[argentinator]

Otra cuestión es que en ZFC, el precio que hay que pagar por evitar las paradojas y el conjunto universal es una larga lista de axiomas. Hay que ir poniendo axiomas para todo: que los pares ordenados, que la unión, que el conjunto potencia, etc.

Todo lo que uno define con cierta función proposicional "tendría que ser" (="uno desearía que sea")  un conjunto, y listo.

En cambio en NFU anotaste sólo 3 axiomas muy sencillos y naturales, lo cual me resulta más satisfactorio.

[Carlos Ivorra]

Bueno, gracias por aclarar todas mis dudas.

A mandar.

Bueno, pero y entonces ¿para qué estratificar? Je, je.

Uno podría intentar una forma rebuscada de la paradoja de Russell reetiquetando variables.
Aunque no lo he intentado, y de sólo pensarlo se ve que no se puede hacer esa maldad, porque hay que escribir la fórmula \( x\not\in x \) en la definición del conjunto de Russell.

Lo que estás diciendo es que la condición de estratificación es más débil de lo que podría parecer, hasta el punto de que uno puede "sentirse con fuerzas" para tratar de burlarla y demostrar la paradoja de Russell, pero no se puede porque Jensen demostró que a partir de un modelo de ZFC puedes construir un modelo de NFA, de modo que si pudieras demostrar la paradoja de Russell en NFA también podrías demostrar una contradicción en ZFC (que podría ser, pero lo que está en juego no es la consistencia de una teoría rara, sino la consistencia de ZFC).

es decir, que puedes sustituir los infinitos casos particulares del esquema de formación de conjuntos por unos pocos casos particulares concretos (te los podría enumerar, si quieres, pero ahora mismo no los tengo a mano). De ese modo, puedes eliminar por completo el concepto de fórmula estratificada de los axiomas de NFA.

Maravilloso. 

Si te interesa la prueba la puedo poner. Es parecida a la demostración de que NBG es finitamente axiomatizable.

Mi conclusión es que el tema de estratificar es, en efecto, una sutileza muy grande.
Sigue siendo cierto que es una restricción del lado del lenguaje, pero es más sutil de lo que me imaginaba el principio, pues en nada afecta ni a los objetos de la teoría ni a la forma de ciertos enunciados.

Su origen está en la lógica de los Principia Mathematica. Alguien (no recuerdo ahora quién) la simplificó creando la Teoría de Tipos Simple, en la que existen conjuntos de tipo cero, conjuntos de tipo uno, conjuntos de tipo dos, etc. (aquí el tipo sí que es un número asignado a cada objeto y no a los nombres de los objetos), de tal modo que los conjuntos de tipo uno sólo pueden tener elementos de tipo cero, los conjuntos de tipo dos sólo pueden tener elementos de tipo uno, etc. Esto hace que exista un conjunto vacío de tipo cero, un conjunto vacío de tipo uno, etc., y todos ellos son conjuntos distintos. Lo que hizo Quine fue darse cuenta de que si en lugar de asignar tipos a los objetos se los asignamos a los nombres de los objetos, no necesitamos infinitos conjuntos vacíos, sino que basta uno solo que admita nombres de tipos distintos.


No me quedé satisfecho con la explicación que te di sobre el axioma de los átomos. Aunque no me has objetado nada al respecto te voy a poner un ejemplo que se me ha ocurrido y que puede ser ilustrativo:

Imagina que los conjuntos son cajas numeradas y los átomos son bolas numeradas. Cada caja tiene una etiqueta, como C1, C3, C8, B4, B5, que significa que la caja en cuestión tiene dentro las cajas 1, 3, 8 y las bolas 4, 5. En estos términos, la relación de pertenencia es: un objeto A (caja o bola) pertenece a otro objeto B si está dentro de él o, equivalentemente, si B es una caja en cuya etiqueta aparece el nombre de A. La teoría NFA es entonces una teoría sobre las cajas y los objetos que contienen.

Ahora bien, ¿qué pasa si alguien decide colgar etiquetas a las bolas? ¿Qué pasa si a la bola 5 le colgamos una etiqueta en la que pone B3, C8? Pues no pasa nada. Aunque le pongamos etiqueta, la bola 5 sigue siendo una bola y no una caja. Podemos decir que la bola 3 pertenece a la bola 5 porque su nombre aparece en su etiqueta, pero esa "pertenencia" es una pertenencia falsa, porque la bola 5 no es una caja.

Los axiomas de NFA hablan de bolas, de cajas y de etiquetas de cajas. Que a una bola le cuelgues una etiqueta o que quites todas las etiquetas de las bolas no afecta en nada a lo que los axiomas de NFA dicen de las bolas y las cajas. El axioma de los átomos afirma que "las bolas no tienen etiquetas" lo cual simplemente elimina unos objetos redundantes en la teoría (las etiquetas posibles de las bolas o, equivalentemente, relaciones de pertenencia entre átomos que pueden darse o no darse porque los axiomas no hablan de ellas, pero que, si se dan, no son más que convenios gratuitos, como si dices que una manzana pertenece a una pera. Puedes decirlo coherentemente, pero no aporta nada.)

Otra cuestión es que en ZFC, el precio que hay que pagar por evitar las paradojas y el conjunto universal es una larga lista de axiomas. Hay que ir poniendo axiomas para todo: que los pares ordenados, que la unión, que el conjunto potencia, etc.

Todo lo que uno define con cierta función proposicional "tendría que ser" (="uno desearía que sea")  un conjunto, y listo.

En cambio en NFU anotaste sólo 3 axiomas muy sencillos y naturales, lo cual me resulta más satisfactorio.

Je, je. Ésa es otra de las virtudes de NFA. Si no tuviera ninguna virtud, sería tonto estudiarla. Ahora, a medida que te familiarizas con la "dama virtuosa" le irás viendo "excentricidades" que al principio pueden parecer simpáticas, pero al final... ya veremos. Hay quienes los amores a primera vista les duran para siempre y hay quienes se desengañan a medida que profundizan en la relación.

[argentinator]

Otra cuestión es que en ZFC, el precio que hay que pagar por evitar las paradojas y el conjunto universal es una larga lista de axiomas. Hay que ir poniendo axiomas para todo: que los pares ordenados, que la unión, que el conjunto potencia, etc.

Todo lo que uno define con cierta función proposicional "tendría que ser" (="uno desearía que sea")  un conjunto, y listo.

En cambio en NFU anotaste sólo 3 axiomas muy sencillos y naturales, lo cual me resulta más satisfactorio.

Je, je. Ésa es otra de las virtudes de NFA. Si no tuviera ninguna virtud, sería tonto estudiarla. Ahora, a medida que te familiarizas con la "dama virtuosa" le irás viendo "excentricidades" que al principio pueden parecer simpáticas, pero al final... ya veremos. Hay quienes los amores a primera vista les duran para siempre y hay quienes se desengañan a medida que profundizan en la relación.

Si hablamos de "amor", estoy enamorado del deseo específico que nombré: que haya pocos axiomas simples y naturales.
Que NFU tenga esos atributos no hace que sienta "amor" por esa teoría.

En realidad tengo "interés" por todas las posibles teorías que compartan esos atributos, y luego habrá que ver cuál los satisface mejor.
Con esa teoría me caso... 

Pero resulta que si uno realmente ha visto tantas teorías, entonces deja de tener sentido que se aferre a una sola de ellas, ya que en realidad uno se convierte en un estudioso de una "teoría acerca de las teorías de conjuntos".

__________

En el fondo lo que me gusta es demostrar sin suponer nada, sin axiomas. Total, si hablamos de "amores" y de gustos, uno puede desear amores imposibles si así lo quiere.

[Carlos Ivorra]

Como le interesa a argentinator expongo aquí una axiomática alternativa de NFA que requiere sólo un número finito de axiomas. Más concretamente, llamamos NFA' a la teoría axiomática cuyos axiomas son el axioma de extensionalidad, el axioma de los pares ordenados y la lista finita de axiomas que daremos aquí. Se cumplen dos hechos:

1) Todos los axiomas que vamos a presentar aquí son teoremas de NFA, de donde se sigue que todo teorema de NFA' es un teorema de NFA.

2) En NFA' se pueden demostrar todos los casos particulares del esquema de formación de conjuntos, por lo que todo teorema de NFA es un teorema de NFA'.

Esto significa que si definimos una teoría por sus teoremas y no por sus axiomas (es decir, si definimos NFA como el conjunto de los teoremas que se deducen de los axiomas de NFA e igualmente con NFA'), entonces NFA y NFA' son la misma teoría.

El hecho 1) lo iremos probando sobre la marcha, es decir, cada vez que presentemos un axioma comprobaremos que es un teorema de NFA. Luego demostraremos 2). Mantenemos el convenio de que las letras mayúsculas representan conjuntos.

Axioma del conjunto vacío: \( \exists A\forall x\ x\notin A \)

Ya sabemos que esto es un teorema de NFA. El axioma de extensionalidad nos da que el conjunto \( A \) dado por el axioma del conjunto vacío es único, luego podemos definir \( \emptyset\equiv A\mid \forall x\ x\notin A \).

Axioma del complemento: \( \forall A\exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow x\notin A) \)

Esto es un teorema de NFA, pues en NFA podemos definir \( B=\{x\mid x\notin A\} \), ya que la fórmula que define el conjunto está estratificada.

Nuevamente, el axioma de extensionalidad asegura que el conjunto \( B \) es único, luego podemos definir \( \overline A\equiv B\mid \forall x(x\in B\leftrightarrow x\notin A) \).

A su vez podemos definir \( V=\overline \emptyset \) y se cumple que \( \forall x\ x\in V \).

Axioma del par: \( \forall xy\exists A\forall u(u\in A\leftrightarrow u=x\lor u=y) \)

También sabemos que este axioma es un teorema de NFA. Por extensionalidad el conjunto \( A \) es único y podemos definir

\( \{x,y\}\equiv A\mid \forall u(u\in A\leftrightarrow u=x\lor u=y) \).

Abreviaremos \( \{x\}\equiv \{x,x\} \).

Axioma de la unión: \( \forall A\exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow \exists C(x\in C\land C\in A)) \).

También sabemos que esto es un teorema de NFA y por extensionalidad el conjunto \( B \) es único, por lo que podemos definir

\( \bigcup A\equiv B\mid \forall x(x\in B\leftrightarrow \exists C(x\in C\land C\in A)) \).

Esto nos permite definir \( A\cup B \equiv \bigcup\{A,B\} \), y así se cumple que

\( \forall ABx(x\in A\cup B\leftrightarrow x\in A\lor x\in B) \).

Ahora definimos \( A\cap B\equiv \overline{\overline A\cup \overline B} \), con lo que

\( \forall ABx(x\in A\cap B\leftrightarrow x\in A\land x\in B) \).

