[john_reuer]

Tengo 3 problemas que no he podido hacer:

1) Dé un ejemplo tal que \( N \lhd A \) no implique \( \varphi (N) \lhd B \) cuando \( \varphi : A \rightarrow B \) es un homomorfismo arbitrario.

2) Pruebe que \( G = D_{4} \) contiene subgrupos \( A \) y \( B \) tales que \( A \lhd B \) y \( B \lhd G \) pero no se cumple \( A \lhd G \).

3) Sea \( \varphi : A \rightarrow B \) un homomorfismo de grupos. Pruebe que \( \varphi \) induce una correspondencia uno-a-uno, la cual preserva el orden, entre el conjunto de todos los subgrupos de \( A \) que contienen Ker \( \varphi \) y el conjunto de todos los subgrupos de \( B \) que están contenidos en Im \( \varphi \).


Para el primero, consideré el homomorfismo \( \varphi : \mathbb{Z}_{2} \rightarrow S_{3} \), dado por \( \varphi (0) = \rho_{0} \) y \( \varphi (1) = \mu_{1} \), donde \( \rho_{0} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\  1 & 2 & 3\end{bmatrix} \) son las rotaciones y \( \mu_{1}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix} \) son las reflexiones en los bisectores de los ángulos (Recuerde que \( S_{3} \) es igual al grupo simétrico de triángulos equilateros \( D_{3} \)). \( \mathbb{Z}_{2} \) es un grupo normal, y sé que \( \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \) no es un subgrupo normal de \( S_{3} \), pero no sé cómo probarlo.
¡Ayuda con esto, por favor!

Para los otros 2 problemas, no tengo ni idea de cómo hacerlos.

[Jorge klan]

Hola

Tal vez llego un poco tarde, pero lo dejo de todos modos.

1) Dé un ejemplo tal que \( N \lhd A \) no implique \( \varphi (N) \lhd B \) cuando \( \varphi : A \rightarrow B \) es un homomorfismo arbitrario.

Para el primero, consideré el homomorfismo \( \varphi : \mathbb{Z}_{2} \rightarrow S_{3} \), dado por \( \varphi (0) = \rho_{0} \) y \( \varphi (1) = \mu_{1} \), donde \( \rho_{0} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\  1 & 2 & 3\end{bmatrix} \) son las rotaciones y \( \mu_{1}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix} \) son las reflexiones en los bisectores de los ángulos (Recuerde que \( S_{3} \) es igual al grupo simétrico de triángulos equilateros \( D_{3} \)). \( \mathbb{Z}_{2} \) es un grupo normal, y sé que \( \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \) no es un subgrupo normal de \( S_{3} \), pero no sé cómo probarlo.
¡Ayuda con esto, por favor!

Un subgrupo es normal si es invariante bajo conjugación, luego basta encontrar un elemento de \( S_3 \) que no deja invariante al subgrupo \( \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \), por ejemplo, si consideras \( \mu_2=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix} \) te queda \( \mu_2 \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \mu_2^{-1}=\{\rho_{0},\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\} \).

2) Pruebe que \( G = D_{4} \) contiene subgrupos \( A \) y \( B \) tales que \( A \lhd B \) y \( B \lhd G \) pero no se cumple \( A \lhd G \).

Considera \( B=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \) (el cual es normal en \( G \), pues tiene índice 2) y \( A \) como el subgrupo generado por \( (14)(23) \) (intenta ver que no es normal en \( G \) conjugando por \( (1234) \))

Si no entiendes la notación en ciclos, nos dices para poder traducirla a permutación.

3) Sea \( \varphi : A \rightarrow B \) un homomorfismo de grupos. Pruebe que \( \varphi \) induce una correspondencia uno-a-uno, la cual preserva el orden, entre el conjunto de todos los subgrupos de \( A \) que contienen Ker \( \varphi \) y el conjunto de todos los subgrupos de \( B \) que están contenidos en Im \( \varphi \).

Primero prueba que si \( K \) es un subgrupo de \( A \), entonces \( \varphi(K) \) es un subgrupo de \( B \). Inversamente, si \( L \) es un subgrupo de \( B \), entonces \( \varphi^{-1}(L)=\{a\in A\mid \varphi(a)\in L\} \) es un subgrupo de \( A \). Inspírate en esto para construir tu correspondencia.

