[rubenrosas]

 Mira´tocayo,por lo menos tenés un admirador que es J.k:¿Por que te llamás Algebrista?¿leíste mi mensaje hace tiempo al foro sobre los algabristas?.Las fórmulas que escribís las voy a tener que leer despaciosamente ya que tengo más edad que vos y todo anda muy despacio a éstas alturas.Mira creo que saber que a^3-1 es divisible por a-1 es importante,pero más importante es saber que  a^3 - b^3 es divisible por a- b, y más importante es saber que
a^j-b^j es divisible por a-b (j es impar). Es decir que hablar sobre una propiedad más general es más importante que una perticular.Yo publiqué un tema que se llama "más general que el PTF" pero parece que no le han dado importancia.Por éso no sé si cosas que me parecen importantes valdrá la pena publicarlas,una de ellas se refiere a la infinitud de las ternas pitagóricas,algo que se deduce inmediatamente de las fórmulas que las producen,pero ésto que"descubrí" hace mucho explica "el porqué",y también el "porqué" de muchas otras ecuaciones se reproducen al infinito.Lamentablemente lo mismo sucede con los cubos que son suma de dos cuadrados etc,pero la respuesta que me sirvió antes aquí parecen inaplicables.De cualquier forma dudo en publicar algo por lo que dije antes,pues me parece que no vale la pena tirar a la calle cosas que a uno le costó un poco.Saludos

[Algebrista]

Hola Rubén.

Dudo lo de la edad, tengo 8 hijos y 13 nietos. Lo de algebrista ocurrió que me gustó el término, es parfecto para identificarse en un foro como este.

En cuanto a Jorge C. con lo poco que lo conozco me produce admiración por su ausencia de egoismo e integridad. "hasta buenos consejos me ha dado acerca de la etica en estas comunicaciones".

Supongo que lo sabes pero Cartagena de Indias está toda amurallada y existe una anecdota acerca de Fernando VII de que gastó tanto fortificando la ciudad para protegerla de piratas y filibusteros que agotó las arcas del reino y se asomaba a los balcones del escorial y esperaba  "contemplar las murallas y castillos desde alli"

Respecto a la afición por las matemáticas en estas latitudes debes saber que
aquí hay una mezcla de razas que produce de todo, los genes gobiernan todo,
Yo pienso que mi afición proviene de mis antepasados que eran judios Zefarditas procedentes de España.

En cuanto a los primos fraccionarios me refiero a que las fracciones componentes de las ternas originales fraccionarias son primos relativos.
 

[jorgekarras]

Una pequeña cuestión

Rubenrosas nos dice hace un par de mensajes

Más adelante daré una versión de j^2 - 1 = 8T  (T número triángulo)
Propuesta :Se me ocurre una propiedad simple  t(2t+1) = T
 averiguar de dónde proviene.

y eso me da la impresión de que en este foro a veces sólo nos hacemos casos a nosotros mismos.  ¿leemos los mensajes de los demás? Igual los leemos deprisa y corriendo. Quizás sea la pasión de nuestros propios argumentos.

Yo, te lo digo con cariño, no creo que haya que guardarse cosas, Rubenrosas (pero eres muy libre de hacerlo, si quieres). Opino que dos cabezas piensan mejor que una, y quince que dos.
En ese sentido, no soy admirardor de Rubén Moré, a quien no conozco, sino de lo que ha escrito. Porque no lo he visto en ningún otro lado y me aclara el asunto de las ternas de manera muy original y perfecta. A mí me vale, el resto del mundo que se busque la vida, je, je...

Este foro me da la razón en lo de que varias cabezas piensan mejor que una , pues están saliendo cosas interesantísimas.

Pero Rubenrosas, no te ofendas, no sé si nos lees a los demás.

La propiedad simple que se te ocurre está escrita en un mensaje más arriba: n(2n+1) y n(2n-1) forman números T.
También forman números 4*T la fórmula que propone el Algebrista, 2n(n+1): genera números 4*T

Ambas fórmulas salen de la general de números triangulares (http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_triangular), que es n(n+1)/2

Los dos hemos llegado a la misma conclusión por dos caminos distintos: que un número de las ternas originales es 4*T.
Él primero, yo sólo he ratificado sus resultados "a lo Fermat" .

Es más fácil llegar si sabes dónde. Por eso hay que reconocérselo.


Os debo un mensaje más, pero necesito hacer unos dibujitos...