La definición de inclusión en NFA (restringida a conjuntos) es válida también en NFA'. Con esto queda probado que el álgebra de conjuntos en NFA' es la misma que en NFA.

Axioma del producto cartesiano: \( \forall AB\exists C\forall x(x\in C\leftrightarrow \exists uv(u\in A\land v\in B\land x=(u,v))) \)

Esto es un teorema de NFA, pues hemos visto que en NFA existe el producto cartesiano. Ahora vemos que en NFA' podemos definir igualmente:

\( A\times B\equiv C\mid \forall x(x\in C\leftrightarrow \exists uv(u\in A\land v\in B\land x=(u,v))) \)

Introducimos ahora la notación siguiente: \( A^1\equiv A \) y, si \( n\geq 1 \) es un número natural (metamatemático), convendremos en que \( A^{n+1}\equiv A^n\times A \).

Esto significa que si escribimos, por ejemplo, \( A^4 \), esto ha de entenderse como una abreviatura por \( A^4\equiv A\times(A\times(A\times A)) \)

Análogamente, en lugar de representar un elemento de \( A^4 \) en la forma \( (a,(b,(c,d))) \), escribiremos simplemente \( (a,b,c,d)\equiv (a,(b,(c,d))) \), pero es importante que los paréntesis omitidos son los que estamos indicando y no otros. En general estamos adoptando el convenio

\( (x_1,\ldots, x_n)\equiv (x_1,(x_2,\ldots, x_n)) \),

lo cual vale para \( n=2 \) si entendemos que \( (x)\equiv x \).

Adoptaremos el convenio usual según el cual \( x\,R\,y\equiv (x,y)\in R \).

Axioma de la diagonal: \( \exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow \exists u\ x=(u,u)) \)

Esto es un teorema de NFA, pues en NFA podemos definir el conjunto \( \{x\mid \exists u\ x=(u,u)\} \), ya que la fórmula está estratificada.

Definimos \( I\equiv A\mid \forall x(x\in A\leftrightarrow \exists u\ x=(u,u)) \). Podemos pensar en \( I \) como la relación identidad en \( V^2 \) o también como la función identidad \( I:V\longrightarrow V \).

Axioma de la inclusión: \( \exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow \exists CD(x=(C,D)\land C\subset D)) \)

Observamos que en NFA podemos definir \( \{(C,D)\mid C\subset D\} \), luego este axioma es un teorema de NFA.

Definimos \( \text{INC}\equiv A\mid \forall x(x\in A\leftrightarrow \exists CD(x=(C,D)\land C\subset D)) \)

Axioma de la relación inversa: \( \forall R\exists S\forall x(x\in S\leftrightarrow \exists uv(x=(u,v)\land (v,u)\in R)) \)

También es claro que en NFA podemos definir \( \{(u,v)\mid (v,u)\in R\} \), luego este axioma es un teorema de NFA. Definimos \( R^{-1}\equiv S\mid \forall x(x\in S\leftrightarrow \exists uv(x=(u,v)\land (v,u)\in R)) \)

Axioma de la composición: \( \forall RS\exists T\forall x(x\in T\leftrightarrow \exists uvw(x=(u,w)\land (u,v)\in S\land (v,w)\in R)) \)

Es claro que esto es un teorema de NFA. Definimos \( R\circ S\equiv T\mid \forall x(x\in T\leftrightarrow \exists uvw(x=(u,w)\land (u,v)\in S\land (v,w)\in R)) \).

Conviene introducir la notación siguiente, donde \( n \) es un número natural metamatemático:

\( R^{(0)}\equiv I,\quad R^{(1)}\equiv R,\quad R^{(n+1)}\equiv R\circ R^{(n)} \)

Axioma del dominio: \( \forall R\exists D\forall x(x\in D\leftrightarrow \exists u\ (x,u)\in R) \)

Sabemos que en NFA se puede demostrar la existencia del dominio, luego este axioma es un teorema de NFA. Definimos \( \mathcal DR\equiv D\mid \forall x(x\in D\leftrightarrow \exists u\ (x,u)\in R) \).

A su vez podemos definir \( \mathcal RR\equiv \mathcal DR^{-1} \), de modo que

\( \forall Rx(x\in \mathcal RR\leftrightarrow \exists u\ (u,x)\in R)) \).

Ahora podemos definir \( C\equiv \mathcal R\text{INC} \). Teniendo en cuenta que la definición de inclusión exige que los objetos sean conjuntos, vemos que

\( x\in C\leftrightarrow \exists u\ u\subset x\leftrightarrow \text{cto}\,x \). Así pues, \( C \) es el conjunto de todos los conjuntos.

Axioma de elevación: \( \forall R\exists S\forall x(x\in S\leftrightarrow \exists uv(x=(\{u\},\{v\})\land (u,v)\in R)) \)

Esto es un teorema de NFA, pues en NFA podemos definir \( \{x\mid \exists uv(x=(\{u\},\{v\})\land (u,v)\in R))\} \), ya que la fórmula está estratificada.

Definimos \( R_1\equiv S\mid\forall x(x\in S\leftrightarrow \exists uv(x=(\{u\},\{v\})\land (u,v)\in R)) \).

Para cada natural \( n\geq 1 \) definimos \( R_{n+1}\equiv (R_n)_1 \), es decir, que \( R_4 \) no es más que una abreviatura por \( R_4\equiv ((R_1)_1)_1)_1 \).

Axiomas de proyección:

\( \exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow \exists uv\ x=((u,v),u)) \)

\( \exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow \exists uv\ x=((u,v),v)) \)

Es claro que los conjuntos \( A \) y \( B \) pueden obtenerse en NFA a partir del axioma de formación de conjuntos (con fórmulas estratificadas, por supuesto).

Definimos

\( \Pi_1\equiv A\mid \forall x(x\in A\leftrightarrow \exists uv\ x=((u,v),u)) \)

\( \Pi_2\equiv B\mid \forall x(x\in B\leftrightarrow \exists uv\ x=((u,v),v)) \)

Observemos que (con la misma definición de aplicación que hemos dado en NFA) se cumple que \( \Pi_1:V\times V\longrightarrow V \) es la aplicación dada por \( \Pi_1(u,v)=u \), mientras que \( \Pi_2 \) es la aplicación que cumple \( \Pi_2(u,v)=v \).

Éstos son todos los axiomas de NFA', en total son trece axiomas de formación de conjuntos (si contamos como dos los axiomas de proyección) más el axioma de extensionalidad y el del par. De todos modos, estas cuentas son subjetivas, porque podríamos sustituir estos axiomas por la conjunción de todos ellos y entonces NFA' tendría un único axioma.

Ya hemos comprobado que todos los axiomas de NFA' son axiomas de NFA, por lo que todos los teoremas de NFA' son teoremas de NFA. Ahora falta probar el recíproco, para lo cual basta ver que en NFA' se puede demostrar cualquier caso particular del axioma de formación de conjuntos.

Empezamos considerando el caso de una fórmula estratificada \( \phi \) que esté formada mediante signos lógicos distintos del descriptor a partir de subfórmulas de los tipos:

\( \text{cto}\,x,\quad x=y,\quad x\in y,\quad x=(y,z) \).

Sean \( x_1,\ldots, x_n \) todas las variables que aparecen en ella (libres o ligadas) y sea \( t_i \) el tipo de la variable \( x_i \) en una estratificación prefijada. Sea \( N \) un número natural mayor o igual que todos los \( t_i \). Definimos

\( P_N^n\equiv V_{(N-t_1)}\times \cdots \times V_{(N-t_n)} \).

Ejemplo: Imaginemos que la fórmula \( \phi \) tiene cinco variables de tipos \( 0,0,1,2,3 \) y que tomamos \( N=3 \). Entonces

\( P_3^5\equiv V_{(5)}\times V_{(5)}\times V_{(4)}\times V_{(3)}\times V_{(2)} \).

Un elemento arbitrario de \( P_3^5 \) es de la forma \( (\{\{\{\{\{x_1\}\}\}\}\},\{\{\{\{\{x_2\}\}\}\}\},\{\{\{\{x_3\}\}\}\},\{\{\{x_4\}\}\},\{\{x_5\}\}) \), donde \( x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \) son objetos cualesquiera. Abreviaremos esto como \( (\{x_1\}_5,\{x_2\}_5,\{x_3\}_4,\{x_4\}_4,\{x_5\}_3) \). En general, \( \{x\}_n \) representará una \( x \) dentro de \( n \) llaves anidadas.

La definición de \( P_N^n \) hace que la estratificación fijada en \( \phi \) hace que todos los elementos de \( P_N^n \) estén estratificados con tipo \( N \). En general, cuando \( x\in P_n^N \), llamaremos \( x_i \), no a su componente \( i \)-ésima, sino a su componente \( i \)-ésima desprovista de las \( N-t_i \) llaves que le corresponden según la definición de \( P_N^n \).

Veamos ahora que pada cada índice \( 1\leq i\leq N \) existe el conjunto

\( X_i^{n,N}\equiv \{(x,\{x_i\}_{N-t_i})\mid x\in P_N^n\} \).

Demostración:

En efecto, para \( 1\leq i\leq n-1 \) definimos

\( X_i^{n,N}\equiv (P_N^n\times V)\cap (\Pi_1\circ \Pi_2^{(i-1)}) \),

que es un conjunto cuya existencia está justificada en NFA' (hemos probado que existen las proyecciones, y las composiciones, y la intersección, etc.).

Vamos a probar que este conjunto definido así es igual al definido antes, es decir, hemos de probar que sus elementos son exactamente los pares \( (x,\{x_i\}_{N-t_i}) \), con \(  x\in P_N^n \). Ahora bien, si \( u\in X_i^{n,N} \) según la definición que acabamos de dar, tenemos que \( u=(x,y) \), donde \( x\in P_N^n \) e \( y=\Pi_1(\Pi_2^{(i-1)}(x)) \)

Si \( x=(\{x_1\}_{N-t_1},\ldots, \{x_n\}_{N-t_n}) \), recordando que hemos definido una n-tupla como un par ordenado cuya primera componente es la primera componente de la n-tupla y cuya segunda componente es la n-1-tupla formada por las restantes componentes, es claro que cada vez que aplicamos \( \Pi_2 \) a una n-tupla le estamos quitando la primera componente, luego

\( \Pi_2^{(i-1)}(x)=(\{x_i\}_{N-t_i},\ldots, \{x_n\}_{N-t_n}) \), y al aplicar \( \Pi_1 \) a este objeto obtenemos precisamente \( y=\{x_i\}_{N-t_i} \), como queríamos probar.

Para \( i=n \) debemos modificar la definición:

\( X_n^{n,N}\equiv (P_N^n\times V)\cap \Pi_2^{(n-1)} \)

Pues al quitar la primera componente n-1 veces a una n-tupla nos quedamos con su n-sima componente.

