Estoy trancado en otro ejercicio, no es como estos que veniamos viendo pero también está relacionado con el primer teorema de isomorfismo.
Letra:
Sea \( f:\mathbb{Z}^2\rightarrow{}\mathbb{Z} \) definida por \( f(x,y) = x - 3y \).
a) Probar que \( f \) es un morfismo de grupos sobreyectivo(la operación en \( \mathbb{Z} \) es la suma y en \( \mathbb{Z}^2 \) la suma coordenada a coordenada). ¿Es f inyectiva?
b)Hallar \( N = Ker(f) \) y hallar todos los elementos de \( \mathbb{Z}^2/N \).
c)Probar que \( \mathbb{Z}^2/N \) y \( \mathbb{Z} \) son isomorfos. Hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo.
Procedimiento:
Para la parte a no hubieron problemas, simplemente aplique definición de homomorfismo y definición de función sobreyectiva.
Luego llegué a que la función no era inyectiva pues: \( Ker(f) = \{(3y, y) : y \in \mathbb{Z}\} \neq \{e\} \).
En la parte b, plantie el grupo cociente de la siguiente manera: \( \mathbb{Z}^2/N = \{\overline{(a,b)} : a,b \in \mathbb{Z}\} \), el cual es de orden infinito ya que por cada elemento de \( \mathbb{Z}^2 \) hay una clase de equivalencia.
Por último, en la parte c utilizé el primer teorema de isomorfismo para demostrar que los grupos son isomorfos, sin embargo me pide hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo y aqui es donde viene el problema, ¿cómo defino el isomorfismo? se que los grupos son isomorfos pero no se cuál es el isomorfismo.
Se agradece cualquier sugerencia!
