[Weierstrass]

Dada una función de distribución de una variable aleatoria ¿cómo reconocer si corresponde al caso de una variable discreta o continua?
¿En el caso de ser continua la variable entonces  es continua Fx?
Saludos

Weierstrass

[numbsoul]

Como \( F_{X} \) es monótona,el conjunto de puntos de discontinuidad es a lo sumo numerable.
Si \( R_{X} \) denota el conjunto de puntos de discontinuidad de \( F_{X} \),se tendrá que \( X \) es discreta si y solo si \( P(R_{X})=1 \)(Para un punto de discontinuidad \( x_{0} \) de \( F_{X} \),se cumple que \( p_{X}(x_{0})>0 \);y vale la recíproca,es decir si se cumple esto,entonces \( x_{0} \) es un punto de discontinuidad).

\( X \) será una variable aleatoria continua si su función de distribución es continua en todo punto(lo que equivale a \( p_{X}(x)=0\;\forall x\in\mathbb{R} \))

[Weierstrass]

Gracias, de esta manera si me presentan un función dada por trozos e identifico un solo punto de discontinuidad (además no es escalonada sino que tiene tramos lineales con pendiente) hay dos opciones:

1) Hay una equivocación en formulación del ejercicio, habría que salvar la discontinuidad.
2) No es continua en un punto, luego debe ser discreta.¿ Es posible que sea discreta y no sea escalonada?

Gracias

Weierstrass

[numbsoul]

Si esa única discontinuidad \( x_{0} \) se puede salvar de manera que \( F_{X} \) resulte continua,entonces la variable aleatoria será continua.
Si no puedes salvarla(es decir,no existe \( \displaystyle\lim_{x \to x_{0}}F_{X}(x) \)),entonces para asegurar que sea discreta,necesitas verificar que \( P_{X}(x_{0})=1 \)(esto es realmente necesario,pues existen variables aleatorias que no son discretas ni continuas)

Por otro lado,dada cualquier función \( F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) que cumpla las siguientes propiedades:
(i)\( 0\leq F\leq 1 \).
(ii)\( F \) es continua a derecha en todo punto.
(iii)\( F \) es monótona creciente.
(iv)\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F_{X}(x)=1,\displaystyle\lim_{x \to -\infty}F_{X}(x)=0 \).

,existe un espacio de probabilidad y una variable aleatoria que tiene a esa función como función de distribución acumulada(esto se llama teorema de extensión.)

[numbsoul]

Dada una función de distribución de una variable aleatoria real discreta,si el conjunto de puntos de discontinuidad es finito,entonces es escalonada.
Si es infinito,sus puntos de discontinuidad están dados por una sucesión inyectiva \( (a_{n}) \).Como es discreta,\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}p_{X}(a_{n})=1 \).
Supongamos que exista un intervalo \( [a,b] \) tal que \( F \) es continua y estrictamente creciente allí.Notemos \( \varepsilon=F(b)-F(a)>0 \).
Sabemos que existe \( N \) tal que para todo \( m\geq N \), \( \displaystyle\sum_{n=1}^{m}p_{X}(a_{n})>1-\varepsilon\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{N}p_{X}(a_{n})+\varepsilon>1 \).

Esto no responde directamente a tu pregunta,pero quizá sirva de ayuda.