[cerrar]

Definición: Si \( \psi \) es una subfórmula de \( \phi \), diremos que \( \psi \) está representada respecto de \( N \) si existe el conjunto

\( R_\psi\equiv \{x\mid x\in P_N^n\land \psi(x_1,\ldots, x_n)\} \)

Toda subfórmula de tipo \( \text{cto}(x_i) \) está representada.

Demostración

Basta observar que

\( \{x\mid x\in P_N^n\land \text{cto}\,x_i\}=\mathcal D(X_i^{n,N}\cap (V\times C_{(N-t_i)})) \).

En efecto, un objeto \( x \) está en el conjunto de la derecha si y sólo si existe otro objeto \( y \) tal que \( (x,y)\in X_i^{n,N}\cap (V\times C_{(N-t_i)}) \), lo cual equivale a que \( x\in P_N^n \), \( y=\{x_i\}_{N-t_i} \) y \( y\in C_{(N-t_i)} \) y las dos últimas condiciones equivalen a que \( x_i\in C \), es decir, a \( \text{cto}\,x_i \).

[cerrar]

Definición: \( R\otimes S\equiv (\Pi_1^{-1}\circ R)\cap (\Pi_2^{-1}\circ S)=\{(x,(y,z))\mid x\,R\,y\land x\,S\,z\} \).

Demostración (de la igualdad)

Un objeto está en \( \Pi_1^{-1}\circ R \) si es de la forma \( (x,u) \) y existe un \( y \) tal que \( (x,y)\in R \) y \( (y,u)\in \Pi_1^{-1} \). Lo segundo significa que \( (u,y)\in \Pi_1 \), es decir, que \( u=(y,v) \), para cierto \( v \).

Si además \( (x,(y,v))\in \Pi_2^{-1}\circ S \), entonces existe un \( z \) tal que \( (x,z)\in S \) y \( (z,(y,v))\in \Pi_2^{-1} \), lo que equivale a que \( ((y,v),z))\in \Pi_2 \), luego \( v=z \), con lo que el objeto de partida era \( (x(y,z)) \), con \( (x,y)\in R \) y \( (x,z)\in S \). Igualmente se prueba la inclusión contraria.

[cerrar]

Veamos ahora que

\( X_i^{n,N}\otimes X_j^{n,N}=\{(x,(\{x_i\}_{N-t_i},\{x_j\}_{N-t_j}))\mid x\in P_N^n\} \).

Demostración:

Un elemento de este conjunto es de la forma \( (x,(y,x)) \), donde \( (x,y)\in X_i^{n,N} \) y \( (x,z)\in X_j^{n,N} \), lo que equivale a que \( y=\{x\}_{N-t_i}, z=\{x\}_{N-t_j} \).

[cerrar]

Como consecuencia, todas las subfórmulas de \( \phi \) de tipo \( x_i=x_j \) están representadas.

Demostración:

Como \( \phi \) está estratificada, tiene que ser \( t_i=t_j \). Basta observar que

\( \{x\mid x\in P_N^n\land x_i=x_j \}=\mathcal D((X_i^{n,N}\otimes X_j^{n,N})\cap (V\times I_{M-t_i})) \).

[cerrar]

La subfórmulas de \( \phi \) de tipo \( x_i\in x_j \) también están representadas.

Demostración:

Por definición de estratificación tiene que ser \( t_j=t_i+1 \). Observemos que \( x_i\in x_j \) equivale a que \( \{x_i\}\subset x_j \), y también a que \( (\{x_i\}_{N-t_i}, \{x_j\}_{N-t_j})\in \text{INC}_{N-t_j} \). Por lo tanto:

\( \{x\mid x\in P_N^n\land x_i=
\in x_j \}=\mathcal D((X_i^{n,N}\otimes X_j^{n,N})\cap (V\times \text{INC}_{M-t_j})) \).

[cerrar]

Las subfórmulas de tipo \( x_k=(x_i,x_j) \) también están representadas.

Demostración:

Por definición de estratificación tenemos que \( t_i=t_j=t_k \). Además

\( x_k=(x_i,x_j)\leftrightarrow (x_k,x_i)\in \Pi_1\land (x_k,x_j)\in \Pi_2 \), luego

\( \{x\mid x\in P_N^n\land x_k=(x_i,x_j)\} \) es igual a

\( \mathcal D((X_k^{n,N}\otimes X_i^{n,N})\cap (V\times (\Pi_1)_{N-t_k}))\cap \mathcal D((X_k^{n,N}\otimes X_j^{n,N})\cap (V\times (\Pi_2)_{N-t_k})) \)

[cerrar]

Es inmediato que si \( \psi \) y \( \chi \) son subfórmulas de \( \phi \) representadas por los conjuntos \( R_\psi \) y \( R_\chi \), entonces \( \overline{R_{\psi}} \) representa a \( \lnot\psi \), \( R_\psi\cap R_\chi \) representa a \( \psi\land \chi \), \( R_\psi\cup R_\chi \) representa a \( \psi\lor \chi \), \( \overline{R_\psi}\cup R_\chi \) representa a \( \psi\rightarrow \chi \) y \( (\overline{R_\psi}\cup R_\chi)\cap (\overline{R_\chi}\cup R_\psi) \) representa a \( \psi\leftrightarrow \chi \).

Veamos ahora que si una subfórmula es de tipo \( \psi\equiv \exists x_i\chi \) y \( \chi \) está representada, entonces \( \psi \) también lo está.

Demostración:

Una comprobación rutinaria muestra que

\( A=X_1^{n,N}\otimes \cdots \otimes (V\times V_{N-t_i})\otimes \cdots \otimes X_n^{n,N} \)

\( = \{(x,\{x_1\}_{N-t_1},\ldots , \{u\}_{N-t_i},\ldots, \{x_n\}_{N-t_n})\mid x\in P_N^n\} \).

Aquí hemos de entender el mismo convenio de asociación que en los productos cartesianos, es decir, que los productos se van calculando de derecha a izquierda.

Entonces \( \mathcal D(A\cap (V\times R_{\chi})) \) representa a \( \psi \). En efecto, un objeto \( x \) está en este conjunto si y sólo si existe un \( y \) tal que \( (x,y)\in A\cap (V\times R_\chi) \), lo cual equivale a que \( x\in P_N^n \), \( y=(\{x_1\}_{N-t_1},\ldots , \{u\}_{N-t_i},\ldots, \{x_n\}_{N-t_n}) \), para cierto objeto \( u \) y \( y\in R_{\chi} \). Lo último equivale a que \( y\in P_N^n \) y \( \chi(x_1,\ldots, u,\ldots, x_n) \).

Por lo tanto, los elementos del conjunto son los \( x\in P_n^N \) tales que existe un \( u \) tal que \( \chi(x_1,\ldots, u,\ldots, x_n) \) o lo que es lo mismo, los \( x\in P_N^n \) tales que \( \exists x_i\chi(x_1,\ldots, x_n)\equiv \psi(x_1,\ldots, x_n) \), que es lo que había que probar.

[cerrar]

Finalmente, si una subfórmula es de la forma \( \psi\equiv \forall x_i\chi \) y \( \chi \) está representada, hemos visto que \( \lnot\chi \) está representada, y que \( \exists x_i\lnot\chi \) está representada, y que \( \lnot\exists x_i\lnot\chi \) está representada, pero esta fórmula es equivalente a \( \psi \), luego \( \psi \) está representada.

Con esto podemos asegurar que \( \phi \) está representada.

Demostración:

Podemos probar que toda subfórmula \( \psi \) de \( \phi \) está representada. En efecto, si no fuera así, habría una subfórmula \( \psi \) no representada que podemos tomar de longitud mínima. No puede ser de tipo \( \text{cto}\,x_i \), ni \( x_i=x_j \), ni \( x_i\in x_j \) ni \( x_k=(x_i,x_j) \), pues hemos probado que todas estas subfórmulas están representadas, pero tampoco puede ser de tipo \( \lnot \chi \), pues entonces \( \chi \) tendría longitud menor, luego está representada, y hemos probado que entonces \( \psi \) también lo está. Igualmente se descarta que pueda ser de tipo \( \chi_1\land \chi_2 \), \( \chi_1\lor \chi_2 \), etc., pues hemos probado que cualquier fórmula construida a partir de fórmulas representadas está representada, y así tenemos una contradicción.

Como toda subfórmula de \( \phi \) está representada, en particular lo está la propia \( \phi \).

[cerrar]

En definitiva, hemos probado que toda fórmula estratificada construida a partir de subfórmulas de tipos \( \text{cto}\,x_i,\quad x_i=x_j,\quad x_i\in x_j,\quad x_k=(x_i,x_j) \) está representada, es decir, existe el conjunto

\( R_\phi=\{x\mid x\in P_N^n\land \phi(x_1,\ldots, x_n)\} \)

El orden de las variables lo hemos elegido arbitrariamente. Podemos suponer que las variables \( x_1,\ldots, x_m \) están ligadas y las restantes libres. Aplicando \( \mathcal R \) a este conjunto \( m \) veces obtenemos un conjunto análogo con \( n-m \) componentes donde ahora todas las variables son libres. Renumerándolas, tenemos el conjunto

\( R'_\phi=\{x\mid x\in P_N^n\land \phi(x_1,\ldots, x_n)\} \)

donde ahora \( x_1,\ldots x_n \) son sólo las variables libres en \( \phi \). Vamos a renombrar estas variables libres como \( x,x_1,\ldots, x_n \) con tipos \( t, t_1,\ldots, t_n \). Así, si fijamos objetos \( x_1,\ldots, x_n \), podemos construir el conjunto

\( \mathcal D(R_\phi\cap (V_{N-t})\times \{(\{x_1\}_{N-t_1},\ldots, \{x_n\}_{N-t_n})\}) \)

que no es sino \( \{x\mid \phi(x,x_1,\ldots, x_n)\} \), es decir, el axioma de formación de conjuntos para la fórmula \( \phi \).

Para acabar de demostrar que NFA' es equivalente a NFA sólo falta probar que toda fórmula estratificada es equivalente en NFA' a una fórmula estratificada en las condiciones de la que hemos considerado (es decir, sin descriptores y cuyas subfórmulas atómicas sean de los tipos indicados).

En primer lugar observamos que toda fórmula estratificada puede transformarse en otra equivalente (también estratificada) en la que el signo \( \text{cto} \) sólo aparezca seguido de una variable,  el signo \( \in \) sólo aparezca en subfórmulas de tipo \( x\in y \) y el signo \( = \) sólo aparezca en subfórmulas de tipo \( x=y \), \( x=(y,z) \) o \( x=y\mid \psi \).