[rubenrosas]

 Creo que  R.M, J,K y yo formamos una fraternidad en éste tema.Mira R.M me hice por internet de una amiguita maravillosa de allí de Cartagena,a ella le interesa muchísimo las matemáticas.Le recordaba que ésa ciudad me hacía acordar a mi niñez cuando leía las novelas de Emilio Salgari (decime si estoy equivocado,pues a sus novelas de corsarios las situba en el golfo de Maracaibo).
Decía de los colombianos pues había visto en el foro al principio pocos mensajes
que vinieran de ése país¿A los zefardíes les gustaba la matemática,mi abuela era española y a lo mejor viene del mismo orígen.
 Jorgekarras de lo de la fórmula t(2t+1),la diferencia está en que t son números triángulos (aunque la cuestión es que t se puede reemplazar por cualquier otro)y la cuestión estaba  en las ternas en dónde Z=Y+1,y enlazar los Z con los Z^2.A propósito ¿que característica tienen los T de éstos últimos?(aunque no será posiblemente exclusiva)

[rubenrosas]

 
 Respecto de las ternas que tienen Z =12k+5,Z = 12k+13
 1) Con un término menor impar múltiplo de tres Y = a^2 - b^2
 Entonces a ni b son múltiplos de tres, a^2 = 3u+1 ,  b^2 = 3v+1
 Si a es impar a^2 = 3.8 h +1 = 12 s +1
 b es par ; b^2 = 12 t +4 , luego  Z = a^2 + b^2 = 12( s + t) + 5= 12k+5
 Lo mismo si a es par , b impar
 2) Si X = 2ab(par) es múltiplo de tres es(I)  a múltiplo de 3,(II) b es múltiplo de tres.
 Si  a es par múltiplo de tres es a^2 = 12r
 b es impar, b^2 = 12 M +1, M= m+1 , b^2 = 12m + 12 +1 = 12 m +13
 Es  Z = a^2 + b^2 = 12 r +  12 m + 13 = 12( r + m )+13 = 12 k + 13
 Si a es impar múltiplo de tres es a^2 = 36 w + 9 , b par es b^2 =12 d +4,
luego  a^2 + b^2 = 12( 3w + d ) + 13 = 12 k + 13
 En los otros casos se cambian los roles.

[jorgekarras]

Hola:

La verdad es que tengo poco tiempo para las matemáticas, y quizás debería sistematizarlo más. Pero al no poder, intentaré exponer las conclusiones a las que he llegado (probablemente nada originales, advierto), pero lo haré poco a poco, cuando pueda. Y en mensajes intentaré que breves, pero seguidos. Disculpen ustedes el método, y no esperen mucha concreción.


La primera cuestión que se planteaba en si las ternas, todas, se pueden sistematizar, como sugiere el método de Rubén Moré, alias el Algebrista.  Para mí, la respuesta es sí: todas las ternas tienen una única razón original. Ah, y son infinitas.


Sucede sin embargo que, al hablar de ternas, solemos pensar, gracias al zorro blanco muy blanco de Pitágoras, en triángulos rectángulos. Sin embargo, ¿realmente de qué hablamos? Hablamos de cuadrados, y un cuadrado es un área, así que de lo que estamos hablando es de áreas.

La ecuación x2+y2=z2 se debería representar así:




O incluso mejor así:

[Algebrista]

Saludos para todos
En respuesta a una propuesta de R.R.

Las ternas originales enteras en función de los números Triangulares.

Si ( x, y, z) son una terna original entera y T un número triangular entonces:

\( $\begin{array}{l}
 x = \sqrt {8T + 1}  \\
 y = 4T \\
 z = 4T + 1 \\
 \end{array}$
 \)

X entero implica que  (8T + 1) es siempre un cuadrado perfecto.

Los siguientes son los primeros 9 números T.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…,T

Enseguida muestro una forma muy sencilla  que encontré de obtenerlos.

    2   3   4     5    6     7     8     9   
1,   3,  6,  10,  15,  21,   28,  36,  45,…,T

En el orden propuesto basta sumar al número T  precedente el número superior a la derecha en la sucesión de los enteros.

[jorgekarras]

Sigo...


(Una pequeña cuestión: Consideraré las mayúsculas como Áreas o cuadrados y las minúsculas como lados o números, por comodidad, para evitarme la notación de cuadrados: X=x2) ...

La cuestión pitagórica radica en que  tenemos un área cuadrada X y queremos sumarle una cantidad  para obtener un área cuadrada Z.
Esa cantidad, Y,  tiene que tener la particularidad de que sea al mismo tiempo un área cuadrada.

