Autor Tema: Cuerpos

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04 Febrero, 2012, 04:56 pm
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alemunozgar

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Saludos.

Tengo un cuestionamiento: si yo tengo los enteros particionados a 7 por clases de equivalencia, y defino la suma y producto de las clases; ¿Cómo puedo demostrar que la partición con suma y producto entre las clases es un cuerpo?, ¿Qué debe cumplir y por dónde puedo comenzar?

¡Muchas gracias!
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04 Febrero, 2012, 06:44 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Si estás recién comenzando con las definiciones, únicamente debes verificar que \( \mathbb{Z}_7 \) satisface las propiedades de cuerpo. Acá tienes algo que te puede ayudar a saber las propiedades. Si te complica verificar una propiedad nos cuentas y te ayudamos.

Si ya conoces un par de propiedades de anillos podrás notar que \( 7\mathbb{Z} \) es un ideal maximal de \( \mathbb{Z} \) y por tanto \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_7 \) es un cuerpo (un famoso resultado).

Saludos

04 Febrero, 2012, 11:36 pm
Respuesta #2

alemunozgar

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¡Muchas gracias por responder!
No entiendo lo del ideal maximal, pero intentaré con las propiedades.
Gracias.

Saludos.
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06 Febrero, 2012, 08:26 pm
Respuesta #3

alemunozgar

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Buenas, tengo un cuestionamiento:
Al demostrar la existencia de un módulo para la suma y para el producto, ¿debo demostrar que son únicos?
En el caso del inverso aditivo y multiplicativo sí debe ser único, o ¿me equivoco? ¿Alguna idea de cómo demostrar los inversos en la suma y el producto de clases si están definidas naturalmente?


Saludos. :)
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07 Febrero, 2012, 02:22 am
Respuesta #4

Jorge klan

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Al demostrar la existencia de un módulo para la suma y para el producto, ¿debo demostrar que son únicos?

No entiendo a qué te refieres con la existencia de un módulo  ???. ¿Te refieres a probar la buena definición de la suma y el producto en \( \mathbb{Z}_7 \)?

En el caso del inverso aditivo y multiplicativo sí debe ser único, o ¿me equivoco?

Sí, aunque la unicidad no es necesaria probarla. Debes centrarte únicamente en probar los axiomas que te dejé en el enlace anterior, la unicidad es consecuencia inmediata de estos axiomas.

¿Alguna idea de cómo demostrar los inversos en la suma y el producto de clases si están definidas naturalmente?

Inverso en la suma: Para todo \( \overline{a}\in \mathbb{Z}_7 \) comprueba que \( \overline{7-a}\in \mathbb{Z}_7 \) es el inverso de \( \overline{a} \).

Inverso en la multiplicación: Acá debes utilizar la identidad de Bézout. Sea \( \overline{a}\in\mathbb{Z}_7-\{0\} \), luego por Bézout, existen \( x,y\in \mathbb{Z} \) tales que \( ax+7y=1 \). Aplicando clase módulo 7, se tiene que

\( \overline{a}\overline{x}=\overline{a}\overline{x}+\overline{7y}=\overline{ax+7y}=\overline{1} \)

Es decir, existe \( \overline{x}\in \mathbb{Z}_7 \) tal que \( \overline{a}\overline{x}=\overline{1} \).

Nota que las propiedades se heredan de \( \mathbb{Z} \)  ;D.

Saludos


07 Febrero, 2012, 06:33 am
Respuesta #5

alemunozgar

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Con módulo me refiero a un neutro en la suma y producto, pero ya todo me quedó muy claro.
¡Muchísimas gracias!
Saludos.

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