Por ejemplo, si la fórmula dada contiene una subfórmula de tipo \( (t_1,t_2)\in t_3 \), para ciertos términos \( t_1, t_2, t_3 \), la estratificación exige que los dos primeros tengan el mismo tipo n y el segundo n+1. Entonces podemos sustituir la subfórmula por

\( \exists uvwx(u=t_1\land v=t_2\land w=t_3\land x=(u,v)\land x\in w) \).

Es claro que esto mantiene la estratificación. Analizando un número finito de posibilidades similares a ésta llegamos a lo que hemos afirmado. Por último, basta observar que toda subfórmula de tipo \( x=y\mid \psi(y) \) se puede sustituir por \( \psi(x) \), lo cual conserva la estratificación, pues el tipo de \( x \) tiene que ser el mismo que el de \( y \). Esto nos lleva a una fórmula estratificada equivalente del tipo que hemos considerado en la demostración del axioma de formación de conjuntos.

Terminamos observando que, en realidad, al sustituir \( x=y\mid \psi(y) \) por \( \psi(x) \) estamos asumiendo que sólo empleamos descripciones cuando está justificando que existe un único objeto que cumple la descripción. Si no es así el argumento requiere un retoque técnico (esencialmente, sustituir \( x=y\mid \psi(y) \) por una fórmula que diga que \( x \) es el único que cumple \( \psi(x) \) si efectivamente hay un único objeto que lo cumpla o bien \( x=\emptyset \) en caso contrario), pero no vamos a entrar en esos detalles técnicos.

[Carlos Ivorra]

Necesitamos construir la función beth. La idea es la siguiente, partimos de un cardinal arbitrario \( \kappa \) y queremos definir \( \beth_\alpha(\kappa) \), donde \( \alpha \) varía en los ordinales, de modo que

\( \beth_0(\kappa)=\kappa,\ \ \beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)} \) y, para todo ordinal límite \( \lambda \), \( \beth_\lambda(\kappa)=\sup\{\beth_\delta(\kappa)\mid \delta<\lambda\} \).

Aquí nos encontramos con un problema que no tiene paralelo en ZFC, y es que \( 2^\mu \) no siempre está definido, por lo que puede suceder que \( \beth_\alpha(\kappa) \) esté definido pero \( \beth_{\alpha+1}(\kappa) \) no lo esté. Para evitar que este inconveniente complique la definición de la función beth definimos como sigue la función exponencial \( \exp: K\cup\{\emptyset\}\longrightarrow K\cup\{\emptyset\} \)

\( \exp\equiv\{ (\kappa,\mu)\mid\kappa\in K\land (\kappa\leq \kappa_1\land \mu=2^\kappa)\lor (\kappa<\kappa_1\land \mu=\emptyset)\}\cup\{(\emptyset,\emptyset)\} \).

Escribimos así la definición para poner en evidencia que está estratificada, pero sería más natural escribir:

\( \exp \kappa=\left\{\begin{array}{ll}2^\kappa&\text{si }\kappa\leq \kappa_1,\\ \emptyset&\text{si }\kappa_1<\kappa\lor \kappa=\emptyset.\end{array}\right. \)

De este modo tenemos la garantía de que \( \exp\kappa \) siempre está definido, y coincide con \( 2^\kappa \) cuando es posible. En particular, si \( \kappa\leq\kappa_1 \), entonces \( \exp\kappa\in K \) y \( \kappa<\exp\kappa \). Ahora definimos

\( I(\kappa)\equiv \{A\mid A\subset K\cup\{\emptyset\}\land \kappa\in A\land \forall \mu(\mu\in A\rightarrow \exp\mu\in A)\land
 \)

\(
\forall B(B\subset A\cap K\land B\neq\emptyset\land \forall \mu\in B\exp\mu\in B\rightarrow \sup B\in A)\} \)

En palabras: \( I(\kappa) \) es el conjunto de todos los subconjuntos \( A \) de \( K\cup\{\emptyset\} \) que cumplen tres propiedades:

1) \( \kappa\in A \)

2) Si \( \mu\in A \) entonces \( \exp\mu\in A \)

3) Si \( B \) es un subconjunto no vacío de \( A\cap K \) con la propiedad de que para todo \( \mu\in B \) también \( \exp\mu\in B \), entonces el supremo de \( B \) está en \( A \).

Definimos \( C(\kappa)=\bigcap I(\kappa) \) y \( \Phi(\kappa)=C(\kappa)\setminus\{\emptyset\} \).

La idea es que \( C(\kappa) \) es el menor subconjunto de \( K \) que contiene a \( \kappa \) y del que no nos salimos ni aplicando exp a cualquiera de sus elementos ni tomando supremos de subconjuntos cerrados para exp. Si al aplicar repetidamente exp y tomar supremos llegamos a salirnos de K y nos aparece el conjunto vacío, al final lo eliminamos definiendo \( \Phi(\kappa) \).

Estas ideas se plasman en las propiedades siguientes, que son inmediatas a partir de la definición (notemos únicamente que \( I(\kappa)\neq \emptyset \), porque \( K\in I(\kappa) \)).

a) \( \Phi(\kappa)\subset K\land \kappa\in \Phi(\kappa) \)

b) \( \forall \mu(\mu\in \Phi(\kappa)\land \exp\mu\neq\emptyset\rightarrow \exp\mu\in \Phi(\kappa)) \)

c) \( \forall B(B\subset\Phi(\kappa)\land B\neq \emptyset\land \forall \mu\in B\ \exp\mu\in B\rightarrow \sup B\in \Phi(\kappa)) \)

Por ejemplo, b) se demuestra observando que si \( \mu\in \Phi(\kappa) \), entonces está en todos los elementos de \( I(\kappa) \), luego \( \exp\mu \) también está en todos los elementos de \( I(\kappa) \), luego está en \( C(\kappa) \) y como no es vacío, está en \( \Phi(\kappa) \). Pero lo más importante es que \( \Phi(\kappa) \) es el mínimo conjunto que cumple estas propiedades:

d) Si un conjunto \( A \) cumple

d1) \( A\subset\kappa\land\kappa\in A \)

d2) \( \forall\mu(\mu\in A\land \exp\mu\neq\emptyset\rightarrow \mu\in A) \)

d3) \( \forall B(B\subset A\land B\neq\emptyset\land \forall \mu(\mu\in B\land \exp\mu\neq\emptyset\rightarrow \sup B\in A)) \)

entonces \( \Phi(\kappa)\subset A \).

En efecto, basta observar que \( A\cup\emptyset\in I(\kappa) \).

De aquí deducimos varias consecuencias:

e) Todo \( \mu\in \Phi(\kappa) \) está en uno de los tres casos siguientes: \( \mu=\kappa \) o bien \( \mu=\exp\nu \), para cierto \( \nu\in \Phi(\kappa) \), o bien \( \mu=\sup B \), para cierto conjunto no vacio \( B\subset \Phi(\kappa) \) cerrado para exp.

Para probarlo basta aplicar d) al conjunto

\( A\equiv\{\mu\mid \mu\in \Phi(\kappa)\land (\mu=\kappa\lor \exists \nu\in \Phi(\kappa)\ \mu=\exp\nu) \)

\(
\lor \exists B(B\subset \Phi(\kappa)\land B\neq \emptyset\land \forall \mu\in B\ \exp\mu\in B\land \mu=\sup B))\} \)

f) \( \mu\in \Phi(\kappa)\rightarrow \kappa\leq\mu \).

Basta aplicar d) al conjunto \( A\equiv\{\mu\mid \mu\in K\land \kappa\leq \mu\} \).

g) \( \forall\mu\nu\in \Phi(\kappa)(\exp\nu\neq\emptyset\rightarrow \mu\leq\nu\lor 2^\nu\leq\mu) \)

Es decir, \( 2^\nu \) es el inmediato sucesor de \( \nu \) en \( \Phi(\kappa) \).

Demostración

Fijamos un \( \nu\in \Phi(\kappa) \) tal que \( \exp\nu\neq\emptyset \) y supongamos que existe un \( \mu\in\Phi(\kappa) \) tal que \( \nu<\mu<2^\nu \). Podemos tomar el menor \( \nu \) posible y, para dicho \( \nu \), tomamos el menor \( \mu \) posible.

No puede ser \( \mu=\kappa \), pues entonces \( \mu\leq\nu \) por f).

Tampoco puede ser que \( \nu \) sea el supremo de un conjunto \( B\subset \Phi(\kappa) \) cerrado para exp, pues entonces, o bien \( \forall\xi\in B\ \xi\leq \nu \), en cuyo caso \( \mu\leq \nu \), o bien existe un \( \xi\in B \) tal que \( \nu\leq\xi \), pero \( \xi<\exp\xi\in B \), luego \( \xi<\mu \) y, por la minimalidad de \( \mu \), tenemos que \( 2^\nu\leq \xi<\mu \), contradicción.

Así pues, según e) existe un \( \xi\in \Phi(\kappa) \) tal que \( \mu=2^\xi \). Como \( \nu<2^\xi<2^\mu \), tiene que ser \( \xi<\nu \).

Ahora distinguimos las tres posibilidades para \( \nu \):

No puede ser \( \nu=\kappa \), pues entonces \( \xu\leq \xi \).

Tampoco puede ser que \( \nu \) sea el supremo de un conjunto cerrado para exp, pues entonces, como \( \xi<\nu \), sería \( \mu=2^\xi\leq \nu \).

Por lo tanto \( \nu=2^\pi \) para cierto \( \pi\in \Phi(\kappa) \), luego \( \pi<\nu \) y \( 2^\pi<2^\xi<2^\nu \), luego \( \pi<\xi<\nu=2^\pi \), en contra de la minimalidad de \( \nu \).

[cerrar]

h) Existe un único \( \mu\in \Phi(\kappa) \) tal que \( \exp\mu=\emptyset \) y, más concretamente, \( \mu \) es el máximo de \( \Phi(\kappa) \).

Demostración:

Si \( \forall \mu\in \Phi(\kappa)\ \exp\mu\neq \emptyset \), podríamos aplicar la propiedad c) a \( B=\Phi(\kappa) \) y concluir que \( \mu=\sup\phi(\kappa)\in \Phi(\kappa) \), pero entonces \( \mu<\exp\mu\in \Phi(\kappa) \), contradicción.

Basta probar que \( \mu \) es el máximo de \( \Phi(\kappa) \), pues entonces será obviamente el único con esta propiedad. Supongamos, pues, que existe \( \nu\in \Phi(\kappa) \) tal que \( \mu<\nu \). Podemos suponer que \( \nu \) es el mínimo posible.

No puede ser \( \nu=\kappa \), pues entonces \( \mu<\kappa \), en contra de f)

Tampoco puede ser que \( \nu \) sea el supremo de un subconjunto de \( \Phi(\kappa) \) cerrado para exp, pues entonces existiría un \( \xi \) en dicho conjunto tal que \( \mu<\xi<\nu \), pero como \( \exp\xi\neq\emptyset \), resulta que \( \mu<\xi\leq\kappa_1 \), luego \( \exp\mu\neq\emptyset \).

