[MarietaH]

En el documento "Números primos" que les adjunté en un mensaje anterior, olvidé poner una información que es la más importante y en la que baso todas mis teorías, que ya les expliqué. Aquí se lo dejo:

Mirando curiosidades acerca de los números primos hemos podido obtener una secuencia con la que se pueden hallar los números primos en orden. Creemos que esto puede ser importante. La serie es la siguiente:

7-12-18-25-33-...

Se obtiene sumando en primer lugar, 5 y luego 6, 7, 8... Y así sucesivamente.

Siguiendo esta secuencia, tenemos números divisibles por 2, 3, 5, 7, y los que nos interesan a nosotros,los que sólo son divisibles por números primos.

El primero de ellos es el 133= 7 ·19

Le siguen:

187= 11 ·17

403= 13 ·31

493= 17 ·29

817= 19 ·43

943= 23 ·41

...

Cómo podéis ver aparece la secuencia de primos en orden (7,11,13,17,19,23...). Hemos llegado hasta el 24307= 109 ·223, y hasta éste número nos salen todos los primos correlativos.

Nota 1: La diferencia entre los dos múltiplos es siempre un múltiplo de 6.

Nota 2: En la mayoría de los casos el segundo múltiplo es primo.

Saludos. Y gracias por interesarse sobre el tema y aportar sus opiniones.

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar nota que la sucesión:

\(  7,12,18,25,33,\ldots \)

 que estás definiendo recursivamente como:

\(  a_{n+1}=a_n+n+4 \)

 tiene por término general:

\(  a_n=\dfrac{(n+6)(n+1)}{2} \)

 Fíjate que eso nos permite factorizar \( a_n \) (excepto para \( n=1 \)) en al menos dos factores.

 Las opciones para que uno de ellos sea un primo \( p \) son:

 i) \( n+1=p \) y el otro factor \( \dfrac{p+5}{2}. \)
 ii) \( n+6=p \) y el otro factor \( \dfrac{p-5}{2}. \)
 iii) \( n+1=2p \) y el otro factor \( 2p+5 \).
 iv) \( n+6=2p \) y el otro factor \( 2p-5 \).

 De ahí es inmediato y nada excepcional que en la sucesión aparezcan como factores todos los primos: por ejemplo en el término \( a_{p-1} \) aparece como factor el primo \( p \) (eso lo cumplen cientos de sucesiones, por ejemplo la más trivial \( a_n=n \)).

 Pero lo que afirmas\( ^{(1) \), es más, es que dado un primo \( p \) siempre existe un término de la sucesión de manera que \( a_n=pq \) con \( q \) primo también.

 Eso equivale a afirmar, teniendo en cuenta los cuatro casos posibles, que si \( p \) es primo entonces al menos uno de estos cuatro números también es primo:

\( \dfrac{p+5}{2},\dfrac{p-5}{2},2p+5,2p-5 \)

 El primer primo para el cuál eso no se cumple es \( p=83. \) Luego la propiedad no es cierta.

Saludos.


\( ^{(1)} \) En tu nota 2 dices que "en la mayoría de los casos el segundo múltiplo (deberías decir divisor) es primo". Yo he supuesto que afirmabas que SIEMPRE es primo, en otro caso toda la discusión no tiene sentido. Si permitimos factorizaciones en un primo por un compuesto, no es cierto como dices que el "primero de ellos " sea \( 133=7\cdot 19 \).

El primero es:

\( 12=2\cdot 6 \) ó \( 12=3\cdot 4 \)

y luego

\( 18=2\cdot 9 \) ó \( 18=3\cdot 6 \)

en fin...

[MarietaH]

Si es cierto que se cumple para muchas otras sucesiones, pero en esta que les describo aparecen los números en orden, lo que permite hallar los números primos correlativos. De ahí que le haya dado importancia.
Agradezco mucho su interés.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero es que si realmente no te quedas sólo con los elementos de la sucesión que se factorizan en dos primos eso de que aperecen "en orden" es muy subjetivo; eres tu la que estás eligiendo la factorización y los elementos que te convienen para que ese orden se respete.

Saludos.