acabamos de demostrar a las tres medianas de un triángulo, teniendo que si las medianas son m1, m2 y m3:
m1<a/2 + b/2;
m2<a/2 + c/2;
m3<b/2 + c/2;
Sumando las desigualdades llegamos a m1+m2+m3<a/2 + b/2 + a/2 + c/2 + b/2 + c/2=a + b + c

Esto con un dibujo queda muy claro!! Si alguien lo puede dibujar estaria bien ^^.
Saludos!!