Por lo tanto \( \nu=\exp\xi \), para cierto \( \xi\in \Phi(\kappa), \xi<\nu \). Por la minimalidad de \( \nu \) tenemos que \( \xi\leq \mu<2^\xi \), pero esto contradice a g).

[cerrar]

Sólo necesitamos una última propiedad técnica:

i) \( \mu\in \Phi(\kappa)\leftrightarrow T(\mu)\in \Phi(T(\kappa)) \).

Demostración

Si existe un \( \mu\in \Phi(\kappa) \) tal que \( T(\mu)\notin \Phi(T(\kappa) \), podemos tomar el mínimo posible (aquí es importante que el conjunto cuyo mínimo estamos tomando está definido por una propiedad estratificada). Obviamente no puede ser \( \mu=\kappa \). Si \( \mu=2^\nu \), para un \( \nu\in \Phi(\kappa) \), por la minimalidad de \( \mu \) tenemos que \( T(\nu)\in \Phi(T(\kappa)) \), luego \( T(\mu)=2^{T(\nu)}=T(2^\nu)\in \Phi(T(\kappa)) \).

Si \( \mu=\sup B \), para cierto \( B\subset \Phi(\kappa) \) cerrado para exp, entonces \( C=\{T(\nu)\mid \nu\in B\}\subset \Phi(T(\kappa)) \) por la minimalidad de \( \mu \), y es fácil ver que \( T(\mu)=\sup C \). Esto implica que \( T(\mu)\in \Phi(T(\kappa)) \), contradicción. La implicación contraria se prueba igualmente.

[cerrar]

Puesto que \( \Phi(\kappa) \) tiene un máximo elemento, su ordinal será un ordinal sucesor. Esto justifica la definición siguiente:

Definición: Llamaremos \( \beta_0(\kappa)\equiv \text{ord}(\Phi(\kappa),\leq) \). Así cada ordinal \( \alpha\leq \beta_0(\kappa) \) es el ordinal de un segmento inicial de \( \Phi(\kappa) \), luego podemos definir

\( \beth_\alpha(\kappa)\equiv\mu\mid (\mu\in \Phi(\kappa)\land \text{ord}(\Phi(\kappa)^<_\mu,\leq)=\alpha). \)

Así \( \beth_\alpha(\kappa) \) es el \( \alpha \)-ésimo elemento de \( \Phi(\kappa) \). Notemos que el término \( \beth_\alpha(\kappa) \) está estratificado con tipo dos unidades menor que el tipo de \( \alpha \) y el mismo tipo que \( \kappa \). Por ello, técnicamente, la "función beth" no es una función, es decir, no podemos definir una función \( \beth(\kappa): \text{Ord}^<_{\beta_0(\kappa)}\longrightarrow K \), ya que para ello el tipo de \( \alpha \) tendría que ser el mismo que el de \( \beth_\alpha(\kappa) \).

Llamaremos \( \beta_0\equiv \beta_0(\aleph_0) \) y \( \beth_\alpha\equiv \beth_\alpha(\aleph_0) \).

Ahora probamos que la definició de \( \beth \) cumple lo que pretendíamos que cumpliera:

Teorema Para todo cardinal \( \kappa \) se cumple que \( \beth_0(\kappa)=\kappa \), si \( \alpha<\beta_0(\kappa) \) entonces \( \beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)} \) y si \( \lambda\leq \beth_0(\kappa) \) es un ordinal límite, entonces \( \beth_\lambda(\kappa)=\sup\{\beth_\delta(\kappa)\mid \delta<\lambda\} \).

Demostración:

\( \beth_0(\kappa) \) es el elemento de \( \Phi(\kappa) \) cuya sección inicial es vacía, es decir, su mínimo, que es \( \kappa \) por f).

\( \beth_\alpha(\kappa) \) y \( \beth_{\alpha+1}(\kappa) \) son los elementos de \( \Phi(\kappa) \) cuyas secciones iniciales tienen ordinal \( \alpha \) y \( \alpha+1 \) respectivamente, luego el segundo es el inmediato sucesor del primero en \( \Phi(\kappa) \), luego es \( 2^{\beth_\alpha(\kappa)} \) por g).

Si \( B=\{\beth_\delta(\kappa)\mid \delta<\lambda\} \), entonces \( \mu=\sup B\in \Phi(\kappa) \) por c) y la parte ya probada. Sea \( \alpha=\text{ord}(\Phi(\kappa)_\mu^<,\leq) \), de modo que \( \mu=\beth_\alpha(\kappa) \). Hay que probar que \( \alpha=\lambda \). Si \( \delta<\lambda \), entonces \( \beth_\delta(\kappa)<\mu \) determina un segmento de ordinal \( \delta \), necesariamente menor que \( \alpha \), luego \( \lambda\leq \alpha \). Si \( \delta<\alpha \), entonces existe un \( \nu<\mu \) cuyo segmento inicial tiene ordinal \( \delta \), pero entonces, por definición de \( \mu \), existe un \( \delta'<\lambda \) tal que \( \nu<\beth_{\delta'}(\kappa) \), luego \( \delta \) (el ordinal del segmento de \( \nu \)) es menor que \( \delta' \) (el ordinal del segmento de \( \beth_{\delta'}(\kappa) \)), luego \( \delta<\lambda \), con lo que \( \alpha\leq \lambda \).

[cerrar]

Necesitaremos un último resultado:

Teorema: Para todo cardinal \( \kappa \) y todo ordinal \( \alpha\leq \beta_0(\kappa) \) se cumple que \( T(\alpha)\leq \beta_0(T(\kappa)) \) y \( T(\beth_\alpha(\kappa))=\beth_{T(\alpha)}(T(\kappa)) \).

Demostración

Consideramos el conjunto

\( X=\{\alpha\mid \alpha\in \text{Ord}\land \alpha\leq \beta_0(\kappa)\land (\beta_0(T(\kappa))<T(\alpha)\lor
 \)

\(
(T(\alpha)\leq \beta_0(T(\kappa))\land T(\beth_\alpha(\kappa))\neq \beth_{T(\alpha)}(T(\kappa)))))\} \).

Basta probar que es vacío. En caso contrario tiene un mínimo elemento \( \alpha\leq \beta_0(\kappa) \), de modo que si \( \delta<\alpha \) entonces

\( T(\delta)\leq \beta_0(T(\kappa))\land T(\beth_\delta(\kappa))=\beth_{T(\delta)}(T(\kappa)) \).

Por i) tenemos que \( T(\beth_\alpha(\kappa))\in \Phi(T(\kappa)) \). Veamos que el conjunto

\( Y=\{\beth_{T(\delta)}(T(\kappa)\mid \delta<\alpha)\} \)

está formado por los elementos de \( \Phi(T(\kappa)) \) menores que \( T(\beth_\alpha(\kappa)) \). En efecto, si \( \mu\in \Phi(T(\kappa9) \) cumple \( \mu<T(\beth_\alpha(\kappa)) \), por i) tenemos que \( T^{-1}(\mu)\in \Phi(\kappa) \), luego \( T^{-1}(\mu)<\beth_\alpha(\kappa) \) y \( \mu=\beth_{T(\delta)}(T(\kappa)) \).

Así pues, basta probar qe el ordinal de \( Y=\phi(T(\kappa))^<_{T(\beth_\alpha(\kappa))} \) es \( T(\alpha) \). Para ello tomamos un conjunto bien ordenado tal que \( \text{ord}(A,\leq)=\alpha \) y definimos una aplicación \( f:\mathcal P_1A\longrightarrow Y \) mediante

\( f(\{a\})=\beth_{T(\text{ord}(A_a^<,\leq))}(T(\kappa)) \).

(Aquí es crucial que el miembro derecho y \( \{a\} \) tienen el mismo tipo.) Es claro que \( f \) es una semejanza, luego \( \text{ord}(Y,\leq)=\text{ord}(\mathcal P_1A,\leq)=T(\alpha) \), como había que probar.

[cerrar]

Para terminar observamos que si un cardinal cumple \( T(\kappa)=\kappa \) entonces \( \kappa\leq \kappa_1 \) y \( T(2^\kappa)=2^\kappa \). En efecto, \( \kappa\leq \kappa_0 \), luego \( \kappa= T(\kappa)\leq T(\kappa_0)=\kappa_1 \) y \( T(2^\kappa)=T(2)^{T(\kappa)}=2^\kappa \).

Por lo tanto, como \( T(\aleph_0)=\aleph_0 \), está definido \( \beth_1 \) y cumple \( T(\beth_1)=T(2^{\aleph_0})=2^{\aleph_0}=\beth_1 \), luego está definido \( \beth_2 \) y cumple \( T(\beth_2)=\beth_2 \) y, en general, tenemos definidos los cardinales

\( \beth_0<\beth_1<\beth_2<\beth_3<\cdots \),

lo cual no significa que \( \beth_n \) esté definido para todo \( n\in \mathbb{N} \).

[Carlos Ivorra]

Recordemos que los axiomas de NFA no afirman la existencia de átomos, sino que meramente permiten su existencia. En principio, podríamos haber evitado la distinción entre átomos y conjuntos y haber desarrollado toda la teoría bajo el supuesto de que todos los objetos son conjuntos. Esto es lo que hace la teoría original de Quine, NF.

Más aún, si examinamos todos los razonamientos que hemos hecho hasta ahora, no es que en ninguno de ellos se haya supuesto la existencia de átomos, sino que ni siquiera ha sido necesario contemplar explícitamente dicha posibilidad, es decir, nunca ha hecho falta distinguir casos como: "si \( x \) es un átomo razonamos así, y si es un conjunto razonamos de esta otra forma", o "si el conjunto \( X \) contiene átomos entonces pasa esto, mientras que si no contiene átomos pasa esto otro".

A la vista de lo visto, sería razonable pensar que tanto la existencia como la no existencia de átomos es consistente con los axiomas de NFA, y nada parece cambiar porque añadamos el axioma de elección. Sin embargo no es así. Ahora vamos a probar que el axioma de elección permite demostrar la existencia de átomos o, lo que es lo mismo, la teoría NF, en la que no existen átomos, es contradictoria con el axioma de elección. Respecto a la situación sin el axioma de elección, no se sabe cuál es: nadie ha construido nunca un modelo de NFA (necesariamente que no cumpla el axioma de elección) en el que no haya átomos, por lo que no se sabe si NF es consistente. En el caso de NFA + AE es posible construir modelos (con átomos) a partir de modelos de teorías más débiles que ZFC, por lo que NFA + AE es consistente si ZFC es consistente.

Mantenemos la notación del post anterior en el que hemos construido la función beth. Necesitamos unos pocos hechos adicionales:

a) Si \( \kappa\leq \kappa_1 \), entonces \( |\Phi(\kappa)|\geq 2 \).

