[rubenrosas]

 Mira germanzorba,en lo mío no hay premura (tanta).Dices que me ponga en lugar del otro,y tienes razón.En lo mío me he supuesto que estoy lidiando con gente que ha trabajado con ternas pitagóricas y conoce las fórmulas que conducen a su solución que son para X =impar X = a.b naturales coprimos, Z =(a^2 + b^2 )/2
 Y = (a^ - b^2)/2 .No quiero utilizar el término pitagórico pues ésa palabra está irremediablemente asociado a los cuadrados y es unacuestión que quiero desterrar.Si
 trabajaste en el problema de Fermat sabrías que de hecho están dejados de
 lado las soluciones triviales como a^n + 0^n = a^n,serían considerados triviales varios ejemplos que vos das. Tambien que número natural = ( u)^1/2 si u es
 cuadrado etc.Precisamente éste es el caso que voy a tocar y que veo que me
 conduce a la demostración de la ecuación de Fermat para las cuartas potencias.Este método usado por Fermat denominado por él Descente infinie,
(descesnso infinito)está imaginado (pues Fermat no dejó constancia)por Rademacher
 y Toepliz(discipulos de Hilbert) en su librito extraodinariamente interesante:"Números y Figuras" y te recomiendo que lo leas pero ellos no utilizan las
fórmulas de las ternas (pitagóricas),lamentablemento ése libro lo he perdido.Quusiera sintetizar mí idea aunque a la vez quiero ponerme en lugar del otro: si en vez de las cuartas consideramos los cubos se tiene siendo A y B resultados que dan números naturales  A + B = 2(Z^3)^1/2 , A - B = 2(Y^3)^1/2 .Estas igualdades son imposibles a menos que Z e Y sean cuadrados,pero ésto cambiaría el formato de la ecuación (sería tramposo), aún así , si Z = z^2 , Y = y^2 , sería X^3 =z^6-y^6
 es decir X^3 = x^3 .x·^ 3 = ( z^3 - y^3)( z^3 + y^3) . cada paréntesis debe ser un cubo. Siendo X,Y,Z mayúsculas ,X = impar,X^3=Z^3-
 Y^3Volveríamos al problema original,sería X^3 = (x^3)(x^3) será:               
 (x minúscula,z minúscula,y minúscula) x^3 = z^3 - y^3 .La posible solución 
 de ésto llevaría a suponer que z e y (minúsculas)son cuadrados,y habría que
 utilizar z·, e y· con z = z·^2, y=y·^2, (letras minúsculas).Así sucesivamente
 es decir,para reslver el problema habría que reemplazar la ecuación por otras
 similares pero con x,y cada vez más pequeños.Ésto llevaría a una sucesión
 descendente infinita lo cual es absurdo.
  El cuento de nunca acabar.. Fermat lo llamó: "Demostración por descente infinie" (Fermat leía y escribía perfectamente el latín y
 el griego).-Como Z,X,Y deben ser coprimos  Z^3 -Y^3  , Z^3 + Y^3 también
 lo serán (es fácil demostrarlo).Por una propiedad conocida:si el producto de
 dos factores primos entre sí dan una potencia,cada uno de ellos será también
 una potencia del mismo exponente. 
 
 Lo dicho para el primo p= 3,podría ser para P= primo impar cualquiera.
 .Repito se sabe que el teorema queda demostrado si se lo hace para 
 cualquier  primo p.

[germanzorba]

Ahora sí entendí a dónde querías llegar y cuál el camino que intentabas tomar (creo).

Estabas tratando de demostrar que la ecuación X^3+Y^3=Z^3 no tiene soluciones enteras además de las triviales. Es algo difícil, no creo que yo esté en condiciones de dar rápidamente una. Buscando en la red encontré un sitio de dice exponer una demostración. No la controle, pero parece seria, revísala si tienes ganas, en algún momento me tomaré el trabajo de leerla:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Volviendo a tu mensaje anterior, hay varios puntos erroneos o a los que les faltaba demostración (aún descartando los contraejemplos por triviales, habría que demostrar que no hay más contraejemplos que los enunciados).