Saludos

[filomates]

No veo el problema 1 resuelto porque hemos de dar A y B, dos grupos, \(  N\triangleleft{A}  \) y \(  \phi (N)  \)  donde \(  \phi  \) debe ser un homomorfismo de grupos
En la resolución propuesta faltan elementos.
Propongo  \(  A= Z_4  \), \(  B= S_4  \), \(  N=\left\{{0,2}\right\}  \)
\(  \phi : Z_4  \longrightarrow{S_4} \) definida por \(  \phi (0)=identidad  \),  \(  \phi(1) = \begin{bmatrix} 1 & 2  & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}  \) definiéndose para 2 y 3 de manera coherente para que sea homomorfismo, \(  \phi(2)=\phi(1+1) = \phi(1) \circ{\phi(1)}  \), etc

Hay que darse cuenta de que \(  \phi (N)  \) son las rotaciones de \(  D_4   \subset{S_4}  \)

Para probar que \(  \phi (N)  \)  no es subgrupo normal de  \(  S_4  \) vemos que su conjugado no coincide con el mismo probando que \(  \mu  \phi (N) \mu^-1 \neq{\phi (N)}  \) para  un \(  \mu  \) apropiado.
Por ejemplo, \(  \mu =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}  \)

No pongo más detalles porque aún me cuesta mucho trabajar con LaTex
¿Creéis que esto funciona? ¿Es correcto?
¿Hacía falta o ya estaba resuelto el problema en las mensajes anteriores?
Gracias de antemano por vuestra atención. Espero que esto sirva para aclarar y no para "liar"
Saludos

[Jorge klan]

Hola

No veo el problema 1 resuelto porque hemos de dar A y B, dos grupos, \(  N\triangleleft{A}  \) y \(  \phi (N)  \)  donde \(  \phi  \) debe ser un homomorfismo de grupos. En la resolución propuesta faltan elementos.

Entiendo que john considera \( N=A=\mathbb{Z}_2 \) y \( B=S_3 \), ¿por qué dices que faltan elementos?

Propongo  \(  A= Z_4  \), \(  B= S_4  \), \(  N=\left\{{0,2}\right\}  \)
\(  \phi : Z_4  \longrightarrow{S_4} \) definida por \(  \phi (0)=identidad  \),  \(  \phi(1) = \begin{bmatrix} 1 & 2  & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}  \) definiéndose para 2 y 3 de manera coherente para que sea homomorfismo

Sólo un comentario: Un homomorfismo basta definirlo para el conjunto generador (en este caso \( 1 \) genera a \( Z_4 \), así que bastaba definirlo para este elemento), las imágenes de los otros elementos se obtienen inmediatamente como consecuencia de las propiedades de un homomorfismo.

Por lo demás, tu ejemplo es bueno. Si es que se requiere que el subgrupo \( N \) sea propio, tu ejemplo es el acertado.

Saludos

[john_reuer]

Muchas gracias a ambos por sus respuestas y sugerencias. De verdad me fueron de mucha ayuda.
En cuanto al primer problema, tomé \( N = A = \mathbb{Z}_{2} \), valiéndome del hecho de que todo grupo es subgrupo de sí mismo.

[john_reuer]

Ahora bien, me gustaría que, por favor, me echaran una mano en estos nuevos problemas:

1. Sean \( \varphi : A \rightarrow B \) y \( \psi : A \rightarrow C \) homomorfismos de grupos. Pruebe lo siguiente: si \( \psi \) es sobreyectiva, entonces \( \varphi \) se factoriza a través de \( \psi \) si y sólo si \( \text{Ker}\, \psi \subseteq \text{Ker}\, \varphi \), y entonces \( \varphi \) se factoriza únicamente a través de \( \psi \).

Con este problema, en el recíproco, no sé cómo usar el hecho de que \( \text{Ker}\, \psi \subseteq \text{Ker}\, \varphi \).

2. Sea \( N \) un subgrupo característico de un grupo \( G \). Pruebe que, si \( N \leq K \leq G \) y \( K/N \) es un subgrupo característico de \( G/N \), entonces \( K \) es un subgrupo característico de \( G \).