[Jorge]

Si G es un grupo finito y H es un p-subgrupo de sylow de G, probar que el número de conjugados de H en G
no es un múltiplo de p.

Traté de hacerlo por contradicción, pero no logré concluir.
Gracias de antemano.

[Jorge klan]

Hola tocayo 

Supongamos que \( |G|=p^nm \) con \( (p,m)=1 \). Ahora si consideras la acción clásica \( G\times Syl(G)\to Syl(G) \) (\( Syl(G) \) denota el conjunto de p-subgrupos de Sylow de \( G \)) dada por conjugación podrás notar que por otro famoso teorema se tiene que \( p^nm=|G|=|Estab_H||O_H| \). Nota además que

1) \( Estab_H=\{x\in G\mid xHx^{-1}=H\}=N_G(H) \).
2) \( |N_G(H)|\geq |H| \), pues todo grupo es subgrupo de su normalizador.
3) \( |O_H| \) es justamente el número de conjugados de \( H \).

Concluimos entonces que

\( p^nm=|G|=|N_G(H)||O_H|\geq |H||O_H|=p^n |O_H| \)

¿Qué ocurriría entonces si el número de conjugados de \( H \) es un múltiplo de \( p \)?

Saludos

[Jorge]

Ahh ok gracias, una duda, por qué pudiste hacer esa suposición al comienzo si no es parte de la hipótesis del problema?
Saludos.

[Jorge klan]

una duda, por qué pudiste hacer esa suposición al comienzo si no es parte de la hipótesis del problema?

Esa representación siempre es posible por el teorema fundamental del aritmética: todo entero positivo se puede escribir como producto de potencias de primos.

\( r=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdots p_s^{n_s} \)

donde los \( p_i \) son primos distintos. Entonces se puede poner, por ejemplo,  \( r=p_1^{n_1}m \), donde \( m=p_2^{n_2}\cdots p_s^{n_s} \) y claramente \( p \) y \( m \) primos relativos.

Saludos