En cuanto a la utilización de la fórmula para hallar ternas pitagóricas coprimas, el enunciado que yo conozco es el siguiente:

los tres números F,G,H enteros, positivos, sin factores comunes además del 1 y -1 son solución de la ecuación F^2+G^2=H^2
si y solamente si
existen dos números a,b enteros, positivos, distintos y coprimos tales que
F = ab
G = (a^2 - b^2) / 2
H = (a^2 + b^2) / 2
(o intercambiando F y G)

No estoy seguro de cómo pretendes aplicar esta fórmula a la ecuación X^3+Y^3=Z^3. Pero viendo las ecuaciones por las que pasas, creo que usas que si X,Y,Z son solución de esta última ecuación, entonces \( X^{\frac32},\,Y^{\frac32},\,Z^{\frac32} \) son solución de F^2+G^2=H^2.
Pero entonces, para poder usar la fórmula de las ternas pitagóricas coprimas, necesitarías asegurarte que estos tres números sean enteros, y el exponente 3/2 me hace dudar de que lo sean.

También cabe la posibilidad de que hayas modificado la fórmula de las ternas pitagóricas coprimas agregando algunos cubos en lugar de los cuadrados (no estoy diciendo que hayas hecho esto, digo que es otro camino por el que podrías haber llegado a escribir tus ecuaciones). Pues si has hecho esto, la fórmula que has obtenido ya no es la misma, y por lo tanto requiere una demostración.

En definitiva, lo que quiero decir es que antes que una explicación de por qué no se puede usar tal fórmula para la ecuación X^3+Y^3=Z^3, lo que hace falta es una explicación de por qué sí podría usarse.

[rubenrosas]

 Mira gemanzorba,modifiqué un poco el texto anterior para ver si algunas
 cuestiones se hacen más entendibles.La fórmula que yo utilizo son las mismas
 que vos trajiste de internet,pero cada libro utilizan letras distintas aunque
 son el mismo concepto.No veo ninguna razón para que se tenga G =
 G=(Z^3)^1/2,H =(Y^3)^1/2En ésta fómula se comienza con (X por ejemplo) un impar.Hay otras 
 equivalentes que comienzan con un par.Se me ocurre(y ésto hay que pensarlo detenidamente) que los factores (por ejemplo X = a.b) deban ser
 necesariamente números naturales,y el prejuicio por ello retardó la 
 demostración del teorema en la posible idea de Fermat.Lo que yo expongo no
 lo busqués en internet,pues allí seguramente está la idea de Euler que 
 parece  ser muy difícil.En otra página del foro,hace tiempo, expuse que no
 veo por qué no puede pensarse en un triángulo rectángulo con ladosZ(Z)^1/2
 como hipotenusa, X(X)^1/2, Y(Y)^1/2 como catetos,.Los cuadrados construídos sobre ésos lados tendrian áreas en números naturales.Pero
 seguramente no existen triángulos rectángulos con ése valor de lados.Mira
 germanzorba,a lo mejor en alguna biblioteca puedas encontrar el librito
 "Números y Figuras" que mencioné antes; lo recomiendo y allí figura,repito,la
 posible demostración de Fermat sólo para las cuartas potencias con el
 método de "descenso infinito".

[germanzorba]

A ver, repito:

Si X, Y, y Z cumplen que X^3+Y^3=Z^3

Entonces es cierto que
\( \left(X^{\frac32}\right)^2+\left(Y^{\frac32}\right)^2=\left(Z^{\frac32}\right)^2 \)

Pero para aplicarle a éstos tres nuevos números cosas que sabemos de las ternas pitagóricas, necesitaríamos cuando menos que sean enteros, y eso en general no sucede.

[rubenrosas]

 Mira Germanzouba, lo he dicho, trato de no utilizar el término pitagórico
 pues  en el inconsciente parece fijado en la gente la solución en números
 naturales, quizá por que desde Pitagoras la cuestión está dirijida en ése sentido,sin embargo te hablé de los triángulos rectángulos y del valor de los lados que son las bases de la fórmula mayor que vos escribiste,en general serían del tipo a^(p-1)/2.a^1/2.Vos decís a priori que las ternas
 se deben aplicar a números enteros,pero en las fórmulas de las ternas si
 colocás fracciones en a, o en b,o raíces cuadradas en X= a.b, vas a ver que los resultados se cumplen.