[ramuntxo]

Tengo dudas con respecto a unas demostraciones, les agradecería si me guian:

Sea \( G \) un grupo de orden 6, demostrar:

-Que existe un elemento de orden 3 (\( x\neq{}e \), \( x^2\neq{} e \) y \( x^3 =e \) donde e es el neutro de G)
- Que si G no es abeliano entonces es isomorfo a \( S_3 \)
- Que si \( G \) es abeliano es isomorfo a \( \mathbb{Z}_6 \)


Muchas gracias a todos.

[filomates]

¡Hola foreros y foreras!
Yo tengo un problema parecido (casi es el mismo)
Dice: Pruébese que sòlo pueden existir dos grupos de orden 4 distintos (salvo isomorfismos)
Hágase lo mismo para el orden 6
He resuelto el caso de orden 4, pero  en el orden 6 me salen demasiadas posibilidades y me atasco.
Hay que tener en cuenta que sòlo se pueden usar las nociones generales sobre grupos, el teorema de Lagrange y un lema que dice que todo grupo de orden par tiene un elemento distinto del elemento neutro y de orden 2, es decir \(  a^2 =e  \)
Gracias de antemano por vuestro interés

[Jorge klan]

Hola

Bueno, si no usamos herramientas avanzadas saldrá un poco más trabajoso. Es bien importante lo que dice filomate: la existencia de un elemento de orden 2. También es importante la existencia de un elemento de orden 3 (como se menciona en el caso de ramuntxo) la cuál se puede probar al preguntarse (considero el Teorema de Lagrange al razonar):

1) ¿Qué pasa si \( G \) tiene un elemento de orden \( 6 \)?, digamos \( x \). En este caso, es claro que \( x^2 \) es un elemento de orden 3.

2) En caso contrario, ¿qué ocurre si \( G \) solamente tiene elementos de orden \( 2 \) (obviamente sin contar la identidad)?. Un famoso resultado nos dice que \( G \) es abeliano, lo cual implica que \( G \) tendría un subgrupo de orden 4, lo cual no es posible (se los dejo comprobar).

Concluimos entonces que

\( G=\{1,x,x^2,y,xy,x^2y\} \)

donde \( x \) es un elemento de orden \( 3 \) e \( y \) es un elemento de orden 2. Para concluir el isomorfismo les dejo algunas pistas:

Si \( G \) es abeliano, ¿qué orden tiene el elemento \( xy \)?

Para probar el isomorfismo en el caso en que \( G \) no es abeliano depende de cómo conozcan ustedes el grupo \( S_3 \) (por medio de una presentación, a través de permutaciones, como las reflexiones del triángulo, etc...). Esto se los dejo a ustedes, pero la clave siempre es estudiar el orden de los elementos.

Saludos