Partamos que el cuadrado más pequeño, el "ladrillo" de todo cuadrado es la unidad 1x1. Da la particularidad que 1x1=1, pero como todos sabemos, es pura coincideincia 
En realidad quiero decir que cualquier cuadrado puede actuar como unidad: cualquier cuadrado, si es el primero, pues es eso, doblemente uno

Vemos en primer lugar que, si fuéramos un niño, lo primero que haríamos (o al menos lo primero que hice yo) es rodear el cuadrado X con un perímetro para lograr así otro cuadrado:




Lo que me daba una cantidad de "ladrillos" que era curiosamente los cuatro lados de X más las cuatro esquinas.

Luego me salía que la "unidad básica" de adición es 4x+4, 4(x+1).

Por eso pensé que iba a ver 4 como churros... Los veremos, pero no era así

(Otro inciso: perdonadme si soy un poco infantil, pero es que me sale sin querer. Es más: tengo la sensación de que todo esto que estoy explicando ya lo he leído antes en algún lado, o me lo explicaron en la escuela, aunque no referente a las ternas... ¿Alguien sabría explicármelo?)

Lo que me dí cuenta es la "unidad básica" de adición, lo que sería nuestro Y mínimo, no era así, sino:



Lo que siginificaría que el Y mínimo es el doble del lado más uno: 2x+1
En realidad, en el primer dibujo hay dos sumas: 2x+1 y 2(x+1)+1






Esto, y aquí llegamos a la primera conclusión, es precisamente lo que pasa en las llamadas ternas cojas.

Si, como bien dice Rubén Moré, la diferencia entre la hipotenusa y uno de los catetos de una terna es 1 (diré aquí z-x =1), el otro cateto corresponde a la fórmula Y=2x+1

z-x=1
Z = X + 2x+1

Y si la diferencia es dos, entonces y= 2x+1+ 2(x+1)+1 = 4x+4 

z-x =2
Z = X + 4x+4


Comprobadlo si queréis, porque no falla nunca, nunca, verdad verdadera... 

[jorgekarras]

Voy terminando esta primera parte....


¿Qué pasa entonces con las ternas no cojas? ¿De dónde salen?

Pues en realidad sale del mismo sitio.

Digamos que a x le vamos añadiendo no uno ni dos, sino n filas de cuadraditos. Gráficamente, sería así:



Y sería entonces 2x+1 + [2(x+1)+1] + [2(x+1+1)+1] ..., lo que es una sucesión que, así a primera vista, apesta a números triángulares... Creo, no tengo tiempo en comprobarlo.

Sin embargo, si nos fijamos más, realmente esta adición sucesiva va tomando la figura de una cuadrado y dós áreas, tal que así:



Serían dos áreas resultado de x*n, y un cuadrado n2 

(ojo: en este dibujito, por casualidad, x me ha salido igual a n, pero es indiferente)

Lo que tendríamos que Y=2xn+n2

Y AQUÍ LLEGAMOS A UNA, AL MENOS PARA MÍ, SORPRENDENTE CONCLUSIÓN.

Pues, tal como vemos gráficamente, el área Z que es el que estamos buscando, tiene como lado z=x+n de donde podemos concluir que

Z = X +Y

X= x2
Z = z2= (x+n)2
Y=2xn+n2

que coincide plenamente con el desarrollo de algo que todos conocemos muy bien

(x+n)2= x2+2xn+n2



O SÉASE: LAS TERNAS PITAGÓRICAS NO SON MÁS QUE UN BINOMIO DE ¿NEWTON? MUY MAL EXPLICADO.

Compruébese que sale con todas la ternas conocidas y por conocer (si una terna se os resiste, dadle la vuelta: esto es, X sea Y y Y sea X)


Tachín...!

Fin de la primera parte.

Sólo me queda una duda: ¿de verdad esto no aparece en ningún lado...? Necesitamos urgente un matemático de cabecera

[rubenrosas]

 Mira R.M.,lo que decía  a lo mejor está en lo que  vos escribiste y es:
 
 (4t +1)^2 = 8T + 1 ,por lo tanto t(2t + 1) = T

 Los T en éstos casos del producto que los forman el factor menor es par.

 pues quedaría 2t(2t+1)/2 en dónde el factor menor es 2t.Éstos T además son

 múltiplos de tres y están separados entre sí , 3, 5, 7,...lugares, y están

 formados por la mitad de las mitades del anterior y siguiente del Z considerado
 
 además ésos zetas son sumas de los cuadrados de dos números consecutivos

 siempre referidos a los Z = Y + 1 )

 Pregunta fácil:¿por qué en las ternas (¿originales?) los Z son de la forma 4t+1
 
 siendo t un número triángulo?