En efecto, sabemos que si \( \kappa\leq \kappa_1 \) está definido \( \exp \kappa\neq \emptyset \), por lo que \( \kappa,\exp\kappa\in \Phi(\kappa) \).

b) Si \( \kappa_1<\kappa \), entonces \( |\Phi(\kappa)|=1 \).

En efecto, se cumple que \( \Phi(\kappa)=\{\kappa\} \), pues \( \exp\kappa=\emptyset \) y basta tomar \( A=\{\kappa\} \) en la propiedad d) del post anterior.

c) Si \( \kappa\leq\kappa_1 \), entonces \( |\Phi(\kappa)|=|\Phi(\exp \kappa)|+1 \).

Aplicamos dos veces la propiedad d) del post anterior para concluir que \( \Phi(\kappa)=\{\kappa\}\cup \Phi(\exp\kappa) \). Tomando \( A=\{\kappa\}\cup \Phi(\exp\kappa) \) concluimos que \( \Phi(\kappa)\subset \{\kappa\}\cup\Phi(\exp\kappa) \) y con \( A=\Phi(\kappa) \) obtenemos que \( \Phi(\exp\kappa)\subset \Phi(\kappa) \). Además \( \kappa\notin \Phi(\exp\kappa) \), pues en caso contrario sería \( \exp\kappa\leq\kappa \).

d) Si \( \Phi(T(\kappa)) \) es finito, entonces \( \Phi(\kappa) \) es finito.

Basta considerar \( f:\mathcal P_1\Phi(\kappa)\longrightarrow \Phi(T(\kappa)) \) dada por \( f(\{\mu\})=T(\mu) \). La definición es correcta porque está estratificada y por la propiedad i) del post anterior. Obviamente es inyectiva, luego \( |\mathcal P_1\Phi(\kappa)| = T(|\Phi(\kappa)|) \) es finito, luego \( |\Phi(\kappa)| \) también es finito.

Ahora ya podemos demostrar el teorema principal:

Teorema (Specker) \( |\mathcal PV|<|V| \)

Demostración:

En general se cumple que \( |\mathcal PV| \leq |V| \). Supongamos que \( |\mathcal PV| =|V| \), es decir, que \( \exp \kappa_1 = \kappa_0 \) (recordemos que \( |\mathcal PV| = 2^{T(|V|)}=2^{\kappa_1}=\exp\kappa_1 \)).

\( \bullet \) Si \( \kappa_1<\kappa \) entonces \( |\Phi(T(\kappa))|=2 \) o \( 3 \).

En efecto, tenemos que \( T(\kappa_1)<T(\kappa)\leq T(\kappa_0)=\kappa_1 \), luego

\( \exp T(\kappa)\geq \exp T(\kappa_1) = T(\exp\kappa_1)=T(\kappa_0)=\kappa_1 \).

Si \( \exp T(\kappa)=\kappa_1 \), entonces es fácil ver que \( \Phi(T(\kappa))=\{T(\kappa),\kappa_1,\kappa_0\} \).

Si \( \exp T(\kappa)>\kappa_1 \), entonces \( \Phi(T(\kappa))=\{T(\kappa),\exp T(\kappa)\} \).

\( \bullet \) Si \( \Phi(\kappa) \) es finito, entonces \( |\Phi(T(\kappa))|=T(|\Phi(\kappa)|)+1 \) o \( |\Phi(T(\kappa))|=T(|\Phi(\kappa)|)+2 \).

En efecto, esta afirmación está estratificada, luego podemos considerar el conjunto de todos los cardinales \( \kappa \) que no la cumplen. Si existiera alguno, podríamos tomar uno de ellos con \( |\Phi(\kappa)| \) mínimo.

Si \( |\Phi(\kappa)|=1 \), necesariamente \( \exp \kappa=\emptyset \), luego \( \kappa_1<\kappa \), luego \( |\Phi(T(\kappa))|=2 \) o \( 3 \) por el apartado anterior. Como \( T(|\Phi(\kappa)|)=T(1)=1 \), resulta que \( \kappa \) no es un contraejemplo y tenemos una contradicción.

Si \( |\Phi(\kappa)|>1 \), entonces \( \kappa\leq \kappa_1 \) por b), y hemos visto que \( |\Phi(\kappa)|=|\Phi(\exp\kappa)|+1 \), luego \( |\Phi(\exp\kappa)|<|\Phi(\kappa)| \), porque son cardinales finitos. Por la minimalidad de \( |\Phi(\kappa)| \) tenemos que

\( |\Phi(T(\exp\kappa))|=T(|\Phi(\exp\kappa)|)+1 \) o \( |\Phi(T(\exp\kappa))|=T(|\Phi(\exp\kappa)|)+2 \)

y por consiguiente

\( |\Phi(T(\kappa))|=|\Phi(\exp T(\kappa))|+1 = |\Phi(T(\exp\kappa))|+1 = T(|\phi(\exp\kappa)|)+2 \text{ o } 3 \)

\(  = T(\Phi(\kappa))+ 1\text{ o }2 \),

luego \( \kappa \) tampoco es un contraejemplo al enunciado, contradicción.

\( \bullet \) Sea \( A = \{\kappa\mid \kappa\in K\land \Phi(\kappa)\text{ es finito}\} \).

Tenemos que \( A \) no es vacío, pues \( \Phi(\kappa_0)=\{\kappa_0\} \), luego podemos tomar su mínimo elemento \( \kappa \). Como \( \Phi(\kappa) \) es finito, también lo es el cardinal \( T(|\Phi(\kappa)|) \) (porque T transforma cardinales finitos en cardinales finitos), y acabamos de probar que entonces \( \Phi(T(\kappa)) \) también es finito. Por la minimalidad de \( \kappa \) tiene que ser \( \kappa\leq T(\kappa)\leq T(\kappa_0)=\kappa_1 \), luego \( \mu = T^{-1}(\kappa)\leq \kappa \).

Como \( \Phi(T(\mu))=\Phi(\kappa) \) es finito, la propiedad d) nos da que \( \Phi(\mu) \) es finito, luego \( \kappa\leq \mu \) por la minimalidad de \( \kappa \). En definitiva, \( \kappa=\mu \), luego la última afirmación que hemos probado se reduce a que \( |\Phi(\kappa)| =|T(\Phi(\kappa))|+1\text{ o }2 \).

En definitiva, hemos encontrado un número natural \( n=|\Phi(\kappa)| \) tal que \( n=T(n)+1 \) o bien \( n=T(n)+2 \), pero esto es imposible, ya que, como T conserva sumas y productos y \( T(1)=1 \), se cumple que \( n \) es par si y sólo si \( T(n) \) es par, luego no puede darse la igualdad  \( n=T(n)+1 \). La otra alternativa tampoco es posible, porque \( n \) y  \( T(n) \) son congruentes módulo \( 3 \). Esta contradicción termina la prueba del teorema.


Ahora la existencia de átomos es inmediata. Observemos que \( \mathcal PV \) es el conjunto \( C \) de todos los conjuntos, luego si definimos \( A \) como el conjunto de todos los átomos, tenemos que \( V=\mathcal PV+A \), donde la unión es disjunta. Como \( \mathcal PV \) es infinito, el teorema anterior implica que \( |V|=|\mathcal PV|+|A|=|A| \), luego el teorema anterior equivale a que \( |\mathcal PV|<|A| \).

Así pues, no es que existan átomos, sino que existen más átomos que conjuntos, lo cual es bastante curioso, dado que cada átomo \( a \) permite formar al menos un conjunto \( \{a\} \).

[Carlos Ivorra]

En NFA hemos demostrado los axiomas de Peano y, en particular, el principio de inducción:

\( \forall X(X\subset \mathbb{N}\land 0\in X\land \forall n\in X\ n+1\in X\rightarrow X=\mathbb{N}) \).

Sin embargo, no todas las demostraciones por inducción que podemos considerar "razonables" son formalizables en NFA. Veamos un ejemplo sencillo. El "teorema" siguiente no es demostrable en NFA:

Si A es un conjunto de cardinal \( m\in \mathbb{N} \) cuyos elementos son conjuntos disjuntos dos a dos de cardinal \( n\in \mathbb{N} \), entonces \( |\bigcup A|=mn \).

Para demostrar esto, una forma razonable de abordar el problema sería razonar por inducción sobre m. Con precisión, esto significa considerar la fórmula

\( \phi(m)\equiv m\in \mathbb{N}\land \forall A(|A|=m\land \forall x\in A\ (\text{cto}\,x\land |x|=n\land{} \)

\( \forall xy\in A(x\neq y\rightarrow x\cap y=\emptyset)\rightarrow |\bigcup A|=mn) \).

No hay ninguna dificultad en demostrar em NFA que se cumple \( \phi(0)\land \forall m\in \mathbb{N}\ (\phi(m)\rightarrow \phi(m+1)) \). Sin embargo, de aquí no podemos concluir que \( \forall m\in \mathbb{N}\ \phi(m) \).

En efecto, para poder aplicar el principio de inducción necesitamos definir el conjunto

\( X=\{m\mid \phi(m)\} \),

y no podemos garantizar la existencia de este conjunto porque la fórmula \( \phi \) no está estratificada. En efecto, si intentamos estratificarla obtenemos:

\( m_1\in \mathbb{N}_2\land \forall A_1(|A_1|_2=m_2\land \forall x_0\in A_1\ (\text{cto}\,x_0\land |x_0|_1=n_1\land{} \)

\( \forall x_0y_0\in A_1(x_0\neq y_0\rightarrow x_0\cap y_0=\emptyset_0)\rightarrow |\bigcup A_1|_1=m_1n_1) \).

Vemos que la primera aparición de la variable \( m \) está forzada a tener tipo 2 si \( A \) tiene tipo 1, mientras que, en su segunda aparición, el tipo 1 de la variable \( A \) hace que \( \bigcup A \) tenga tipo 0, luego su cardinal tiene tipo 1, luego \( m \) y \( n \) han de tener tipo 1 para que su producto \( mn \) tenga también tipo 1. Así pues, como no podemos asignar un único tipo a \( m \), concluimos que \( \phi \) no puede estratificarse.

En general, para demostrar por inducción en NFA que todos los números naturales cumplen una propiedad \( \phi(m) \) necesitamos que la fórmula \( \phi \) esté estratificada.

Si alguien intenta demostrar el "teorema" de una forma más directa (por ejemplo, construyendo una biyección entre \( \bigcup A \) y el producto cartesiano de \( A \) y un conjunto de cardinal \( n \)), se encontrará inevitablemente con problemas relacionados con la estratificación que le impedirán concluir la prueba.

