Autor Tema: Subanillos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Febrero, 2012, 11:06 pm
Leído 907 veces

john_reuer

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ayuda con este problema, por favor.  :banghead:

Sea \( A \) un anillo en el cual todo elemento cumple que \( a^{2}=a \). Pruebe que el conjunto \( S=\{{ara:\;r \in A\} \) es un subanillo de \( A \). Además, demuestre que el característico de \( A \) es 2 y que todo ideal primo de \( A \) es maximal.

Muchas gracias.

13 Febrero, 2012, 12:06 am
Respuesta #1

Tanius

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,630
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Qué has intentado?

13 Febrero, 2012, 01:17 am
Respuesta #2

john_reuer

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No mucho hasta ahora. Tengo problemas a la hora de probar que \( S \) es cerrado bajo la multiplicación. Además, no estoy muy seguro de cuál sea la identidad de \( S \).
Sobre las otras dos, no sé cómo hacerlas.

13 Febrero, 2012, 01:21 am
Respuesta #3

Tanius

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,630
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El \( a \) en la definición de \( S \) está fijo. Toma dos elementos de \( S \), digamos \( ara \) y \( ar'a \). Entonces su producto \( ara^2r'a=arr'a \) pertenece claramente a \( S \), luego, \( S \) es cerrado bajo el producto.

13 Febrero, 2012, 03:58 am
Respuesta #4

john_reuer

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El \( a \) en la definición de \( S \) está fijo. Toma dos elementos de \( S \), digamos \( ara \) y \( ar'a \). Entonces su producto \( ara^2r'a=arr'a \) pertenece claramente a \( S \), luego, \( S \) es cerrado bajo el producto.

¿Por qué \( ara^2r'a=arr'a \)? Como \( a^{2}=a \), ¿no debería quedar \( ara^{2}r'a=arar'a \)? Es allí donde tengo una de mis dudas.

13 Febrero, 2012, 04:59 am
Respuesta #5

Tanius

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,630
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Tienes razón, en principio queda \( arar'a \). Pero \( rar'\in{A} \), luego es inmediato que \( arar'a\in{S} \). De hecho no hacía falta usar la condición \( a^2=a \).

Para la otra parte, nota que \( a+a=(a+a)^2 \).

13 Febrero, 2012, 12:56 pm
Respuesta #6

john_reuer

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias, Tanius. Ya he podido avanzar mucho con la ayuda que me diste. Ya he podido probar que el característico de \( A \) es 2. No estaba tan fácil de ver. Muy útil tu sugerencia.

Con respecto a la última parte sobre los ideales primos de \( A \), ¿alguna sugerencia?

19 Febrero, 2012, 11:04 pm
Respuesta #7

Jorge klan

  • Lathi
  • Mensajes: 1,727
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Con respecto a la última parte sobre los ideales primos de \( A \), ¿alguna sugerencia?

Te dejo algunas indicaciones:

1. Demuestra que todo anillo Booleano (anillo que cumple la condición de tu problema) que es también un dominio integro es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).

Spoiler
Sea \( a\in A \) que no es ni 0 ni 1, luego \( a-1 \) es no trivial. Nota que \( a(a-1)=0 \) lo cual es una contradicción al hecho que es dominio integro.
[cerrar]

2. Prueba que cualquier imagen homomórfica de un anillo Booleano es también un anilllo Booleano.

3. Como \( P \) es un ideal primo de \( A \), entonces \( A/P \) es un dominio integro (resultado conocido). Por otro lado, \( A/P \) es imagen homomórfica de \( A \) mediante la proyección natural, luego también es un anillo Booleano.

4. Utiliza 1 y el hecho que \( \mathbb{Z}_2 \) es un cuerpo para concluir que \( P \) es maximal.


Saludos