Al demostrar la existencia de un módulo para la suma y para el producto, ¿debo demostrar que son únicos?
No entiendo a qué te refieres con la existencia de un módulo
. ¿Te refieres a probar la buena definición de la suma y el producto en \( \mathbb{Z}_7 \)?
En el caso del inverso aditivo y multiplicativo sí debe ser único, o ¿me equivoco?
Sí, aunque la unicidad no es necesaria probarla. Debes centrarte únicamente en probar los axiomas que te dejé en el enlace anterior, la unicidad es consecuencia inmediata de estos axiomas.
¿Alguna idea de cómo demostrar los inversos en la suma y el producto de clases si están definidas naturalmente?
Inverso en la suma: Para todo \( \overline{a}\in \mathbb{Z}_7 \) comprueba que \( \overline{7-a}\in \mathbb{Z}_7 \) es el inverso de \( \overline{a} \).
Inverso en la multiplicación: Acá debes utilizar la
identidad de Bézout. Sea \( \overline{a}\in\mathbb{Z}_7-\{0\} \), luego por Bézout, existen \( x,y\in \mathbb{Z} \) tales que \( ax+7y=1 \). Aplicando clase módulo 7, se tiene que
\( \overline{a}\overline{x}=\overline{a}\overline{x}+\overline{7y}=\overline{ax+7y}=\overline{1} \)
Es decir, existe \( \overline{x}\in \mathbb{Z}_7 \) tal que \( \overline{a}\overline{x}=\overline{1} \).
Nota que las propiedades se heredan de \( \mathbb{Z} \)
.
Saludos