Veamos un caso más flagrante y llamativo:

Para cada número natural \( n \) podemos definir \( I_n=\{m\mid m\in \mathbb{N}\land 1\leq m\leq n\} \) o, más informalmente, \( I_n=\{1,\ldots, n\} \). Parece que la respuesta a "¿cuál es el cardinal de \( I_n \)?" es obvia y, sin embargo, no es posible demostrar en NFA que \( \forall n\in \mathbb{N}\ |I_n|=n \).

Podemos demostrar que \( I_0 = \emptyset \) y que \( \forall n\in \mathbb{N}\ I_{n+1}=I_n\cup \{n+1\} \), de donde se sigue inmediatamente que \( |I_0|=0 \) y que \( \forall n\in \mathbb{N}\ |I_{n+1}|=|I_n|+1 \) o, incluso:

\( |I_0|=0\land \forall n\in \mathbb{N}\ (|I_n|=n\rightarrow |I_{n+1}|=n+1) \).

Sin embargo, esto no permite concluir que \( \forall n\in \mathbb{N}\ |I_n|=n \). Nuevamente, para que la inducción fuera válida en NFA seria necesario contar con el conjunto

\( X=\{n\mid n\in \mathbb{N}\land |I_n|=n\} \),

pero no podemos asegurar la existencia de este conjunto ya que la fórmula \( |I_n|=n \) no está estratificada. Si asignamos a la variable \( n \) el tipo 0, por ejemplo, nos vemos obligados a asignar tipo 1 al término \( I_n \) y tipo 2 a su cardinal, luego no podemos igualar este cardinal a \( n \) sin violar la estratificación.

Las restricciones de estratificación no limitan únicamente los razonamientos por inducción. Por ejemplo, si tenemos una relación de equivalencia \( R \) en un conjunto \( X \), podemos definir el conjunto cociente \( X/R \), pero no podemos definir la proyección canónica \( p: X\longrightarrow X/R \) dada por \( p(x) = [x]_R \), pues el tipo de la clase de equivalencia es una unidad superior al tipo de \( x \), mientras que para definir una aplicación a partir del teorema de formación de conjuntos necesitamos que en la definición \( x \) y \( p(x) \) tengan el mismo tipo.

Una ligera variante de este inconveniente es que si, por ejemplo, construimos \( \mathbb{Z} \) de la forma habitual, como un cociente de \( \mathbb{N}\times \mathbb{N} \) respecto de una relación de equivalencia, no podemos definir la aplicación \( i:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{Z} \) que identifica a cada número natural con un número entero, y lo mismo pasa al construir \( \mathbb{Q} \) a partir de \( \mathbb{Z} \), etc.

Similarmente, no sólo no podemos demostrar que todo conjunto \( X \) cumple \( |X|<|\mathcal PX| \), sino que ni siquiera podemos demostrar que \( |X|\leq |\mathcal PX| \), pues en el mensaje anterior hemos visto que \( |\mathcal PV|<|V| \). En particular, esto significa que no existe la aplicación \( V\longrightarrow V \) dada por \( x\mapsto \{x\} \), lo cual no es contradictorio, ya que la definición no está estratificada y nada nos asegura que tenga que existir.

Estos hechos hacen que NFA resulte inviable como alternativa a ZFC como base del razonamiento matemático, es decir, como teoría marco en la que formalizar todas las matemáticas usuales (donde el matiz "usuales" pretende excluir los resultados que requieren hipótesis adicionales como la hipótesis del continuo, etc.). Ahora bien, sucede que NFA puede extenderse con axiomas que relajen parcialmente los requisitos de estratificación, de modo que los problemas que acabamos de mostrar se resuelvan satisfactoriamente (o, por lo menos, de forma que no sea descabellado sentirse satisfecho con la solución, aunque ahí ya entran los gustos de cada cual).

El más básico de estos axiomas es el llamado axioma de cómputo, (AC), propuesto originalmente por Rosser, y que es precisamente la afirmación \( \forall n\in \mathbb{N}\ |I_n|=n \). Aunque aparentemente así resolvamos sólo uno de los muchos problemas que podemos encontrarnos al tratar de usar NFA como "teoría de conjuntos básica" mediante un remedio ad hoc, sucede que esta afirmación tiene muchas consecuencias que bastan para convertir a NFA en una teoría "manejable". (De hecho, todos los problemas que hemos puesto como ejemplo en este mensaje se resuelven con AC). No obstante, hay otros axiomas que nos proporcionan un mayor grado de lo que Holmes llama "subversión" (de la estratificación), es decir que nos permiten definir conjuntos mediante fórmulas no estratificadas (siempre que se cumpla alguna otra condición, pues si elimináramos completamente las restricciones de estratificación estaríamos abriendo la puerta a todas las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos).

Algunos de estos axiomas adicionales (entre ellos AC) tienen la propiedad de que, al añadirlos a NFA, la teoría que obtenemos sigue siendo más débil que ZFC, en el sentido de que puede probarse que si ZFC es consistente, entonces NFA + AC es consistente. Otros dan lugar a teorías más fuertes que ZFC, en el sentido de que puede probarse que si NFA más el axioma en cuestión es consistente, entonces también lo es ZFC, mientras que el recíproco no puede probarse.

Notemos que no es evidente cómo sacar partido al aparentemente modesto axioma de cómputo. Por ello dedicaremos el próximo mensaje a introducir (sin salir de NFA) algunos conceptos que serán útiles para expresar posibles violaciones de la estratificación consistentes con la teoría, y en el mensaje siguiente usaremos AC para demostrar algunos resultados de subversión expresados en términos de los conceptos estudiados previamente.

La idea básica es que en el próximo mensaje definiremos los llamados conjuntos cantorianos y conjuntos fuertemente cantorianos, que vienen a ser un análogo a los conjuntos que pueden definirse en ZFC, de tal forma que relajar las condiciones de estratificación sobre ellos no da lugar a contradicciones. Así, por ejemplo, probaremos que \( \mathbb{N} \) es un conjunto cantoriano, mientras que \( V \) no lo es. Por eso podemos tomarnos ciertas libertades con \( \mathbb{N} \) que no podríamos tomarnos con \( V \) sin caer en contradicciones.

[Carlos Ivorra]

Recordemos que la versión del teorema de Cantor que puede probarse en NFA es la que afirma que \( |\mathcal P_1X|<|\mathcal PX| \), donde \( \mathcal P_1X = \{\{x\}\mid x\in X\} \). Recordemos también que tenemos definido un operador \( T \) sobre los cardinales de modo que \( T(|X|) = |\mathcal P_1X| \). Puesto que la exponenciación de cardinales ha sido definida de modo que \( |\mathcal PX| = T(2^{|X|}) \), resulta que el teorema de Cantor en términos de la exponencial es idéntico al de ZFC: \( \kappa<2^\kappa \).

Lo "razonable" sería que \( |\mathcal P_1X| = |X| \) o, equivalentemente, que el operador \( T \) fuera la identidad. Sin embargo, hemos visto que \( T(|V|)<|V| \). Ahora bien, sucede que estas patologías sólo se dan (o, al menos, es consistente que sólo se den) en los conjuntos "extraños" (para alguien familiarizado con ZFC). Para precisar esta idea introducimos la definición siguiente:

Definición: Un conjunto \( X \)  es cantoriano si \( |\mathcal P_1X| = |X| \) y es fuertemente cantoriano si existe una aplicación \( f: X\longrightarrow \mathcal P_1X \) tal que \( \forall x\in X\ f(x)=\{x\} \).

Observemos que a partir de los axiomas de NFA no podemos asegurar en general que exista la aplicación que aparece en la definición de conjunto fuertemente cantoriano, pues la fórmula que la define como conjunto no está estratificada, pero el hecho de que el axioma de formación de conjuntos no asegure su existencia no significa que no se pueda probar su existencia de otro modo o, al menos, que no sea consistente que exista. En algunos casos no lo será, pero en otros puede serlo.

Desde luego, si existe la aplicación de la definición de conjunto fuertemente cantoriano, es claramente biyectiva, luego todo conjunto fuertemente cantoriano es cantoriano.

Observamos a continuación que estos dos conceptos dependen únicamente del cardinal de un conjunto, pues si dos conjuntos \( X \) e \( Y \) tienen el mismo cardinal, existe una biyección \( g: X\longrightarrow Y \), la cual induce una biyección \( \bar g:\mathcal P_1X\longrightarrow \mathcal P_1Y \) dada por \( \bar g(\{x\})=\{g(x)\} \) (notemos que la definición de \( \bar g \) está estratificada), luego si \( X \) es cantoriano, tenemos que \( |Y| = |X| = |\mathcal P_1X| = |\mathcal P_1Y| \), luego \( Y \) también es cantoriano.

Igualmente, si \( X \) es fuertemente cantoriano y consideramos la biyección \( f: X\longrightarrow \mathcal P_1X \) dada por la definición, sucede que la composición \( \bar g\circ f\circ g^{-1} \) es precisamente la aplicación \( y\mapsto \{y\} \), luego \( Y \) es también fuertemente cantoriano.

Esto da sentido a la definición siguiente:

Definición: Un cardinal \( \kappa \) es cantoriano (resp. fuertemente cantoriano) si los conjuntos de cardinal \( \kappa \) son cantorianos (resp. fuertemente cantorianos).

Teniendo en cuenta la definición del operador \( T \), es evidente que un cardinal es cantoriano si y sólo si \( T(\kappa)=\kappa \).

Alternativamente, un conjunto \( X \) es cantoriano si y sólo si cumple el teorema de Cantor en su versión de ZFC, es decir, si y sólo si \( |X|<|\mathcal PX| \).

Recordemos que tenemos definido también un operador \( T \) sobre ordinales, de modo que si \( \alpha = \mbox{ord}(A,\leq) \), entonces \( T(\alpha) \) es el ordinal del conjunto \( \mathcal P_1A \) con el orden dado por \( \{x\}\leq_1\{y\}\leftrightarrow x\leq y \).

Diremos que un ordinal es cantoriano si cumple \( T(\alpha) = \alpha \).

La relación \( \text{card}(T(\alpha))=T(\text{card}(\alpha)) \) implica que si \( \alpha \) es un ordinal cantoriano entonces \( \mbox{card}(\alpha) \) es un cardinal cantoriano, aunque el recíproco no es necesariamente cierto.

Con más detalle: si \( \alpha = \mbox{ord}(A,\leq) \), entonces \( \text{card}(\alpha) = |A| \). Si \( \alpha \) es cantoriano entonces el conjunto bien ordenado \( (\mathcal P_1A,\leq_1) \) es semejante a \( (A,\leq) \), luego en particular \( \mathcal P_1A \) tiene el mismo cardinal que \( A \), luego \( A \) es cantoriano y \( \text{card}(\alpha) \) también. Pero la existencia de una biyección entre \( A \) y \( \mathcal P_1A \) no implica que dicha biyección sea una semejanza.

