Pero entonces no sé cómo funciona esto que decís de que "de las tablas de verdad se puede deducir que la fórmula en cuestión es verdadera en cualquier modelo".
Veamos:
\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
M\vDash A[v]&M\vDash B[v]&M\vDash\lnot B[v]&M\vDash(A\Rightarrow \lnot B)[v]\\
\hline
V&V&F&F\\
V&F&V&V\\
F&V&F&V\\
F&F&V&V\\
\hline
\end{array}
\)
Interpretación: Tenemos dos fórmulas A y B (que pueden ser \( x\in A \) y \( x\in B \) o cualesquiera otras) y un modelo M. Cada una de las fórmulas (fijada una interpretación de las variables) es verdadera o falsa en M, luego tenemos los cuatro casos que indican las dos primeras columnas de la tabla.
La tercera columna se deduce de la definición de \( M\vDash \lnot B[v] \), que se cumple si y sólo si no se cumple \( M\vDash B[v] \), y la cuarta columna se deduce de la definición de \( M\vDash (A\Rightarrow \lnot B)[v] \), que se cumple si la premisa es falsa o la conclusión verdadera.
Añadiendo más columnas a la tabla y razonando del mismo modo se llega a que, en los cuatro casos se cumple
\( M\vDash ((A\Rightarrow \lnot B)\Leftrightarrow (B\Rightarrow \lnot A))[v] \)
(porque en su columna quedarán cuatro uves.)
Por lo tanto, la fórmula es verdadera en cualquier modelo.
Pero no me creo la primer parte...
No sé a qué te refieres.
A simple vista todo tiene sentido, y las tablas de verdad son muy creíbles, y me resultaría extraño que estuvieran mal,
pero no sé si es "legal".
Las tablas de verdad reflejan literalmente la definición de verdad en un modelo, son una forma de comprobar que una fórmula es siempre verdadera ni más ni menos legal que usar el algoritmo usual de la suma o de la multiplicación (me refiero a poner los números uno debajo del otro y empezar con las unidades, y pasar las decenas que sobren a la segunda columna, etc.) para calcular una suma o una multiplicación. Son sólo una forma de disponer los cálculos en dos dimensiones que es más "visual" que razonar en una dimensión.
Cuando decís "la tabla de verdad demuestra", ¿realmente "demuestra"?
¿Este uso de la tabla de verdad es parte de los cálculos usuales de la metamatemática, o es sólo un recurso informal?
No entiendo qué estás haciendo exactamente con eso ahí.
Creo que lo que acabo de decir responde a eso. Creo que es como si preguntas si el disponer los números así:
\( \begin{array}{ccc}
1&2&4\\
3&2&5\\
\hline
4&4&9
\end{array} \)
es formal o informal, o si demuestra que \( 124+325=449 \). Teóricamente la demostración sería:
\( 124+325=10^2+2\cdot 10+4+3\cdot 10^2+2\cdot 10+5 = 4\cdot 10^2+4\cdot 10+5 = 449 \)
¿Es equivalente? ¿Las dos formas son legales? ¿Las dos formas son formales? Ciertamente, trabajar en dos dimensiones rompe todos los esquemas teóricos sobre lo que es un lenguaje formal, pero ¿eso no da igual?