Autor Tema: Usando identidad de Parseval

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27 Diciembre, 2011, 01:30 am
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pak-fa

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Considere la función \( 2\pi \) periódica \( f(x)=1 \) si \( 0\le x<\pi, \) \( f(x)=0 \) si \( -\pi\le x<0 \) y la identidad de Parseval para mostrar que \( \displaystyle\sum_{n\ge1}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8. \)

¿Cómo empiezo para resolver esto? :D

27 Diciembre, 2011, 09:29 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla

25 Octubre, 2020, 10:11 pm
Respuesta #2

marinavzqz

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hola yo también lo necesito y el link da error:(

25 Octubre, 2020, 10:34 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Considere la función \( 2\pi \) periódica \( f(x)=1 \) si \( 0\le x<\pi, \) \( f(x)=0 \) si \( -\pi\le x<0 \) y la identidad de Parseval para mostrar que \( \displaystyle\sum_{n\ge1}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8. \)

¿Cómo empiezo para resolver esto? :D

¿No es trivial de la definición de la identidad de Parseval? La identidad de Parseval nos dice que para una función \( f \) cualquiera en un espacio de Hilbert tenemos que

\( \displaystyle{
\|f\|^2=\sum_{k\in \Gamma} |\langle f, e_k \rangle|^2
} \)

donde \( \{e_n\}_{n\in \Gamma } \) es una base ortonormal de ese espacio y \( \langle a,b \rangle \) el producto interior definido en ese espacio (y \( \|{\cdot} \| \) la norma asociada al mismo).

Asumo que el espacio de Hilbert en este caso es el espacio de funciones \( f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{C} \) con \( \|f\|^2:=\int_{-\pi}^\pi|f|^2<\infty  \) y producto interior definido por \( \langle f,g \rangle:=\int_{-\pi}^{\pi} fg \). La base ortonormal estándar en este espacio viene dada por las funciones \( \mathrm e_k(t):=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{ik t} \) para \( k\in \mathbb{Z} \), que dan lugar a los llamados coeficientes de Fourier, o que también se pueden calcular utilizando senos y cosenos descomponiendo \( \mathrm e_k \) es su parte real e imaginaria, es decir, otra base ortonormal de este espacio de Hilbert son las funciones

\( \displaystyle{
\mathrm s_k(t):=\frac1{\sqrt{\pi}}\sin (kt),\quad \mathrm c_k(t):=\frac1{\sqrt{\pi}}\cos (kt),\quad k\in \mathbb N\setminus\{0\}\\
\mathrm c_0(t):=\frac1{\sqrt{2\pi}}
} \)

Ahora es cuestión de poner todo lo anterior en orden para demostrar lo que te piden.