[Michel]

En un triángulo equilátero ABC se traza una paralela al lado AB que pasa por el baricentro.
Sea M un punto de esa recta, interior al triángulo.
Se trazan las perpendiculares MD, ME, MF a los lados AB, AC, BC del triángulo.
 Probar que MD = (ME + MF)/2.

[Michel]

Demostremos en primer lugar que la suma de las distancias de un punto interior de un triángulo a los vértices es igual a la altura de dicho triángulo.
Uniendo el punto M (que puede ser cualquiera) con los vértices se forman tres triángulos, la suma de cuyas áreas es igual área del triángulo dado:
           
\( \displaystyle\frac{1}{2}a(MD+ME+MF)=\displaystyle\frac{1}{2}ah  \Rightarrow{  MD+ME+MF=h} \)      (1)

Si M está en la paralela a AB trazada por el baricentro del triángulo, por la propiedad de este punto, se verifica

\( MD=\displaystyle\frac{1}{3}h  \Rightarrow{  h=3.MD} \)
 
Sustituyendo este valor en (1):

\( MD+ME+MF=3.MD \Rightarrow{ MD=\displaystyle\frac{ME+MF}{2}} \)