Autor Tema: Primer teorema de isomorfismo

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09 Febrero, 2012, 11:15 pm
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SantiagoUy

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Hola, me gustaría que revisaran el procedimiento que hice para resolver el siguiente ejercicio ya que hay algo que no me convence del todo..


Utilizar el Primer teorema de isomorfismo para probar que los grupos dados son isomorfos.

a) \( (\mathbb{R}^* / \{1, -1\}) \) y \( (\mathbb{R}^+ , .) \) , siendo \( \mathbb{R}^* \) los reales menos el 0.

Procedimiento:

Queremos hallar \(  \phi: \mathbb{R}^* \rightarrow{} \mathbb{R}^+ \) tal que \( Ker(\phi) = \{1, -1\} \).
Entonces deberá ser: \( \phi(1) = \phi(-1) = 1 \longrightarrow{} \) tomamos \( \phi(x) = |x| \).

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Nota: aqui está la duda, por alguna razón la primera vez que resolví este ejercicio hace varios meses, tomé la función \( 1/|x| \) en vez de \( |x| \), sin embargo no me doy cuenta porqué.
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Verificamos que \( \phi \) es un homomorfismo:
\( \phi(a.b) = |a.b| = |a|.|b| = \phi(a).\phi(b) \)

Por lo tanto, tenemos \(  \phi: \mathbb{R}^* \rightarrow{} \mathbb{R}^+ \) homomorfismo, entonces por el PTI se cumple que:
\( \mathbb{R}^* / Ker(\phi) \approx{} \phi[\mathbb{R}^*] \) \( \longrightarrow{} \) \( \mathbb{R}^* / \{1, -1\} \approx{} \mathbb{R}^+ \)


Si hay alguna razón por la que deba ser \( \phi(x) = 1/|x| \) agradezco si me lo aclaran, en caso contrario quisiera saber si el procedimiento es correcto.



Muchas gracias, saludos

Santiago.

10 Febrero, 2012, 01:12 am
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Tu procedimiento es correcto. Además

Si hay alguna razón por la que deba ser \( \phi(x) = 1/|x| \) agradezco si me lo aclaran, en caso contrario quisiera saber si el procedimiento es correcto.

Un isomorfismo no es único, esta función que indicas también es isomorfismo al igual que la función \( \phi(x)=x^2 \).

Saludos

10 Febrero, 2012, 01:16 am
Respuesta #2

SantiagoUy

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Muchas gracias!



Saludos,

Santiago.