Diremos que un ordinal \( \alpha \) es fuertemente cantoriano si \( \text{card}(\alpha) \) es un cardinal fuertemente cantoriano.

En tal caso, si \( \alpha = \text{ord}(A,\leq) \) tenemos una biyección \( A\longrightarrow \mathcal P_1A \) dada por \( x\mapsto \{x\} \), y esta biyección concreta sí que es una semejanza \( (A,\leq)\longrightarrow (\mathcal P_1A,\leq_1) \), por lo que \( T(\alpha)=\alpha \) y \( \alpha \) es cantoriano.

Veamos algunas propiedades:

Teorema: Se cumple:

a) Todo subconjunto de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano.

b) Si \( \kappa \) es un cardinal fuertemente cantoriano, todo cardinal \( \mu\leq \kappa \) es fuertemente cantoriano.

c) Si \( \alpha \) es un ordinal fuertemente cantoriano, todo ordinal \( \beta\leq\alpha \) es fuertemente cantoriano.

d) Si \( X \) es un conjunto (fuertemente) cantoriano, \( \mathcal PX \) también lo es.

e) Si \( \kappa \) es un cardinal (fuertemente) cantoriano, \( 2^\kappa \) también lo es.

f)  Si \( \kappa \) es un cardinal (fuertemente) cantoriano, \( \kappa^+ \) también lo es.

Demostración

a) Si \( X \) es fuertemente cantoriano e \( Y\subset X \), existe \( f: X\longrightarrow \mathcal P_1X \) tal que \( f(x)=\{x\} \), y es claro que \( f|_Y \) cumple la definición para \( Y \).

b) es consecuencia inmediata de a), y a su vez c) es consecuencia de b).

d) Si \( X \) es cantoriano, entonces \( T(|X|)=|X| \), luego

\( T(|\mathcal PX|) = T(2^{T(|X|)} = T(2^{|X|})=|\mathcal PX| \),

luego \( \mathcal PX \) es cantoriano.

Si \( X \) es fuertemente cantoriano, sea \( f: X\longrightarrow \mathcal P_1X \) según la definición y sea \( \bar f: \mathcal PX\longrightarrow \mathcal P\mathcal P_1X \) la aplicación dada por \( \bar f(A) = f[A] \), claramente bien definida, y sea \( g_ \mahtcal P\mathcal P_1X\longrightarrow \mathcal P_1\mathcal PX \) la biyección dada por

\( g(A)=\{\bigcup A\} \),

que también está definida, pues la unión baja una unidad el tipo y \( \{\} \) lo vuelve a subir una unidad. Es fácil ver que \( g\circ \bar f: \mathcal PX\longrightarrow \mathcal P_1\mathcal PX \) viene dada por \( A\mapsto \{A\} \), luego \( \mathcal PX \) es fuertemente cantoriano.

e) Se sigue inmediatamente de d). Notemos no obstante que si \( \kappa \) es cantoriano, como \( \kappa\leq\kappa_0 \), tenemos que \( \kappa=T(\kappa)\leq T(\kappa_0)=\kappa_1 \), y ésta es la condición para que la exponencial \( 2^\kappa \) esté definida.

f) Observemos que si \( \kappa \) es cantoriano entonces \( \kappa<\kappa_0, \) pues ciertamente \( \kappa_0 \) no es cantoriano, luego está definido \( \kappa^+. \) Entonces \( T(\kappa^+)=T(\kappa)^+=\kappa^+, \) luego \( \kappa^+ \) es cantoriano.

Si \( \kappa \) es fuertemente cantoriano, entonces \(  \kappa^+\leq 2^\kappa \) y, como \( 2^k \) es fuertemente cantoriano por e), concluimos que \( \kappa^+ \) también lo es por b).

[cerrar]

Los recíprocos de todas las afirmaciones del teorema anterior son ciertas para conjuntos, cardinales y ordinales fuertemente cantorianos, pero en realidad se cumple algo más fuerte:

Teorema: Si \( \alpha \) es un ordinal tal que todo ordinal \( \delta<\alpha \) es cantoriano, entonces \( \alpha \) es fuertemente cantoriano, luego todo ordinal \( \delta<\alpha \) es fuertemente cantoriano.

Demostración

Podemos considerar la aplicación\(  f:\text{Ord}_\alpha^<\longrightarrow \mathcal P_1(\text{Ord}_\alpha^<) \) dada por \( f(\delta)=\{T^{-1}(\delta)\} \) (pues la definición está estratificada), pero por hipótesis no es sino \( \delta\mapsto \{\delta\} \), luego el conjunto \( \text{Ord}_\alpha^< \) es fuertemente cantoriano, luego \( |\text{Ord}_\alpha^<| = \text{card}(T^2(\alpha)) \) es un cardinal fuertemente cantoriano, luego \( T^2(\alpha) \) es un ordinal fuertemente cantoriano, luego cantoriano, luego \( T^3(\alpha)=T^2(\alpha) \), luego \( T(\alpha)=\alpha \), luego \( \alpha = T^2(\alpha) \) es fuertemente cantoriano.

[cerrar]

Ejemplo: Consideremos un conjunto con tres elementos, como \( X=\{0,1,2\} \). Entonces podemos definir

\( f=\{(0,\{0\}),(1,\{1\}), (2,\{2\})\} \)

y claramente \( f: X\longrightarrow \mathcal P_1X \) cumple \( \forall x\in X\ f(x)=\{x\} \), luego \( X \) es un conjunto fuertemente cantoriano y \( 3 \) es un cardinal fuertemente cantoriano.

Del mismo modo se puede probar que los cardinales \( 0, 1, 2, 3, \ldots \) son fuertemente cantorianos, lo cual no significa que podamos probar que todos los números naturales son cardinales fuertemente cantorianos, ni siquiera cantorianos.

Puesto que hemos probado que \( T(\aleph_\alpha) = \aleph_{T(\alpha)} \), es evidente que si \( \alpha \) es un ordinal cantoriano entonces \( \aleph_\alpha \) es un cardinal cantoriano. En particular podemos asegurar que los cardinales \( \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots \) son cantorianos, lo cual no significa que \( \aleph_n \) sea cantoriano para todo número natural \( n \).

Similarmente, también sabemos que \( T(\beth_\alpha) = \beth_{T(\alpha)} \), por lo que si \( \alpha \) es un ordinal cantoriano entonces \( \beth_\alpha \) es un cardinal cantoriano, luego \( \beth_0=2^{\aleph_0}, \beth_1, \beth_2\ldots \) son cardinales cantorianos, lo cual no significa que todo \( \beth_n \) lo sea.

También se cumple que \( T(\omega_\alpha)=\omega_{T(\alpha)} \), luego si \( \alpha \) es un ordinal cantoriano, también lo es \( \omega_\alpha \). En particular, los ordinales \( \omega=\omega_0, \omega_1, \omega_2,\ldots \) son cantorianos.

Sin embargo, como veremos, la propiedad realmente útil es la de ser fuertemente cantoriano, y en NFA no podemos probar siquiera que el cardinal \( \aleph_0 \) sea fuertemente cantoriano (ni que todos los números naturales lo sean). Ahí es donde entra en juego el axioma de cómputo que trataremos en el mensaje siguiente. De momento terminamos con una observación:

Teorema: No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos (resp. ordinales, cardinales) cantorianos.

Demostración

Si existiera el conjunto de los cardinales cantorianos, también existiría su complementario, el conjunto \( N \) de los cardinales no cantorianos, y habría un mínimo cardinal no cantoriano \( \kappa \). Si \( T(\kappa)<\kappa \), entonces \( T(\kappa) \) es cantoriano, luego \( T^2(\kappa)=T(\kappa) \), luego \( T(\kappa)=\kappa \) y \( \kappa \) es cantoriano, contradicción. Si \( \kappa<T(\kappa) \) entonces \( T^{-1}(\kappa)<\kappa \), luego \( T^{-1}(\kappa) \) es cantoriano, luego \( \kappa=T(\kappa) \) y \( \kappa \) es cantoriano, contradicción.

Para ordinales se razona análogamente. Si existiera el conjunto \( C \) de los conjuntos cantorianos, la aplicación \( \mathcal P_1C\longrightarrow K \) dada por\(  \{X\}\mapsto |X| \) tendría por imagen al conjunto de los cardinales cantorianos, y acabamos de probar que no existe tal conjunto.

[cerrar]

[Raúl Aparicio Bustillo]

 

sucede que NFA puede extenderse con axiomas que relajen parcialmente los requisitos de estratificación

Con axiomas adicionales conseguimos demostrar que existen "más" conjuntos definibles con fórmulas no estratificadas, eso imagino que resulta útil. Ahora, si mantenemos los axiomas que ya tenemos, está muy claro que ya tenemos colecciones perfectamente definibles que no existen como conjuntos en NFA (los conjuntos cantorianos, por ejemplo), la aplicación \(  x\longrightarrow{\color{red}\{x\}}  \) con dominio el conjunto de todos los átomos. No están estratificadas sus definiciones, no hay el menor síntoma de inconsistencia en la teoría, pero resulta bastante chocante que el hecho de considerar que las definiciones estratificadas definan conjuntos ya te obliga a que ciertas definiciones no estratificadas no sean conjuntos.

[Carlos Ivorra]

Hola. Te he retocado el LaTeX, porque si no, no se entendía.

Con axiomas adicionales conseguimos demostrar que existen "más" conjuntos definibles con fórmulas no estratificadas, eso imagino que resulta útil.

Poco menos que imprescindible.

Ahora, si mantenemos los axiomas que ya tenemos, está muy claro que ya tenemos colecciones perfectamente definibles que no existen como conjuntos en NFA (los conjuntos cantorianos, por ejemplo),

Supongo que te refieres a la colección de todos los conjuntos cantorianos. En efecto, así es.

la aplicación \(  x\longrightarrow{\color{red}\{x\}}  \) con dominio el conjunto de todos los átomos. No están estratificadas sus definiciones, no hay el menor síntoma de inconsistencia en la teoría,

No es que no haya síntomas de inconsistencia, sino que sabemos que la teoría es "más consistente" que ZFC, en el sentido de que la consistencia de ZFC implica la de NFA, pero no al revés, podría ocurrir que NFA fuera consistente y ZFC contradictorio, pero nunca al revés.

pero resulta bastante chocante que el hecho de considerar que las definiciones estratificadas definan conjuntos ya te obliga a que ciertas definiciones no estratificadas no sean conjuntos.

No creo que sea tan raro. Eso lo sabes desde el primer momento: la estratificación está puesta para evitar ante todo que se pueda probar que la colección de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos sea un conjunto, y de hecho podemos probar que no lo es porque de serlo sería paradójico. Son las paradojas las que permiten probar que determinadas colecciones no son conjuntos. Y eso será así en cualquier teoría de conjuntos.