Autor Tema: Primer teorema de isomorfismo 3

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10 Febrero, 2012, 04:36 pm
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SantiagoUy

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Estoy trancado en otro ejercicio, no es como estos que veniamos viendo pero también está relacionado con el primer teorema de isomorfismo.

Letra:

Sea \( f:\mathbb{Z}^2\rightarrow{}\mathbb{Z} \) definida por \( f(x,y) = x - 3y \).

a) Probar que \( f \) es un morfismo de grupos sobreyectivo(la operación en \( \mathbb{Z} \) es la suma y en \( \mathbb{Z}^2 \) la suma coordenada a coordenada). ¿Es f inyectiva?

b)Hallar \( N = Ker(f) \) y hallar todos los elementos de \( \mathbb{Z}^2/N \).

c)Probar que \( \mathbb{Z}^2/N \) y \( \mathbb{Z} \) son isomorfos. Hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo.

Procedimiento:

Para la parte a no hubieron problemas, simplemente aplique definición de homomorfismo y definición de función sobreyectiva.
Luego llegué a que la función no era inyectiva pues: \( Ker(f) = \{(3y, y) : y \in \mathbb{Z}\} \neq \{e\} \).

En la parte b, plantie el grupo cociente de la siguiente manera: \( \mathbb{Z}^2/N = \{\overline{(a,b)} : a,b \in \mathbb{Z}\} \), el cual es de orden infinito ya que por cada elemento de \( \mathbb{Z}^2 \) hay una clase de equivalencia.

Por último, en la parte c utilizé el primer teorema de isomorfismo para demostrar que los grupos son isomorfos, sin embargo me pide hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo y aqui es donde viene el problema, ¿cómo defino el isomorfismo? se que los grupos son isomorfos pero no se cuál es el isomorfismo.


Se agradece cualquier sugerencia!


10 Febrero, 2012, 07:00 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Te recomiendo abrir un hilo nuevo para una nueva pregunta. Por esta vez he separado los temas para que los usuarios sepan que estás preguntando y no respondiendo a un problema anterior. Bueno, con respecto a tu pregunta

En la parte b, plantie el grupo cociente de la siguiente manera: \( \mathbb{Z}^2/N = \{\overline{(a,b)} : a,b \in \mathbb{Z}\} \), el cual es de orden infinito ya que por cada elemento de \( \mathbb{Z}^2 \) hay una clase de equivalencia.

Es falso que para cada elemento hay sólo una clase (eso es lo que interpreto de lo que dices), por ejemplo, \( (3,1) \) y \( (6,2)  \) están en la misma clase. Geométricamente las clases de equivalencias son rectas en el plano \( Z^2 \) y un sistema de representantes de clases laterales es el conjunto \( \{(0,x)\mid x\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z} \) (esto lo puedes notar en el isomorfismo que acabas de comprobar).

Por último, en la parte c utilizé el primer teorema de isomorfismo para demostrar que los grupos son isomorfos, sin embargo me pide hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo y aqui es donde viene el problema, ¿cómo defino el isomorfismo? sé que los grupos son isomorfos pero no sé cuál es el isomorfismo.

Se refieren al isomorfismo que se extrae del primer teorema: \( f:Z^2\to Z \) epimorfismo y \( \pi:Z^2\to Z^2/N \) epimorfismo canónico entonces existe un único isomorfismo \( \overline{f}:Z^2/N\to Z \) tal que \( \overline{f}\circ\pi=f \). En estricto rigor lo que te piden es encontrar la imagen de \( <\overline{(1,2)}> \) mediante \( \overline{f} \), pero para esto basta encontrar la imagen de \( \overline{(1,2)} \), pues \( \overline{f} \) es un homomorfismo (basta conocer la imagen para el generador).

Saludos

10 Febrero, 2012, 10:17 pm
Respuesta #2

SantiagoUy

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Te recomiendo abrir un hilo nuevo para una nueva pregunta. Por esta vez he separado los temas para que los usuarios sepan que estás preguntando y no respondiendo a un problema anterior.

No quería hacer demasiado spam con muchas preguntas similares, de ahora en más sigo tu recomendación. Gracias.

Es falso que para cada elemento hay sólo una clase (eso es lo que interpreto de lo que dices), por ejemplo, \( (3,1) \) y \( (6,2)  \) están en la misma clase.

Cierto, no me di cuenta.

y un sistema de representantes de clases laterales es el conjunto \( \{(0,x)\mid x\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z} \) (esto lo puedes notar en el isomorfismo que acabas de comprobar).

Hasta aqui venía bien, no entiendo lo del sistema de representantes.. ¿de dónde sale ese sistema? ¿porqué \( (0,x) \)?


Muchas gracias!